人教版2019-2020八年级(上)第一章三角形单元检测题解析版

2019-2020八年级（上）第一章三角形单元检测题
一、选择题（每题4分，共40分）
1．等腰三角形周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边长为（）A．7 cm B．3 cm C．7 cm或3 cm D．8 cm
2．三角形一个外角小于与它相邻的内角，这个三角形（）
A．是直角三角形B．是锐角三角形
C．是钝角三角形D．属于哪一类不能确定
3．如图，直线l1∥l2，若∠1＝140°，∠2＝70°，则∠3的度数是（）
A．60°B．65°C．70°D．80°
4．如图，△ABC中，∠A＝40°，点D为延长线上一点，且∠CBD＝120°，则∠C＝（）
A．40°B．60°C．80°D．100°
5．已知△ABC的两条边长分别为3和5，且第三边的长c为整数，则c的取值可以是（）A．2B．3C．8D．9
6．下列判断：①有两个内角分别为50°和20°的三角形一定是钝角三角形；②直角三角形中两锐角之和为90°；③三角形的三个内角中不可以有三个锐角④有一个外角是锐角的三角形一是钝角三角形，其中正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．图中能表示△ABC的BC边上的高的是（）
A．B．
C．D．
8．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于O，则∠AOC+∠DOB＝（）
A．90°B．120°C．160°D．180°
9．如图，△ABC中，∠CAB＝52°，∠ABC＝74°，AD⊥BC，BE⊥AC，AD与BE交于F，则∠AFB的度数是（）
A．126°B．120°C．116°D．110°
10．如图，在直角三角形ABC中，AC≠AB，AD是斜边上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（）
A．3个B．4个C．5个D．6个
二、填空题（每题5分，共20分）
11．（5分）若一个三角形的三个内角之比为4：3：2，则这个三角形的最大内角为度．12．（5分）如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因
为．
13．（5分）当三角形中一个内角α是另一个内角β的一半时，我们称此三角形为“半角三角形”，其中α称为“半角”．如果一个“半角三角形”的“半角”为20°，那么这个“半角三角形”的最大内角的度数为．
14．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝12cm，BC＝5cm，AC＝13cm，若BD是AC边上的高，则BD的长为cm．
三、解答题（15-18题每题8分，19、20题每题10分，21、22题每题12分，23题14分，共90分）15．（8分）如图，点D在△ABC的边BC的延长线上，CE平分∠ACD，∠A＝80°，∠B＝40°，则∠ACE的大小多少？
16．（8分）如图是一副三角尺拼成的图案，求∠CEB的度数．
17．（8分）如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，AC上的中点，连接AE，BF，CD交于点G，AG：GE＝2：1，△ABC的面积为6，设△BDG的面积为S1，△CGF的面积为S2，求S1+S2的值．
18．（8分）如图，CD是△ABC的角平分线，DE∥BC，∠AED＝70°，求∠EDC的度数．
19．（10分）（1）在△ABC中，BC边上的高是；
（2）在△AEC中，AE边上的高是；
（3）若AB＝CD＝2cm，AE＝3cm，求△AEC的面积及CE的长．
20．（10分）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为18和15两部分，求这个等腰三角形的底边长．
21．（12分）如图，在△ABC中，∠1＝100°，∠C＝80°，∠2＝∠3，BE平分∠ABC．求∠4的度数．
22．（12分）已知：∠MON＝40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC＝x°．
（1）如图1，若AB∥ON，则
①∠ABO的度数是；
②当∠BAD＝∠ABD时，x＝；当∠BAD＝∠BDA时，x＝．
（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，
求出x的值；若不存在，说明理由．
23．（14分）（1）如图1∠1+∠2与∠B+∠C有什么关系？为什么？
（2）把图1中△ABC沿DE折叠，得到图2，填空：①∠1+∠2∠B+∠C（填“＞”“＜”
“＝”），当∠A＝40°时，∠B+∠C+∠1+∠2＝，如果∠A＝30°，则∠BDA+∠CEA＝360°﹣（∠B+∠C+∠1+∠2）＝，
②猜想：∠BDA+∠CEA与∠A有什么关系？并说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（每题4分，共40分）
1．等腰三角形周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边长为（）A．7 cm B．3 cm C．7 cm或3 cm D．8 cm
【分析】分3cm长的边是腰和底边两种情况进行讨论即可求解．
【解答】解：当长是3cm的边是底边时，三边为3cm，5cm，5cm，等腰三角形成立；
当长是3cm的边是腰时，底边长是：13﹣3﹣3＝7cm，而3+3＜7，不满足三角形的三边关系．故底边长是：3cm．
故选：B．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的计算，正确理解分两种情况讨论，并且注意到利用三角形的三边关系定理，是解题的关键．
2．三角形一个外角小于与它相邻的内角，这个三角形（）
A．是直角三角形B．是锐角三角形
C．是钝角三角形D．属于哪一类不能确定
【分析】由三角形的外角与它相邻的内角互为邻补角，且根据此外角小于与它相邻的内角，可得此外角为锐角，与它相邻的角为钝角，可得这个三角形为钝角三角形．
【解答】解：∵三角形的外角与它相邻的内角互补，且此外角小于与它相邻的内角，
∴此外角为锐角，与它相邻的角为钝角，
则这个三角形为钝角三角形．
故选：C．
【点评】此题考查了三角形的外角性质，其中得出三角形的外角与它相邻的内角互补是解本题的关键．
3．如图，直线l1∥l2，若∠1＝140°，∠2＝70°，则∠3的度数是（）
A．60°B．65°C．70°D．80°
【分析】首先根据平行线的性质得出∠1＝∠4＝140°，进而得出∠5度数，再利用三角形内角和
定理以及对顶角性质得出∠3的度数．
【解答】解：∵直线l1∥l2，∠1＝140°，
∴∠1＝∠4＝140°，
∴∠5＝180°﹣140°＝40°，
∵∠2＝70°，
∴∠6＝180°﹣70°﹣40°＝70°，
∵∠3＝∠6，
∴∠3的度数是70°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理等知识，根据已知得出∠5的度数是解题关键．
4．如图，△ABC中，∠A＝40°，点D为延长线上一点，且∠CBD＝120°，则∠C＝（）
A．40°B．60°C．80°D．100°
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【解答】解：由三角形的外角性质得，∠C＝∠CBD﹣∠A＝120°﹣40°＝80°．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
5．已知△ABC的两条边长分别为3和5，且第三边的长c为整数，则c的取值可以是（）A．2B．3C．8D．9
【分析】根据三角形三边关系定理可得5﹣3＜c＜5+3，进而求解即可．
【解答】解：根据三角形的三边关系可得：5﹣3＜c＜3+5，
解得：2＜c＜8．
故第三边可能是3、4、5、6、7，
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
6．下列判断：①有两个内角分别为50°和20°的三角形一定是钝角三角形；②直角三角形中两锐角之和为90°；③三角形的三个内角中不可以有三个锐角④有一个外角是锐角的三角形一是钝角三角形，其中正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】关键三角形的内角和定理和三角形的外角和内角的关系逐个判断即可．
【解答】解：∵三角形有两个内角分别为50°和20°，
∴此三角形的最大角的度数是180°﹣50°﹣20°＝110°，
此三角形是钝角三角形，故①正确；
直角三角形中两锐角之和为180°﹣90°＝90°，故②正确；
三角形的三个内角中可以有三个锐角，如等边三角形，故③错误，
∵三角形有一个外角是锐角，
∴相邻的内角为钝角，即此三角形一是钝角三角形，故④正确；
所以正确的有3个，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角，能灵活运用三角形的内角和定理求出角的度数是解此题的关键．
7．图中能表示△ABC的BC边上的高的是（）
A．B．
C．D．
【分析】根据三角形高线的定义对各选项进行判断．
【解答】解：图中能表示△ABC的BC边上的高的是AG．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高：熟练掌握三角形的角平分线、高和中线的定义．
8．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于O，则∠AOC+∠DOB＝（）
A．90°B．120°C．160°D．180°
【分析】因为本题中∠AOC始终在变化，因此可以采用“设而不求”的解题技巧进行求解．【解答】解：设∠AOD＝a，∠AOC＝90°+a，∠BOD＝90°﹣a，
所以∠AOC+∠BOD＝90°+a+90°﹣a＝180°．
故选：D．
【点评】本题考查了角度的计算问题，在本题中要注意∠AOC始终在变化，因此可以采用“设而不求”的解题技巧进行求解．
9．如图，△ABC中，∠CAB＝52°，∠ABC＝74°，AD⊥BC，BE⊥AC，AD与BE交于F，则∠AFB的度数是（）
A．126°B．120°C．116°D．110°
【分析】根据垂直得出∠AEB＝∠ADB＝90°，求出∠ABE，求出∠CBE，根据三角形外角性质求出即可．
【解答】解：∵BE⊥AC，AD⊥BC，
∴∠AEB＝∠ADB＝90°，
∵∠CAB＝52°，
∴∠ABE＝90°﹣∠CAB＝38°，
∴∠CBE＝∠CBA﹣∠ABE＝74°﹣38°＝36°，
∴∠AFB＝∠CBE+∠ADB＝36°+90°＝126°，
【点评】本题考查了垂直定义，三角形内角和定理，三角形外角性质的应用，主要考查学生的推理和计算能力．
10．如图，在直角三角形ABC中，AC≠AB，AD是斜边上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【分析】由“直角三角形的两锐角互余”，结合题目条件，得∠C＝∠BDF＝∠BAD＝∠ADE．【解答】解：∵AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠C+∠B＝90°，∠BDF+∠B＝90°，∠BAD+∠B＝90°，
∴∠C＝∠BDF＝∠BAD，
∵∠DAC+∠C＝90°，∠DAC+∠ADE＝90°，
∴∠C＝∠ADE，
∴图中与∠C（除之C外）相等的角的个数是3，
故选：A．
【点评】此题考查了直角三角形的性质，余角的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
二、填空题（每题5分，共20分）
11．（5分）若一个三角形的三个内角之比为4：3：2，则这个三角形的最大内角为80度．【分析】根据三角形的内角和是180°，再根据三角形的三个内角之比为4：3：2即可求出．
【解答】解：180°×＝80°．
故填80．
【点评】考查了三角形的内角和定理．注意最大角即为所占份数最多的角．
12．（5分）如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有稳定
性．
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
【解答】解：生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有稳定性．故答案为：三角形具有稳定性．
【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
13．（5分）当三角形中一个内角α是另一个内角β的一半时，我们称此三角形为“半角三角形”，其中α称为“半角”．如果一个“半角三角形”的“半角”为20°，那么这个“半角三角形”的最大内角的度数为120°．
【分析】根据半角三角形的定义得出β的度数，再由三角形内角和定理求出另一个内角即可．【解答】解：∵α＝20°，
∴β＝2α＝40°，
∴最大内角的度数＝180°﹣20°﹣40°＝120°．
故答案为：120°．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．14．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝12cm，BC＝5cm，AC＝13cm，若BD是
AC边上的高，则BD的长为4cm．
【分析】根据三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，以及直角三角形的特征，可得：AB
•BC＝AC•BD，据此求出BD的长为多少即可．
【解答】解：∵△ABC是直角三角形，
∴AB•BC＝AC•BD，
∴BD＝＝＝4（cm）．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了三角形的面积的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半．
三、解答题（15-18题每题8分，19、20题每题10分，21、22题每题12分，23题14分，共90分）15．（8分）如图，点D在△ABC的边BC的延长线上，CE平分∠ACD，∠A＝80°，∠B＝40°，则∠ACE的大小多少？
【分析】由∠A＝80°，∠B＝40°，根据三角形任意一个外角等于与之不相邻的两内角的和得到∠ACD＝∠B+∠A＝120°，然后利用角平分线的定义计算即可．
【解答】解：∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD＝∠B+∠A＝80°+40°＝120°．
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠ACD＝60°．
【点评】本题考查了三角形的外角定理，关键是掌握三角形任意一个外角等于与之不相邻的两内角的和．
16．（8分）如图是一副三角尺拼成的图案，求∠CEB的度数．
【分析】结合图形求出∠ABE，根据三角形的外角的性质计算即可．
【解答】解：由题可得，∠ABC＝90°，∠DBC＝45°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠DBC＝45°，
∵∠CEB是△ABE的外角，
∴∠CEB＝∠A+∠DBA＝105°．
【点评】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．本题利用△BCE的内角和为180°，也可以得到∠CEB的度数．
17．（8分）如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，AC上的中点，连接AE，BF，CD交于点G，AG：GE＝2：1，△ABC的面积为6，设△BDG的面积为S1，△CGF的面积为S2，求S1+S2的值．
【分析】根据三角形的面积得出△BDG的面积＝△ADG的面积，△CFG的面积＝△AGF的面积，进而解答即可．
【解答】解：∵D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，AC上的中点，
∴AD＝DB，AF＝CF，BE＝EC，
∴△BDG的面积＝△ADG的面积，△CFG的面积＝△AGF的面积，△BEG的面积＝△ECG的面积．△ABE的面积＝△ACE的面积．
∵△ABG的面积＝△ACG的面积，
∵AG＝2GE，
∴△ABG的面积＝2△BEG的面积，△ACG的面积＝2△ECG的面积，
∴△ADG，△BDG，△BEG，△AFG，△FCG，△ECG的面积相等，
＝2，
∴S1+S2＝•S
△ABC
故答案为：2
【点评】此题考查三角形的面积，关键是根据三角形的面积得出△BDG的面积＝△ADG的面积，△CFG的面积＝△AGF的面积．
18．（8分）如图，CD是△ABC的角平分线，DE∥BC，∠AED＝70°，求∠EDC的度数．
【分析】由角平分线的定义，结合平行线的性质，易求∠EDC的度数．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠ACB＝∠AED＝70°．
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACB＝35°．
又∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD＝35°．
【点评】本题考查了平行线的性质和角平分线定义的应用，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，题目比较好，难度适中．
19．（10分）（1）在△ABC中，BC边上的高是AB；
（2）在△AEC中，AE边上的高是CD；
（3）若AB＝CD＝2cm，AE＝3cm，求△AEC的面积及CE的长．
【分析】（1）（2）三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段；
（3）在△AEC中，要看作AE是底，CD是AE上的高，由面积公式计算，也可把CE看作底，AB是高，故也可求得CE的长．
【解答】解：（1）在△ABC中，BC边上的高是AB；
（2）在△AEC中，AE边上的高是CD；
（3）∵AE＝3cm，CD＝2cm，
∴S
＝AE•CD＝3cm2，
△AEC
∵S
＝AB•CE＝3cm2，
△AEC
∴CE＝3cm．
＝3cm2，CE＝3cm．
故S
△AEC
故答案为：（1）AB；（2）CD
【点评】本题考查了三角形高线的概念及直角三角形的面积公式，关键是根据三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段解答．
20．（10分）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为18和15两部分，求这个等腰三角形的底边长．
【分析】因为已知条件给出的12或9两个部分，哪一部分是腰长与腰长一半的和不明确，所以分两种情况讨论．
【解答】解：根据题意，
①当18是腰长与腰长一半时，AC+AC＝18，解得AC＝12，
所以底边长＝15﹣×12＝9；
②当15是腰长与腰长一半时，AC+AC＝15，解得AC＝10，
所以底边长＝18﹣×10＝13．
所以底边长等于12或10．
故答案为：12或10．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确给出哪一部分长要一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这点非常重要，也是解题的关键．
21．（12分）如图，在△ABC中，∠1＝100°，∠C＝80°，∠2＝∠3，BE平分∠ABC．求∠4的度数．
【分析】首先根据三角形的外角的性质求得∠3，再根据已知条件求得∠2，进而根据三角形的内角和定理求得∠ABD，再根据角平分线的定义求得∠ABE，最后根据三角形的外角的性质求得∠4．【解答】解：∵∠1＝∠3+∠C，∠1＝100°，∠C＝80°，
∴∠3＝20°，
∵∠2＝∠3，
∴∠2＝10°，
∴∠ABC＝180°﹣100°﹣10°＝70°，
∵BE平分∠BAC，
∴∠ABE＝35°，
∵∠4＝∠2+∠ABE，
∴∠4＝45°．
【点评】用到的知识点为：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的内角和为180°．
22．（12分）已知：∠MON＝40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC＝x°．
（1）如图1，若AB∥ON，则
①∠ABO的度数是20°；
②当∠BAD＝∠ABD时，x＝120°；当∠BAD＝∠BDA时，x＝60°．
（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
【分析】利用角平分线的性质求出∠ABO的度数是关键，分类讨论的思想．
【解答】解：（1）①∵∠MON＝40°，OE平分∠MON∴∠AOB＝∠BON＝20°
∵AB∥ON∴∠ABO＝20°
②∵∠BAD＝∠ABD∴∠BAD＝20°∵∠AOB+∠ABO+∠OAB＝180°∴∠OAC＝120°
∵∠BAD＝∠BDA，∠ABO＝20°∴∠BAD＝80°∵∠AOB+∠ABO+∠OAB＝180°∴∠OAC＝60°
故答案为：①20°；②120°，60°；
（2）①当点D在线段OB上时，
∵OE是∠MON的角平分线，
∴∠AOB＝∠MON＝20°，
∵AB⊥OM，
∴∠AOB+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝70°，
若∠BAD＝∠ABD＝70°，则x＝20
若∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣70°）＝55°，则x＝35
若∠ADB＝∠ABD＝70°，则∠BAD＝180°﹣2×70°＝40°，∴x＝50
②当点D在射线BE上时，因为∠ABE＝110°，且三角形的内角和为180°，
所以只有∠BAD＝∠BDA，此时x＝125．
综上可知，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角，
且x＝20、35、50、125．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用，注意：三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和．
23．（14分）（1）如图1∠1+∠2与∠B+∠C有什么关系？为什么？
（2）把图1中△ABC沿DE折叠，得到图2，填空：①∠1+∠2＝∠B+∠C（填“＞”“＜”
“＝”），当∠A＝40°时，∠B+∠C+∠1+∠2＝280°，如果∠A＝30°，则∠BDA+∠CEA ＝360°﹣（∠B+∠C+∠1+∠2）＝60°，
②猜想：∠BDA+∠CEA与∠A有什么关系？并说明理由．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理可知∠1+∠2＝∠B+∠C．
（2）利用三角形内角和定理解决问题即可．
（3）如图，延长BD交CE的延长线于A′．利用三角形的外角的性质证明即可得出结论：∠BDA+∠CEA＝2∠A．
【解答】解：（1）结论：∠1+∠2＝∠B+∠C．
理由：根据三角形内角是180°，
可知：∠1+∠2＝180°﹣∠A，∠B+∠C＝180°﹣∠A，
∴∠1+∠2＝∠B+∠C．
（2）∵∠1+∠2+∠BDE+∠CED＝∠B+∠C+∠BDE+∠CED＝360°，
∴∠1+∠2＝∠B+∠C；
当∠A＝40°时，∠B+∠C+∠1+∠2＝140×2＝280°；
∠BDA+∠CEA＝360°﹣（∠B+∠C+∠1+∠2）＝360°﹣2×150°＝60°，
故答案为＝，280°，60°．
（3）如图，延长BD交CE的延长线于A′．
′
∵∠BDA＝∠DA′A+∠DAA′，∠AEC＝∠EA′A+∠EAA′，∠DA′E＝∠DAE，
∴∠BDA+∠AEC＝2∠DAE，
∴∠BDA+∠CEA与∠A的关系为：∠BDA+∠CEA＝2∠A．
【点评】本题考查图形的翻折变换和三角形，四边形内角和定理，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．。