莆田二十五中2016-2017学年高二上学期期中数学试卷(理科) 含解析

2016—2017学年福建省莆田二十五中高二（上)期中数学试卷（理
科）
一．选择题：（共12小题，每小题5分，共60分)．
1．如果a＜b＜0，那么(）
A．a﹣b＞0 B．ac＜bc C．D．a2＜b2
2．等差数列｛a n｝中，a3=7，a9=19，则a5为（）
A．13 B．12 C．11 D．10
3．已知｛a n}是等比数列，a2=2,a5=，则公比q=（）
A．B．﹣2 C．2 D．
4．在△ABC中，若b=3,c=1，cosA=，则a=（）
A． B． C．8 D．12
5．在△ABC中，内角A,B，C的对边分别为a，b，c，若a=3，b=4,C=120°,则△ABC的面积是（）
A．3 B． C．6 D．
6．等差数列｛a n}中，a1=7，a3=3，前n项和为S n,则n=（）时,S n取到最大值．
A．4或5 B．4 C．3 D．2
7．若ax2+x+a＜0的解集为∅,则实数a取值范围(）
A．a≥B．a＜C．﹣≤a≤D．a≤﹣或a≥
8．（5)若xy满足约束条件，则的取值范围为（）
A．［﹣,] B．［﹣，1］C．(﹣∞，﹣］∪［,+∞）D．(﹣∞，﹣]∪[1，+∞) 9．各项都是正数的等比数列｛a n｝，若a2，a3,2a1成等差数列,则的值为（) A．2 B．2或﹣1 C．D．或﹣1
10．已知函数的值域为(﹣∞,0］∪［4，+∞），则a的值是（）A．B．C．1 D．2
11．设等比数列｛a n｝的前n项和为S n，且S2=1,S4=3，则S6=（)
A．5 B．7 C．9 D．11
12．设｛a n｝（n∈N＊）是等差数列，S n是其前n项的和,且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是(）
A．d＜0 B．a7=0
C．S9＞S5D．S6与S7均为S n的最大值
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）．
13．若x,y满足约束条件由约束条件围成的图形的面积．
14．若等差数列{a n}的前n项和为S n（n∈N＊）,若a2：a3=5:2，则S3：S5=．
15．在△ABC中，角A、B、C所对边分别为a、b、c,若bcosC=ccosB成立，则△ABC是三角形．
16．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B 的利润之和的最大值为元．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．已知集合A={x|x2﹣5x﹣6＜0｝，集合B={x|6x2﹣5x+1≥0}，集合C={x|（x﹣m）(x ﹣m﹣9）＜0｝
（1）求A∩B；
（2）若A⊆C,求实数m的取值范围．
18．等差数列｛a n｝满足:a1=1，a2+a6=14；正项等比数列｛b n｝满足：b1=2,b3=8．
（Ⅰ）求数列{a n｝，{b n}的通项公式a n，b n；
（Ⅱ）求数列｛a n•b n}的前n项和T n．
19．已知数列{a n}的前n项和S n，且S n=2n2+3n；
（1）求它的通项a n．
（2）若b n=，求数列｛b n｝的前n项和T n．
20．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．己知c=asinC﹣ccosA．
（1）求A;
（2）若a=2，△ABC的面积为,求b，c．
21．已知{a n}是公差为3的等差数列,数列｛b n}满足b1=1，b2=,a n b n
+1+b n
+1
=nb n．
（Ⅰ)求{a n｝的通项公式；
（Ⅱ）求｛b n｝的前n项和．
22．某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域,分别种植三种植物,相邻矩形区域之间间隔1m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m 宽的通道,左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3m 宽的通道,如图．设矩形温室的室内长为x（m),三块种植植物的矩形区域的总面积为S(m2)．
（1）求S关于x的函数关系式；
（2)求S的最大值，及此时长X的值．
2016—2017学年福建省莆田二十五中高二(上)期中数学
试卷(理科）
参考答案与试题解析
一．选择题：（共12小题，每小题5分，共60分)．
1．如果a＜b＜0，那么（）
A．a﹣b＞0 B．ac＜bc C．D．a2＜b2
【考点】不等关系与不等式．
【分析】根据a＜b＜0，给a,b，c赋予特殊值,即a=﹣2，b=﹣1，c=0，代入即可判定选项真假．
【解答】解：∵a＜b＜0，给a，b，c赋予特殊值，即a=﹣2，b=﹣1，c=0
选项A、B、D都不正确
故选C．
2．等差数列{a n｝中，a3=7，a9=19，则a5为（）
A．13 B．12 C．11 D．10
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】根据公式a3=a1+2d=7，a9=a1+8d=19,可求a1,d,代入等差数列的通项公式可求．【解答】解:根据公式a3=a1+2d=7，a9=a1+8d=19，
解方程得到
故a5=a1+4d=11，
故选C
3．已知{a n}是等比数列，a2=2，a5=,则公比q=（）
A．B．﹣2 C．2 D．
【考点】等比数列．
【分析】根据等比数列所给的两项，写出两者的关系，第五项等于第二项与公比的三次方的乘积，代入数字，求出公比的三次方，开方即可得到结果．
【解答】解:∵{a n｝是等比数列，a2=2，a5=,
设出等比数列的公比是q，
∴a5=a2•q3，
∴==，
∴q=，
故选：D．
4．在△ABC中，若b=3，c=1,cosA=，则a=（）
A． B． C．8 D．12
【考点】余弦定理．
【分析】直接利用余弦定理即可计算求值得解．
【解答】解:∵b=3，c=1,cosA=，
∴由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=9+1﹣2×=8，解得：a=2．
故选：B．
5．在△ABC中,内角A，B，C的对边分别为a,b，c，若a=3,b=4，C=120°,则△ABC的面积是()
A．3 B． C．6 D．
【考点】正弦定理．
【分析】由a，b及sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．
【解答】解：∵a=3，b=4,C=120°，
=absinC=×3×4×=3．
∴S
△ABC
故选B
6．等差数列{a n｝中，a1=7，a3=3,前n项和为S n,则n=（）时，S n取到最大值．
A．4或5 B．4 C．3 D．2
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】由已知条件推导出d=﹣2,从而得到S n=﹣n2+8n，由此利用配方法能求出n=4时，S n取到最大值．
【解答】解：等差数列｛a n｝中,
∵a1=7，a3=3，∴7+2d=3，解得d=﹣2,
∴S n=7n+=﹣n2+8n=﹣（n2﹣8n)=﹣(n﹣4）2+16，
∴n=4时，S n取到最大值．
故选：B．
7．若ax2+x+a＜0的解集为∅,则实数a取值范围（）
A．a≥B．a＜C．﹣≤a≤D．a≤﹣或a≥
【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】理解题意,即该不等式无实解．
【解答】解：∵ax2+x+a＜0的解集为∅，
∴a＞0,△≤0，即a＞0，1﹣4a2≤0，
解得a≥．
故选：A．
8．（5）若xy满足约束条件，则的取值范围为（)
A．［﹣,］B．［﹣，1］C．(﹣∞，﹣]∪［，+∞) D．（﹣∞,﹣
]∪[1,+∞）
【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域,结合的几何意义，即可行域内的动点与定点P（1，﹣1）连线的斜率求得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
的几何意义为可行域内的动点与定点P（1，﹣1)连线的斜率，
∵,,
∴的取值范围为[］．
故选:B．
9．各项都是正数的等比数列｛a n｝，若a2，a3，2a1成等差数列，则的值为（）
A．2 B．2或﹣1 C．D．或﹣1
【考点】等差数列与等比数列的综合．
【分析】设等比数列{a n｝的公比为q,由题意得q＞0，根据条件和等差中项的性质列出方程求出q的值,利用等比数列的通项公式化简即可得答案．
【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，则q＞0，
因为a2，a3，2a1成等差数列，
所以2×a3=a2+2a1，则，
即q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1（舍去），
所以===，
故选：C．
10．已知函数的值域为（﹣∞，0］∪［4，+∞），则a的值是（) A．B．C．1 D．2
【考点】函数的值域．
【分析】利用勾勾函数的性质求解．,当x＞0时,y的最小值为2，当x＜0时，y 的最大值为﹣2，可得答案．
【解答】解：由题意:函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞)，值域为（﹣∞，0］∪［4,+∞）,
令，当x＞0，a＞0时，y的最小值2,
则当x＞0，a＞0时,的最小值为2+2,
由题意：，解得a=1．满足题意．
当x＜0，a＞0时，y的最大值为﹣2+2，
由题意：﹣2+2=﹣1,解得a=1．满足题意．
因此得a=1．
故选:C．
11．设等比数列{a n｝的前n项和为S n，且S2=1，S4=3，则S6=（）
A．5 B．7 C．9 D．11
【考点】等比数列的性质．
【分析】由等比数列的性质可得S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，代入数据计算可得．【解答】解:由等比数列的性质可得S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列,
即1，3﹣1，S6﹣3成等比数列，
∴22=1×（S6﹣3），解得S6=7．
故选：B．
12．设｛a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）
A．d＜0 B．a7=0
C．S9＞S5D．S6与S7均为S n的最大值
【考点】等差数列的前n项和．
，易推出a6＞0，a7=0，a8＜0，然后逐一分析各选【分析】利用结论:n≥2时，a n=s n﹣s n
﹣1
项，排除错误答案．
【解答】解:由S5＜S6得a1+a2+a3+…+a5＜a1+a2++a5+a6，即a6＞0，
又∵S6=S7，
∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7,
∴a7=0，故B正确；
同理由S7＞S8,得a8＜0，
∵d=a7﹣a6＜0，故A正确;
而C选项S9＞S5，即a6+a7+a8+a9＞0，可得2（a7+a8）＞0，由结论a7=0,a8＜0，显然C选项是错误的．
∵S5＜S6,S6=S7＞S8，∴S6与S7均为S n的最大值,故D正确;
故选C．
二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)．
13．若x,y满足约束条件由约束条件围成的图形的面积．
【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，求出三角形顶点的坐标,进一步求出｜AB|，C到AB所在直线的距离,代入三角形面积公式得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，得A（﹣2，﹣1），
联立，得B(1,），
∴｜AB｜=．
又C(0，1）到直线x﹣2y=0的距离d=，
∴由约束条件围成的图形的面积S==．
故答案为:．
14．若等差数列｛a n}的前n项和为S n（n∈N＊）,若a2：a3=5:2，则S3：S5=3：2．【考点】等差数列的性质．
【分析】等差数列{a n}中，由等差数列的通项公式表示出a2与a3，求出(a1+d）与（a1+2d）之比,再利用求和公式表示出S3与S5，利用比例的性质即可求出S3与S5比值．
【解答】解：∵a2=a1+d，a3=a1+2d，a2:a3=5：2，
∴（a1+d）：（a1+2d）=5：2，
∵S3=3a1+d=3（a1+d）,S5=5a1+d=5（a1+d）,
则S3:S5=3（a1+d）：5（a1+d)=15:10=3：2．
故答案为：3：2
15．在△ABC中，角A、B、C所对边分别为a、b、c，若bcosC=ccosB成立，则△ABC是等腰三角形．
【考点】正弦定理；两角和与差的余弦函数．
【分析】运用正弦定理，化简ccosB=bcosC，即sinCcosB=sinBcosC⇒sin（B﹣C）=0，B=C，推出三角形的形状．
【解答】解：∵bcosC=ccosB，
∴sinCcosB=sinBcosC，
∴sin（B﹣C）=0，
∴B=C，
∴三角形是等腰三角形．
故答案为：等腰．
16．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0。

5kg，乙材料0。

3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元．
【考点】简单线性规划的应用．
【分析】设A、B两种产品分别是x件和y件，根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可；
【解答】解:(1)设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元．
由题意，得,z=2100x+900y．
不等式组表示的可行域如图：由题意可得,解得：，A(60，100），
目标函数z=2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000元．
故答案为：216000．
三、解答题(本大题共6小题，共70分）
17．已知集合A=｛x|x2﹣5x﹣6＜0｝，集合B={x｜6x2﹣5x+1≥0},集合C={x｜（x﹣m）（x ﹣m﹣9）＜0}
（1）求A∩B；
（2）若A⊆C，求实数m的取值范围．
【考点】集合的包含关系判断及应用;交集及其运算．
【分析】(1）由A=｛x｜x2﹣5x﹣6＜0}=｛x｜﹣1＜x＜6}，集合B=｛x｜6x2﹣5x+1≥0｝={x|x≥，或x≤｝，能求出A∩B．
(2）由A⊆C,建立不等式组，能求出m的取值范围．
【解答】解：（1)∵A=｛x|x2﹣5x﹣6＜0｝=｛x｜﹣1＜x＜6}，
集合B={x｜6x2﹣5x+1≥0｝=｛x|x≥，或x≤｝，
∴A∩B={x｜﹣1＜x≤，或≤x＜6｝．
(2）∵集合C={x｜（x﹣m）（x﹣m﹣9)＜0｝={x|m＜x＜m+9}，A⊆C，
∴,
解得﹣3≤m≤﹣1．
∴m的取值范围是｛m|﹣3≤m≤﹣1｝．
18．等差数列｛a n｝满足：a1=1，a2+a6=14;正项等比数列｛b n}满足:b1=2，b3=8．
（Ⅰ）求数列｛a n｝，{b n｝的通项公式a n，b n；
（Ⅱ）求数列｛a n•b n}的前n项和T n．
【考点】数列的求和．
【分析】(Ⅰ）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出;
(Ⅱ)由（I)有，利用“错位相减法"与等比数列的前n项和公式即可得
解．
【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，
∵a1=1，a2+a6=14；
∴2×1+6d=14,解得d=2．
∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．
设正项等比数列{b n｝的公比为q＞0,
∵b1=2,b3=8．
∴2q2=8,解得q=2．
∴b n=2×2n﹣1=2n．
因此数列{a n}，｛b n}的通项公式．
（II）由（I）有，
两式相减，得
=
，
∴．
19．已知数列{a n｝的前n项和S n，且S n=2n2+3n;
(1）求它的通项a n．
（2）若b n=，求数列｛b n}的前n项和T n．
【考点】数列的求和；等差数列的性质．
，化简【分析】（1）由数列的通项和求和的关系:当n=1时,a1=S1，当n＞1时，a n=S n﹣S n
﹣1
即可得到所求通项;
（2）求得b n===（﹣)，再由数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理即可得到所求和．
【解答】解：（1）由S n=2n2+3n,
当n=1时，a1=S1=5；
当n＞1时，a n=S n﹣S n
﹣1
=2n2+3n﹣2（n﹣1）2﹣3(n﹣1)
=4n+1,对n=1也成立．
则通项a n=4n+1;
(2）b n===（﹣）,
即有前n项和T n=（﹣+﹣+…+﹣）
=（﹣）=．
20．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．己知c=asinC﹣ccosA．
（1）求A；
(2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（1）由c=asinC﹣ccosA,由正弦定理可得：sinC=sinAsinC﹣sinCcosA,化为=，即可得出．
（2）由a=2，△ABC的面积为,可得bc=4．由余弦定理可得:，化为b+c=4．联立解出即可．
【解答】解：（1）∵△ABC中,c=asinC﹣ccosA，
由正弦定理可得:sinC=sinAsinC﹣sinCcosA，
∵sinC≠0，∴1=sinA﹣cosA=2，
即=，∵∈，
∴=,
∴A=．
（2)∵a=2,△ABC的面积为，
∴，化为bc=4．
由余弦定理可得：，
化为b+c=4．
联立,解得b=c=2．
∴b=c=2．
21．已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n｝满足b1=1,b2=，a n b n
+1+b n
+1
=nb n．
（Ⅰ)求{a n ｝的通项公式； （Ⅱ）求｛b n }的前n 项和． 【考点】数列递推式．
【分析】（Ⅰ)令n=1，可得a 1=2，结合｛a n }是公差为3的等差数列，可得｛a n ｝的通项公式； （Ⅱ)由（1）可得：数列｛b n }是以1为首项，以为公比的等比数列，进而可得：｛b n }的前n 项和．
【解答】解：（Ⅰ）∵a n b n +1+b n +1=nb n ．
当n=1时，a 1b 2+b 2=b 1． ∵b 1=1，b 2=，
∴a 1=2，
又∵{a n ｝是公差为3的等差数列， ∴a n =3n ﹣1， (Ⅱ)由（I ）知：（3n ﹣1）b n +1+b n +1=nb n ． 即3b n +1=b n ．
即数列{b n }是以1为首项，以为公比的等比数列,
∴{b n ｝的前n 项和S n =
=（1﹣3﹣n ）=﹣
．
22．某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物,相邻矩形区域之间间隔1m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留 1m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留 3m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x(m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S （m 2）． （1）求S 关于x 的函数关系式； （2)求S 的最大值，及此时长X 的
值．
【考点】函数解析式的求解及常用方法．
【分析】（1）根据题意,室内面积为900m 2的矩形，长为x （m ）,则宽为：，三块种植
植物的矩形长度为x ﹣8，则宽为,植植物的矩形区域的总面积为S=长×宽，可得S
关于x 的函数关系式．
（2）利用基本不等式的性质求解S的最大值以及长度x的值．
【解答】解：（1）由题意:室内面积为900m2的矩形，长为x（m)，则宽为：，三块种植植物的矩形长度为x﹣8，则宽为，
植物的矩形区域的总面积为S=，
（2）由（1）可得S=，
化简可得：S=916﹣（2x），
∵2x≥2=240，（当且仅当x=60时取等号）
∴S max=916﹣240=676（m2）
此时长为x=60．
故得S的最大值676平方米，长度为60米．
2016年12月21日。