2019-2020高中北师版数学选修2-1 第3章 §1 1.2 椭圆的简单性质课件PPT

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3．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4 5 ，则椭
圆的方程为( )
A.3x62 ＋1y62 ＝1
B.1x62 ＋3y62 ＝1
C.x62＋y42＝1
D.y62＋x42＝1
A [设椭圆方程ax22＋by22＝1(a>b>0)，
∴a2a＋ c2＝＝bb4＝2＋150c2⇒ab＝ ＝64，，∴椭圆方程3x62 ＋1y62 ＝1.]
_B_1_(_0_，__－__b_)、__B_2_(_0_，__b) B1_( _－__b__，__0_)_、___B_2_(b__，_ 0)
短轴长＝__2_b_，长轴长＝__2_a_
_F_1_(_－__c_，__0_)、__F_2_(_c_，__0_)
_F_1_(0_，__－__c_)_、__F_2_(0_，__c_)
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焦距
|F1F2|＝__2_c_
离心率
e＝ac(0＜e＜1)
思考：(1)椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)上到中心和焦点距离最近和最
远的点分别在什么位置？
(2)如何判断点 P(x0，y0)与椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的位置关系？
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[提示] (1)短轴端点B1和B2到中心O的距离最近为a－c；长轴端
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自主预习 探新知
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椭圆的几何性质
焦点的位 置
焦点在x轴上
图形
标准方程
ax22＋by22＝1(a＞b＞0)
焦点在y轴上
ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)
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对称性 范围 顶点 轴长 焦点
对称轴___x_轴__和__y_轴___，对称中心__(_0_，__0_)_ _－__a_≤_x_≤_a_且__－__b_≤_y_≤_b____ __－__b_≤_x_≤_b_且__－__a_≤_y_≤_a_____ _A_1(_－__a_，__0_)_、__A_2_(a_，__0_)_， A1_(_0_，__－__a_)、__A__2(_0_，__a_)_，_
由椭圆简单性质求方程
【例2】
(1)已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为
1 3
，长轴长
为12，则椭圆方程为( )
A.1x424＋1y228＝1或1x228＋1y424＝1
B.x62＋y42＝1
C.3x62 ＋3y22 ＝1或3x22 ＋3y62 ＝1
D.x42＋y62＝1或x62＋y42＝1
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(2)如图所示，已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点F 与短轴两个端点B1，B2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴 的端点A的距离为 10－ 5，求这个椭圆的方程．
[答案] (1)× (2)√ (3)√
() () ()
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2．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
A．5，3，45
B．10，6，45
C．5，3，35
D．10，6，35
B [变形x92＋2y52 ＝1，∵焦点在y轴上，∴a＝5，b＝3，
∴长轴长10，短轴长6，e＝45.]
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4．若焦点在y轴上的椭圆
x2 m
＋
y2 2
＝1的离心率为
1 2
，则m的值为
________．
3 2
[∵焦点在y轴上，∴0<m<2，e＝ 2－2 m＝12.解得m＝32.]
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合作探究 提素养
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椭圆的几何性质
【例1】 (1)椭圆2x52 ＋y92＝1与9－x2 k＋25y－2 k＝1(0＜k＜9)的(
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(2)设P(x0，y0)，则|OP|＝ x20＋y20. 由椭圆的范围，知|x0|≤a＝10，|y0|≤b＝8， 又∵P在椭圆上，∴1x0200＋6y420 ＝1， ∴y20＝64－1265x20，∴|OP|＝ 295x20＋64. ∵0≤x20≤100，∴64≤295x20＋64≤100， ∴8≤|OP|≤10.]
3 2m
.∴椭圆的长轴
长2a＝m2 ，短轴长2b＝m1 ，
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焦点坐标为－2m3，0，2m3，0，
顶点坐标为m1 ，0，－m1 ，0，0，－21m，0，21m.
3
离心率e＝ac＝21m＝
3 2.
m
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顶点坐标和离心率．
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(1)D [由椭圆的对称性可知，选项A，B，C中的点一定在椭圆
上．]
(2)椭圆的方程m2x2＋4m2y2＝1(m>0)可转化为
x2 1
＋
y2 1
＝1.∵m2<4m2，∴
1 m2
>
1 4m2
，∴椭圆的焦点在x轴上，并
m2 4m2
且长半轴长a＝
1 m
，短半轴长b＝
1 2m
，半焦距长c＝
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用标准方程研究几何性质的步骤
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1．(1)已知点(x0，y0)在椭圆
x2 a2
＋
y2 b2
＝1上，则下列点中不一定在
椭圆上的点是( )
A．(－x0，y0)
B．(x0，－y0)
C．(－x0，－y0)
D．(y0，x0)
(2)求椭圆m2x2＋4m2y2＝1 (m>0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、
第三章 圆锥曲线与方程
§1 椭圆 1.2 椭圆的简单性质
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学习目标：1.掌握椭圆的中心、顶点、长轴、短轴、离心率的 概念，理解椭圆的范围和对称性．(重点) 2.掌握已知椭圆标准方程 时a，b，c，e的几何意义及其相互关系．(重点) 3. 用代数法研究曲 线的几何性质，在熟练掌握椭圆的几何性质的过程中，体会数形结 合的思想．(难点)
)
A．长轴长相等
B．短轴长相等
C．离心率相等
D．ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ距相等
(2)已知椭圆的标准方程为
x2 100
＋
y2 64
＝1，则椭圆上的点P到椭圆
中心|OP|的范围为( )
A．[6，10]
B．[6，8]
C．[8，10]
D．[16，20]
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(1)D (2)C [(1)椭圆2x52 ＋y92＝1中c21＝25－9＝16， 椭圆9－x2 k＋25y－2 k＝1中c22＝25－k－(9－k)＝16， ∴两椭圆焦距相等．
点A1和A2到中心O的距离最远为a＋c.
(2)点P(x0，y0)与椭圆
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a＞b＞0)的位置关系：点P在椭
圆上⇔ax202＋by202＝1；点P在椭圆内部⇔ax202＋by202＜1；点P在椭圆外部⇔ax202
＋by202＞1.
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1.判断正误 (1)椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的长轴长等于a. (2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c. (3)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆．