2022高中数学1.3.3函数的最值与导数同步练习新人教A版选修2-2

选修函数的最值与导数
一、选择题
1．函数＝f在区间 [ a，b] 上的最大值是M，最小值是m，若 M＝ m，则 f ′A．等于0B．大于0
C．小于0D．以上都有可能
[ 答案]A
[ 分析 ]∵M＝m，∴＝f是常数函数
∴f ′＝0，故应选A
2．设f＝错误 ! 4＋错误 ! 3＋错误 ! 2在 [ － 1,1] 上的最小值为
A．0B．－ 2
C．－ 1
[ 答案]A
[ 分析]′＝ 3＋ 2＋＝ 2＋＋1
令′＝ 0，解得＝ 0
∴f－1＝错误!， f 0＝0，f 1＝错误!
∴f在[－1,1]
32
3．函数＝＋－＋1在区间[－2,1]上的最小值为
C．－ 1D．－ 4
[ 答案]C
[ 分析]′＝ 32＋ 2－ 1＝3－ 1＋ 1
令′＝ 0 解得＝错误 ! 或＝－ 1
当＝－ 2 时，＝－ 1；当＝－ 1 时，＝ 2；
当＝错误 !时，＝错误! ；当＝ 1 时，＝ 2
所以函数的最小值为－1，故应选C
4．函数f＝2－＋ 1 在区间 [ － 3,0] 上的最值为
A．最大值为13，最小值为错误 !
B．最大值为1，最小值为4
C．最大值为13，最小值为1
D．最大值为－ 1，最小值为－7
[答案]A
[ 分析 ]∵＝2－＋1，∴′＝2－1，
令′＝ 0，∴＝错误 ! ，f－ 3＝ 13，f错误 ! ＝错误 ! ，f 0＝1
5．函数＝错误 ! ＋错误 ! 在0,1上的最大值为
B． 1
C．0D．不存在
[ 答案]A
[ 分析]′＝错误!－错误!＝错误!·错误!
由′＝ 0 得＝错误 ! ，在错误 ! 上′>0，在错误 ! 上
′0得函数的增区间是－∞，－2和2，＋∞，
由′0 得 >错误 ! ，由′ 错误 ! 时，函数为增函数，当－ 2≤≤错误 ! 时，函数为减函数，所以无最大值，又由于 f －2＝57， f 错误!＝－ 28错误 ! ，所以最小值为
－28错误 !
13．若函数
f ＝错误 !>0 在 [1 ，＋∞上的最大值为错误!，则
a
的值为 ________．a
[答案]错误!－1
[ 分析 ] f ′＝错误!＝错误!
令 f ′＝0，解得＝错误!或＝－错误!舍
去当>错误 ! 时，f′ 0；
当＝错误 ! 时，f＝错误 ! ＝错误 ! ，错误 ! ＝错误 ! 0 得>2 或 0；当
－ 1－错误 ! 时，f′>0，
所以 f 在错误!上的最小值为
f错误 ! ＝ n2＋错误 !
又 f 错误!－ f 错误!＝n错误!＋错误!－n错误!－错误!＝n错误!＋错误!＝错误!错误! 2a n2－1 且 >0 时，e>2－ 2a＋ 1
[ 剖析 ]此题考察导数的运算，利用导数研究函数的单一区间，求函数的极值和证明函
数不等式，考察运算能力、综合剖析和解决问题的能力．
解题思路是： 1 利用导数的符号判断函数的单一性，从而求出函数的极值． 2 将不等式转化结构函数，再利用函数的单一性证明．
[ 分析] 1 解：由 f ＝e－2＋2a，∈R知 f ′＝e－2，∈R
令 f ′＝0，得＝变化时， f ′， f的变化状况以下表：
－∞，n2n2n2，＋∞
f ′－0＋
f单一递减21－ n2＋a单一递加
故 f的单一递减区间是－∞，n2，单一递加区间是n2，＋∞，
f在＝ n2处获得极小值，极小值为 f n2＝e n2－2n2＋2a＝21－n2＋a．
2证明：设 g＝e－2＋2a－1，∈R，于是 g′＝e－2＋2a，∈R
由 1 知当a>n2－ 1 时，g′最小值为g′n2＝ 21－ n2＋a>0 于是对随意∈ R，都有g′>0，所以g在 R 内单一递加．于是当 a>n2－1时，对随意∈0，＋∞，都有 g>g0．而 g0＝0，从而对随意∈0，＋∞， g>0
即 e－2＋ 2a－ 1>0，故 e>2－ 2a＋ 1
18．已知函数f＝错误 ! ，∈ [0,1] ．
1 求f的单一区间和值域；
2 设
a ≥1，函数
g
＝3－ 3 2－2，∈ [0,1] ．若关于随意 1 ∈[0,1]，总存在0∈[0,1]，使得
a a
g0＝ f 1建立，求 a 的取值范围．
[ 分析 ] 1 对函数f求导，得
f ′＝错误!＝－错误!
令 f ′＝0解得＝错误!或＝错误!
当变化时， f ′， f 的变化状况以下表：
00，错误 !错误 !错误!，11
f ′－0＋
－
－ 4－ 3
f
错误 !
所以，当∈ 0，错误 ! 时，f是减函数；
当∈ 错误 ! 时，f是增函数．
当∈ [0,1] 时，f的值域为 [ － 4，－ 3] ．
2g′＝ 32－a2．
由于 a≥1，当∈0,1时，g′<0
所以当∈ 0,1时，g为减函数，从而当∈ [0,1]时有g∈[g1， g0]．
22又 g1＝1－2a－3a ， g0＝－2a，即∈[0,1]时有g∈[1－2a－3a ，－2a]．
则[1 － 2a－3a2，－ 2a] ? [ － 4，－ 3] ．
即错误 !
解①式得 a≥1或 a≤－错误!；解②式得a≤错误!
又 a≥1，故 a 的取值范围为1≤a≤错误 !。