人教A版数学高二选修2-1模块综合检测

模块综合检测
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．命题“∃x 0∈R,2x 0－3>1”的否定是( ) A ．∃x 0∈R,2x 0－3≤1 B ．∀x ∈R,2x －3>1 C ．∀x ∈R,2x －3≤1
D ．∃x 0∈R,2x 0－3>1
解析：选C 由特称命题的否定的定义即知．
2．命题p ：若a·b ＞0，则a 与b 的夹角为锐角；命题q ：若函数f (x )在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是( )
A ．“p 或q ”是真命题
B ．“p 或q ”是假命题
C ．綈p 为假命题
D ．綈q 为假命题
解析：选B ∵当a·b ＞0时，a 与b 的夹角为锐角或零度角，∴命题p 是假命题；命
题q 是假命题，例如f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－x ＋1，x ≤0，－x ＋2，x ＞0，综上可知，“p 或q ”是假命题，选B ．
3．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为( ) A ．1
8
B ．－1
8
C ．8
D ．－8
解析：选B 由y ＝ax 2得x 2＝1a y ， ∴1
a ＝－8， ∴a ＝－1
8
．
4．下列说法中正确的是( )
A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真
B ．“a >b ”与“a ＋c >b ＋c ”不等价
C ．“a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a ，b 全不为0，则a 2＋b 2≠0”
D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真
解析：选D 否命题和逆命题互为逆否命题，有着一致的真假性，故选D ． 5．已知空间向量a ＝(1，n,2)，b ＝(－2,1,2)，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A ．5 32
B ．212
C ．
372
D ．
3 5
2
解析：选D 由已知可得2a －b ＝(2,2n,4)－(－2,1,2)＝(4，2n －1,2)． 又∵(2a －b )⊥b ，∴－8＋2n －1＋4＝0． ∴2n ＝5，n ＝5
2
．∴|a |＝
1＋4＋254＝3 52
．
6．下列结论中，正确的为( )
①“p 且q ”为真是“p 或q ”为真的充分不必要条件； ②“p 且q ”为假是“p 或q ”为真的充分不必要条件； ③“p 或q ”为真是“綈p ”为假的必要不充分条件； ④“綈p ”为真是“p 且q ”为假的必要不充分条件． A ．①② B ．①③ C ．②④
D ．③④
解析：选B p ∧q 为真⇒p 真q 真⇒p ∨q 为真，故①正确，由綈p 为假⇒p 为真⇒p ∨q 为真，故③正确．
7．双曲线x 2m －y 2
n ＝1(mn ≠0)的离心率为2，它的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则mn 的值为( )
A ．316
B ．38
C ．163
D ．83
解析：选A 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)， 故双曲线x 2m －y 2
n ＝1中，
m >0，n >0且m ＋n ＝c 2＝1．① 又双曲线的离心率e ＝
c m ＝ m ＋n
m ＝2，②
联立方程①②，解得⎩⎨⎧
m ＝1
4，
n ＝3
4.
故mn ＝
3
16
． 8．若直线y ＝2x 与双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)有公共点，则双曲线的离心率的取值范
围为( )
A ．(1，5)
B ．(5，＋∞)
C ．(1， 5 ]
D ．[5，＋∞)
解析：选B 双曲线的两条渐近线中斜率为正的渐近线为y ＝b a x ．由条件知，应有b
a >2，
故e ＝c
a ＝a 2＋
b 2a ＝
1＋⎝⎛⎭⎫b a 2
>5．
9．已知F 1(－3,0)，F 2(3,0)是椭圆x 2m ＋y 2
n ＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，∠F 1PF 2＝α．当
α＝2π
3
时，△F 1PF 2面积最大，则m ＋n 的值是( )
A ．41
B ．15
C ．9
D ．1
解析：选B 由S △F 1PF 2＝1
2|F 1F 2|·y P ＝3y P ，
知P 为短轴端点时，△F 1PF 2面积最大． 此时∠F 1PF 2＝2π
3
，
得a ＝m ＝2 3，b ＝n ＝3，故m ＋n ＝15．
10．正△ABC 与正△BCD 所在平面垂直，则二面角A -BD -C 的正弦值为( ) A ．
55
B ．33
C ．255
D ．
63
解析：选C 取BC 中点O ，连接AO ，DO ．建立如图所示坐标系，设BC ＝1， 则A ⎝⎛⎭
⎫
0，0，32，B ⎝⎛⎭⎫0，－12，0， D
⎝⎛⎭
⎫32，0，0．
∴OA ＝⎝⎛⎭⎫0，0，32，BA ＝⎝⎛⎭⎫0，12，
32，BD ＝
⎝⎛⎭
⎫32，12，0．
由于OA ＝⎝⎛⎭
⎫
0，0，
32为平面BCD 的一个法向量，可进一步求出平面ABD 的一个法向量n ＝(1，－3，1)，
∴cos 〈n ，OA 〉＝
55，∴sin 〈n ，OA 〉＝255
． 11．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为3
2，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( )
A ．54
B ．52
C ．32
D ．5
4
解析：选B 因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率e 1＝32
，
所以1－b 2a 2＝e 21＝34，即b 2a 2＝14，而在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，设离心率为e 2，则e 2
2＝1＋b 2
a 2＝
1＋14＝5
4
，
所以e 2＝
52
． 12．已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1，F 2，点A 在C 上．若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝( )
A ．14
B ．13
C ．
24
D ．
23
解析：选A 由题意得⎩⎪⎨⎪
⎧
|F 1A |－|F 2A |＝2a ，|F 1A |＝2|F 2
A |，解得|F 2A |＝2a ，|F 1A |＝4a ，
又由已知可得c
a ＝2，所以c ＝2a ，即|F 1F 2|＝4a ， ∴cos ∠AF 2F 1＝|F 2A |2＋|F 1F 2|2－|F 1A |2
2|F 2A |·|F 1F 2|
＝4a 2＋16a 2－16a 22×2a ×4a
＝1
4．故选A ．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP ―→·OA ―→＝4，则动点P 的轨迹方程是________．
解析：由OP ·OA ＝4得x ×1＋y ×2＝4，因此所求动点P 的轨迹方程为x ＋2y －4＝0．
答案：x ＋2y －4＝0
14．命题“∃x 0∈R,2x 20－3ax 0＋9＜0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．
解析：∵∃x 0∈R,2x 20－3ax 0
＋9＜0为假命题， ∴∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0为真命题， ∴Δ＝9a 2－4×2×9≤0，即a 2≤8， ∴－22≤a ≤22． 答案：[－22，2 2 ]
15．过双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点作圆x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点分
别为A ，B ．若∠AOB ＝120°(O 是坐标原点)，则双曲线C 的离心率为________．
解析：由题意，如图，在Rt △AOF 中，∠AFO ＝30°，
AO ＝a ，OF ＝c ，∴sin 30°＝OA OF ＝a c ＝1
2．
∴e ＝c
a ＝2． 答案：2
16．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，CD 的中点，则EF 与平面CDD 1C 1
所成角的正弦值为________．
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则E (2,0,1)，F (1,2,0)， ∴EF ＝(－1,2，－1)．
又平面CDD 1C 1的一个法向量为OD ＝(0,2,0)，cos 〈EF ，OD 〉＝4 6×2＝6
3
，故所求角的正弦值为
63
． 答案：
6
3
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知命题p ：方程x 22＋y 2
m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：
∀x ∈R,4x 2－4mx ＋4m －3≥0．若(綈p )∧q 为真，求m 的取值范围．
解：p 真时，m >2．
q 真时，4x 2－4mx ＋4m －3≥0在R 上恒成立． Δ＝16m 2－16(4m －3)≤0，解得1≤m ≤3． ∵(綈p )∧q 为真，∴p 假，q 真．
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
m ≤2，1≤m ≤3，即1≤m ≤2．
∴所求m 的取值范围为[1,2]．
18．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝AA 1＝ 3，∠ABC ＝60°．
(1)证明：AB ⊥A 1C ；
(2)求二面角A -A 1C -B 的正切值大小．
解：法一：(1)证明：∵三棱柱ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱， ∴AB ⊥AA 1．
在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝ 3，∠ABC ＝60°． 由正弦定理得∠ACB ＝30°，
∴∠BAC ＝90°，即AB ⊥AC ，∴AB ⊥平面ACC 1A 1． 又A 1C ⊂平面ACC 1A 1，∴AB ⊥A 1C ．
(2)如图，作AD ⊥A 1C 交A 1C 于D 点，连接BD ． ∵AB ⊥A 1C ，AD ∩AB ＝A ， ∴A 1C ⊥平面ABD ， ∴BD ⊥A 1C ，
∴∠ADB 为二面角A -A 1C -B 的平面角． 在Rt △AA 1C 中，
AD ＝AA 1·AC A 1C ＝3× 36
＝6
2．
在Rt △BAD 中，tan ∠ADB ＝AB AD ＝6
3，
∴二面角A -A 1C -B 的正切值为
63
． 法二：(1)证明：∵三棱柱ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱， ∴AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC ． 在△ABC 中，
AB ＝1，AC ＝ 3，∠ABC ＝60°． 由正弦定理得∠ACB ＝30°， ∴∠BAC ＝90°，
即AB ⊥AC ．如图，建立空间直角坐标系， 则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0，3，0)，A 1(0,0，3)， ∴AB ＝(1,0,0)，A C 1＝(0，3，－3)．
∵AB ·A C 1＝1×0＋0×3＋0×(－ 3)＝0， ∴AB ⊥A 1C ．
(2)取m ＝AB ＝(1,0,0)为平面AA 1C 1C 的法向量．
由(1)知：BC ＝(－1，3，0)，设平面A 1BC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，
则⎩⎪⎨⎪⎧
n ·BC ＝0，n ·A C 1＝0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
－x ＋3y ＝0，3y －3z ＝0，
∴x ＝3y ，y ＝z ．令y ＝1，则n ＝(3，1,1)， ∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n
|m |·|n |
＝
3×1＋1×0＋1×03
2＋12＋12·
12＋02＋02
＝
15
5
， ∴sin 〈m ，n 〉＝ 1－⎝⎛⎭
⎫1552＝105，
∴tan 〈m ，n 〉＝
63
． ∴二面角A -A 1C -B 的正切值为63
．
19．(本小题满分12分)在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝BD ＝2AE ，M 是AB 的中点，建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：
(1)求证：CM ⊥EM ；
(2)求CM 与平面CDE 所成角的大小．
解：(1)证明：分别以CB ，CA 所在直线为x ，y 轴，过点C 且与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
设AE ＝a ，则M (a ，－a,0)，E (0，－2a ，a )，D (2a,0,2a )， 所以CM ＝(a ，－a,0)，EM ＝(a ，a ，－a )，
所以CM ·
EM ＝a ×a ＋(－a )×a ＋0×(－a )＝0， 所以CM ⊥EM ．
(2) CE ＝(0，－2a ，a )，CD ＝(2a,0,2a )， 设平面CDE 的法向量n ＝(x ，y ，z )，
则有⎩⎪⎨⎪⎧ －2ay ＋az ＝0，2ax ＋2az ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧
z ＝2y ，x ＝－z ，
令y ＝1，则n ＝(－2,1,2)， cos 〈CM ，n 〉＝
CM ·n
| CM ||n |
＝
a ×(－2)＋(－a )×1＋0×22a ×3
＝－2
2，
所以直线CM 与平面CDE 所成的角为45°．
20．(本小题满分12分)已知点P 是圆O ：x 2＋y 2＝9上的任意一点，过P 作PD 垂直x 轴于D ，动点Q 满足DQ ＝2
3
DP ．
(1)求动点Q 的轨迹方程；
(2)已知点E (1,1)，在动点Q 的轨迹上是否存在不重合的两点M ，N ，使OE ＝1
2
(OM ＋
ON )(O 是坐标原点)，若存在，求出直线MN 的方程，若不存在，请说明理由．
解：(1)设P (x 0，y 0)，Q (x ，y )，依题意，得点D 的坐标为D (x 0,0)，DQ ＝(x －x 0，y )，
DP ＝(0，y 0)，
又DQ ＝2
3
DP ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －x 0＝0，y ＝23y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝x ，y 0＝3
2
y ， ∵点P 在圆O 上，故x 20＋y 20＝9，
∴x 29＋y 2
4
＝1， ∴动点Q 的轨迹方程为x 29＋y 2
4
＝1．
(2)假设椭圆x 29＋y 24＝1上存在不重合的两点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)满足OE ＝1
2(OM ＋
ON )，则E (1,1)是线段MN 的中点，且有⎩⎨⎧
x 1
＋x
22
＝1，y 1
＋y
2
2＝1，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， 又M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)在椭圆x 29＋y 2
4
＝1上，
∴⎩⎨⎧
x 219＋y 21
4
＝1，x 22
9＋y
22
4＝1，
两式相减，得
(x 1－x 2)(x 1＋x 2)9＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)
4＝0，
∴k MN ＝
y 1－y 2x 1－x 2
＝－4
9，
∴直线MN 的方程为4x ＋9y －13＝0，
∴椭圆上存在点M ，N 满足OE ＝1
2(OM ＋ON )，此时直线MN 的方程为4x ＋9y －
13＝0．
21．(本小题满分12分)如图，已知点E (m ，0)为抛物线y 2＝4x 内的一个定点，过E 作斜率分别为k 1，k 2的两条直线分别交抛物线于点A ，B ，C ，D ，且M ，N 分别是线段AB ，CD 的中点．
(1)若m ＝1，k 1k 2＝－1，求△EMN 面积的最小值； (2)若k 1＋k 2＝1，求证：直线MN 过定点． 解：(1)当m ＝1时，E 为抛物线y 2＝4x 的焦点． ∵k 1k 2＝－1，∴AB ⊥CD ．
由题意，知直线AB 的方程为y ＝k 1(x －1)， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝k 1(x －1)，y 2＝4x ，得k 1y 2－4y －4k 1＝0， ∴y 1＋y 2＝4
k 1
，y 1y 2＝－4．
又线段AB 的中点为M ⎝⎛⎭⎫
x 1＋x 22，y 1＋y 22， ∴M ⎝⎛⎭⎫
2k 2
1
＋1，2k 1
． 同理点N (2k 21＋1，－2k 1)． ∴S △EMN ＝12|EM |·|EN |＝1
2
⎝⎛⎭⎫2k 212＋⎝⎛⎭⎫2k 12·(2k 21)2＋(－2k 1)2
＝2 k 21＋1
k 21
＋2≥22＋2＝4，
当且仅当k 21＝1
k 21，即k 1＝±1时等号成立， ∴△EMN 面积的最小值为4．
(2)证明：由题意，得直线AB 的方程为y ＝k 1(x －m )，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝k 1(x －m )，y 2＝4x ，得k 1y 2－4y －4k 1m ＝0， ∴y 1＋y 2＝4
k 1
，y 1y 2＝－4m ．
又线段AB 的中点为M ⎝⎛⎭⎫
x 1＋x 22，y 1＋y 22， ∴M ⎝⎛⎭⎫2k
2
1
＋m ，2
k 1
． 同理点N ⎝⎛⎭⎫2k 2
2
＋m ，2k 2
． ∴k MN ＝
y M －y N x M －x N ＝k 1k 2
k 1＋k 2＝k 1k 2
，
∴直线MN ：y －2k 1＝k 1k 2⎣⎡⎦⎤x －⎝⎛⎭⎫2k 21＋m ， 即y ＝k 1k 2(x －m )＋2， ∴直线MN 恒过定点(m,2)．
22．(本小题满分12分)如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)，A (2,0)是长轴的一个端点，
弦BC 过椭圆的中心O ，且AC ·
BC ＝0，|OC －OB |＝2|BC －BA |． (1)求椭圆的标准方程；
(2)设P ，Q 为椭圆上异于A ，B 且不重合的两点，若∠PCQ 的平分线总是垂直于x 轴，则是否存在实数λ，使得PQ ＝λAB ？若存在，求出λ的最大值；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵AC ·BC ＝0，∴AC ⊥BC ，∠ACB ＝90°．
又|OC －OB |＝2|BC －BA |，即|BC |＝2|AC |， ∴|OC |＝|AC |，
∴△AOC 是等腰直角三角形． ∵A (2,0)，∴C (1,1)． 又点C 在椭圆上，a ＝2， ∴1a 2＋1b 2＝1，∴b 2＝4
3
， ∴所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2
4
3＝1．
(2)对于椭圆上两点P ，Q ，
∵∠PCQ 的平分线总是垂直于x 轴， ∴PC 与CQ 所在直线关于直线x ＝1对称．
高中数学-打印版
精心校对完整版 设k PC ＝k (k ≠0且k ≠±1)，则k C Q ＝－k ， 则直线PC 的方程为
y －1＝k (x －1)⇒y ＝k (x －1)＋1，①
直线CQ 的方程为
y －1＝－k (x －1)⇒y ＝－k (x －1)＋1，②
将①代入x 24＋3y 24
＝1， 得(1＋3k 2)x 2－6k (k －1)x ＋3k 2－6k －1＝0．③ ∵C (1,1)在椭圆上，∴x ＝1是方程③的一个根，
∴x P ＝3k 2－6k －11＋3k 2
， 以－k 替换k ，得到x Q ＝3k 2＋6k －13k 2＋1
． k PQ ＝y P －y Q x P －x Q ＝k (x P ＋x Q )－2k x P －x Q ＝k ·6k 2－21＋3k 2－2k －12k 1＋3k 2＝－4k 1＋3k 2－12k 1＋3k 2
＝13
． 而k AB ＝13
，∴k PQ ＝k AB ，∴PQ ∥AB ， ∴存在实数λ，使得PQ ＝λAB ．
又|PQ |＝(x P －x Q )2＋(y P －y Q )2 ＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 1＋3k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 1＋3k 22 ＝160k 2
(1＋3k 2)2＝1609k 2＋1k
2＋6≤2303， 当且仅当9k 2＝1k 2，即k 2＝13，k ＝±33
时取等号． 又|AB |＝10，∴λmax ＝230
310
＝233．。