九年级数学下册实际问题与反比例函数教案新人教

26.2实际问题与反比例函数
课题26.2实际问题与反比例函数授课类型新授课课题依据
结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式和性质。

教学目标
知识与技能
分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式。

会利用反比例函数的知识分析、解决实际问题。

过程与方法
渗透数形结合思想，提高学生用函数观点解决问题的能
力。

情感态度与价值观
培养观察、推理、分析能力，体会由实际问题转化为数
学模型，认识反比例函数的应用价值。

教学重点难点
教学重点利用反比例函数的知识分析、解决实际问题。

教学难点分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式。

知识链接
学生以经学习了反比例函数的概念与性质，并县通过对一次函数与二次函数与实际问题的学习，积累了从实际问题中抽象出数学模型的经验。

教法学法类比——交流——引导——反思媒体运用PPT课件
教学过程设计复习引入
（一）复习
什么是反比例函数？
反比例函数图象是什么？
反比例函数的性质？
(二)出示本课课题及学习目标
任务一：反比例函数与体积计算
市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱形煤气储存室.
问题：(1)储存室的底面积S(单位:m2)与其深度d(单位:m)有怎样的函数关系?
(2)公司决定把储存室的底面积S定为500 m2,施工队施工时应该向下掘进多深?
(3)当施工队按(2)中的计划掘进到地下15m时,碰上了坚硬的岩石.为了节约建设资金,储存室的底面积应改为多少才能满足需要(保留两位小数)?
练习：见PPT第5页。

任务二：反比例函数与工程问题
例：码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物,把轮船装载完毕恰好用了8天时间.
(1)轮船到达目的地后开始卸货,卸货速度v(单位:吨/天)与卸货时间t(单位:天)之间有怎样的函数关系?
(2)由于遇到紧急情况,船上的货物必须在不超过5日内卸载完毕,那么平均每天至少要卸多少吨货物?
练习：见PP T第7页。

任务三：反比例函数与其它学科
1、杠杆定理。

小伟欲用雪撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1200牛顿和0.5米.
问题：(1)动力F与动力臂L有怎样的函数关系?当动力臂为1.5米时,撬动石头至少需要多大的力?
2、例题解析：欧母定理
一个用电器的电阻是可调节的,其范围为110～
220欧姆.已知电压为220伏,这个用电器的电路
图如图所示.
(1)输出功率P与电阻R有怎样的
函数关系?
(2)用电器输出功率的范围多大?
3、练习见PPT第11页
小结
本节课你学到那些知识？学会了什么方法？你还有什么其他收获吗？
练习及作业设计当堂检测：
见PPT第13－15.
作业：
C.组：
课本P15习题第2题，第3题。

A.B组：
课本P16习题26.2第5题，第6题。

《绩优学案》第10~13页按ABC组分别完成
教学反思
中考数学模拟试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．在六张卡片上分别写有13，π，1.5，5，0，2六个数，从中任意抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是（ ） A ．16 B ．13 C ．12 D ．
56 【答案】B
【解析】无限不循环小数叫无理数，无理数通常有以下三种形式：一是开方开不尽的数，二是圆周率π，三是构造的一些不循环的数，如1.010010001……（两个1之间0的个数一次多一个）.然后用无理数的个数除以所有书的个数，即可求出从中任意抽取一张，卡片上的数为无理数的概率.
【详解】∵这组数中无理数有π，2共2个，
∴卡片上的数为无理数的概率是21=63
. 故选B.
【点睛】
本题考查了无理数的定义及概率的计算.
2．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y （单位：3m ）与旋钮的旋转角度x （单位：度）（090x <≤）近似满足函数关系y=ax 2+bx+c(a≠0).如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x 与燃气量y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（ ）
A ．18
B ．36
C ．41
D ．58
【答案】C 【解析】根据已知三点和近似满足函数关系y=ax 2+bx+c(a≠0)可以大致画出函数图像，并判断对称轴位置在36和54之间即可选择答案.
【详解】解：由图表数据描点连线，补全图像可得如图，
抛物线对称轴在36和54之间，约为41℃
∴旋钮的旋转角度x 在36°和54°之间，约为41℃时，燃气灶烧开一壶水最节省燃气.
故选：C ，
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，二次函数的图像性质，熟练掌握二次函数图像对称性质，判断对称轴位置是解题关键.综合性较强，需要有较高的思维能力，用图象法解题是本题考查的重点．
3．若数a ，b 在数轴上的位置如图示，则（ ）
A ．a+b ＞0
B ．ab ＞0
C ．a ﹣b ＞0
D ．﹣a ﹣b ＞0
【答案】D
【解析】首先根据有理数a ，b 在数轴上的位置判断出a 、b 两数的符号，从而确定答案．
【详解】由数轴可知：a ＜0＜b ，a<-1，0<b<1,
所以,A.a+b<0，故原选项错误；
B. ab ＜0，故原选项错误；
C.a-b<0，故原选项错误；
D.
0a b -->,正确. 故选D ．
【点睛】
本题考查了数轴及有理数的乘法，数轴上的数：右边的数总是大于左边的数，从而确定a ，b 的大小关系．
4．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝30°，AB 的垂直平分线l 交AC 于点D ，则∠CBD 的度数为( )
A．30°B．45°C．50°D．75°
【答案】B
【解析】试题解析：∵AB=AC，∠A=30°，∴∠ABC=∠ACB=75°，∵AB的垂直平分线交AC于D，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD=30°，∴∠BDC=60°，∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°．故选B．
5．如图，甲圆柱型容器的底面积为30cm2，高为8cm，乙圆柱型容器底面积为xcm2，若将甲容器装满水，然后再将甲容器里的水全部倒入乙容器中（乙容器无水溢出），则乙容器水面高度y（cm）与x（cm2）之间的大致图象是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据题意可以写出y关于x的函数关系式，然后令x=40求出相应的y值，即可解答本题．
【详解】解：由题意可得，
y=308
x
=
240
x
，
当x=40时，y=6，
故选C．
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象，根据题意列出函数解析式是解决此题的关键．
6．如图，正六边形ABCDEF内接于O，M为EF的中点，连接DM，若O的半径为2，则MD的长度为()
A ．7
B ．5
C ．2
D ．1
【答案】A 【解析】连接OM 、OD 、OF ，由正六边形的性质和已知条件得出OM ⊥OD ，OM ⊥EF ，∠MFO=60°，由三角函数求出OM ，再由勾股定理求出MD 即可．
【详解】连接OM 、OD 、OF ，
∵正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，M 为EF 的中点，
∴OM ⊥OD ，OM ⊥EF ，∠MFO=60°，
∴∠MOD=∠OMF=90°，
∴OM=OF•sin ∠MFO=2×32
=3， ∴MD=()2222327OM OD +=
+=，
故选A ．
【点睛】
本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、三角函数、勾股定理；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出OM 是解决问题的关键．
7．如图，△ABC 在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形的顶点位置．如果△ABC 的面积为10，且sinA 5C 的位置可以在（ ）
A ．点C 1处
B ．点
C 2处 C ．点C 3处
D ．点C 4处
【答案】D
【解析】如图：
∵AB=5,10ABC S =△, ∴D 4C =4, ∵5sin 5A =, ∴545DC AC AC ==,∴AC=45, ∵在RT △AD 4C 中，D 44C =,AD=8, ∴A 4C =228445+=,故答案为D.
8．如图，将木条a ，b 与c 钉在一起，∠1=70°，∠2=50°，要使木条a 与b 平行，木条a 旋转的度数至少是（ ）
A ．10°
B ．20°
C ．50°
D ．70°
【答案】B 【解析】要使木条a 与b 平行，那么∠1=∠2，从而可求出木条a 至少旋转的度数.
【详解】解：∵要使木条a 与b 平行，
∴∠1=∠2，
∴当∠1需变为50 º，
∴木条a 至少旋转：70º-50º=20º.
故选B.
【点睛】
本题考查了旋转的性质及平行线的性质：①两直线平行同位角相等；②两直线平行内错角相等；③两直线平行同旁内角互补；④夹在两平行线间的平行线段相等.在运用平行线的性质定理时，一定要找准同位角，内错角和同旁内角.
9．如图，能判定EB∥AC的条件是( )
A．∠C=∠ABE B．∠A=∠EBD
C．∠A=∠ABE D．∠C=∠ABC
【答案】C
【解析】在复杂的图形中具有相等关系的两角首先要判断它们是否是同位角或内错角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．
【详解】A、∠C=∠ABE不能判断出EB∥AC，故本选项错误；
B、∠A=∠EBD不能判断出EB∥AC，故本选项错误；
C、∠A=∠ABE，根据内错角相等，两直线平行，可以得出EB∥AC，故本选项正确；
D、∠C=∠ABC只能判断出AB=AC，不能判断出EB∥AC，故本选项错误．
故选C．
【点睛】
本题考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
10．如图是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】分析：根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
详解：从上面看第一列是两个小正方形，第二列是一个小正方形，第三列是一个小正方形，
故选：A ．
点睛：本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
二、填空题（本题包括8个小题）
11．.如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径 CA=6，圆心角∠ACB=120°， 则此圆锥高 OC 的长度是_______．
【答案】2【解析】先根据圆锥的侧面展开图，扇形的弧长等于该圆锥的底面圆的周长，求出 OA ，最后用勾股定理即可得出结论．
【详解】设圆锥底面圆的半径为 r ，
∵AC=6，∠ACB=120°， ∴1206180
l π⨯⨯==2πr ， ∴r=2，即：OA=2，
在 Rt △AOC 中，OA=2，AC=6，根据勾股定理得，22AC OA -2 故答案为2
【点睛】
本题考查了扇形的弧长公式，圆锥的侧面展开图，勾股定理，求出 OA 的长是解本题的关键．
12．已知实数m ，n 满足23650m m +-=，23650n n +-=，且m n ≠，则
n m m n += ． 【答案】225
-． 【解析】试题分析：由m n ≠时，得到m ，n 是方程23650x x +-=的两个不等的根，根据根与系数的关系进行求解．
试题解析：∵m n ≠时，则m ，n 是方程3x 2﹣6x ﹣5=0的两个不相等的根，∴2m n +=，53
mn =-．
∴原式=22m n mn +=2
()2m n mn mn +-=2522()223553-⨯-=--，故答案为225-． 考点：根与系数的关系．
13．已知一元二次方程x 2－4x －3＝0的两根为m ，n ，则2m －mn ＋2n = ．
【答案】1
【解析】试题分析：由m 与n 为已知方程的解，利用根与系数的关系求出m+n=4，mn=﹣3，将所求式子利用完全平方公式变形后，即2m ﹣mn+2n =()2
m n +﹣3mn=16+9=1．
故答案为1．
考点：根与系数的关系．
14．在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（a ，3），点B 的坐标是（4，b ），若点A 与点B 关于原点O 对称，则ab=_____．
【答案】1
【解析】直接利用关于原点对称点的性质得出a ，b 的值，进而得出答案．
【详解】∵点A 的坐标为（a ，3），点B 的坐标是（4，b ），点A 与点B 关于原点O 对称，
∴a=﹣4，b=﹣3，
则ab=1，
故答案为1．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟知关于原点对称的两点的横、纵坐标互为相反数是解题的关键.
15．一元二次方程x 2=3x 的解是：________．
【答案】x 1=0，x 2=1
【解析】先移项，然后利用因式分解法求解．
【详解】x 2=1x
x 2-1x=0，
x(x-1)=0，
x=0或x-1=0，
∴x 1=0，x 2=1．
故答案为：x 1=0，x 2=1
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为0，再把方程左边分解为两个一次式的乘积，这样原方程转化为两个一元一次方程，然后解一次方程即可得到一元二次方程的解
16．如图，直线y1＝mx经过P(2，1)和Q(－4，－2)两点，且与直线y2＝kx＋b交于点P，则不等式kx＋b＞mx＞－2的解集为_________________．
【答案】－4＜x＜1
【解析】将P（1，1）代入解析式y1=mx，先求出m的值为1
2
，将Q点纵坐标y=1代入解析式y=
1
2
x，
求出y1=mx的横坐标x=-4，即可由图直接求出不等式kx+b＞mx＞-1的解集为y1＞y1＞-1时，x的取值范围为-4＜x＜1．
故答案为-4＜x＜1．
点睛：本题考查了一次函数与一元一次不等式，求出函数图象的交点坐标及函数与x轴的交点坐标是解题的关键．
17．如图，四边形OABC中，AB∥OC，边OA在x轴的正半轴上，OC在y轴的正半轴上，点B在第一象限内，点D为AB的中点，CD与OB相交于点E，若△BDE、△OCE的面积分别为1和9，反比例函
数y=k
x
的图象经过点B，则k=_______.
【答案】16
【解析】根据题意得S△BDE：S△OCE=1:9，故BD：OC=1:3，设D（a,b）则A(a,0),B(a,2b)，得C(0,3b)，由S△OCE=9得ab=8，故可得解.
【详解】解：设D（a,b）则A(a,0),B(a,2b)
∵S△BDE：S△OCE=1:9
∴BD：OC=1:3
∴C(0,3b)
∴△COE高是OA的3
4
，
∴S△OCE=3ba×3
4
1
2
⨯=9
解得ab=8
k=a×2b=2ab=2×8=16
故答案为16.
【点睛】
此题利用了：①过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式；②所给的面积应整理为和反比例函数上的点的坐标有关的形式．
18．如图，已知，第一象限内的点A在反比例函数y＝2
x
的图象上，第四象限内的点B在反比例函数y
＝k
x
的图象上．且OA⊥OB，∠OAB＝60°，则k的值为_________．
【答案】-6
【解析】如图，作AC⊥x轴，BD⊥x轴，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，
∵∠OAC+∠AOC=90°，∠AOC+∠BOD=90°，∴∠OAC=∠BOD，
∴△ACO∽△ODB，
∴OA OC AC OB BD OD
==，
∵∠OAB=60°，
∴33OA OB =， 设A （x ，2x ）， ∴BD=3OC=3x ，OD=3AC=23x
， ∴B （3x ，-23x
）， 把点B 代入y=
k x 得，-23x =3k x ，解得k=-6， 故答案为-6.
三、解答题（本题包括8个小题）
19．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是AB 延长线上的点，CD 与⊙O 相切于点D ，连结BD 、AD ．求证；∠BDC ＝∠A ．若∠C ＝45°，⊙O 的半径为1，直接写出AC 的长．
【答案】（1）详见解析；（2）2【解析】（1）连接OD ，结合切线的性质和直径所对的圆周角性质，利用等量代换求解（2）根据勾股定理先求OC ，再求AC.
【详解】（1）证明：连结OD ．如图，
CD 与O 相切于点D ，
OD CD ，∴⊥
2BDC 90∠∠∴+︒＝，
AB 是O 的直径，
ADB 90∠∴︒＝，即1290∠∠+︒＝，
1BDC ∠∠∴＝，
OA OD ＝，
1A ∠∠∴＝，
BDC A ∠∠∴＝；
（2）解：在Rt ODC 中，C 45∠︒＝， 2212OC OD AC OA OC ∴==∴=+=+ .
【点睛】
此题重点考查学生对圆的认识，熟练掌握圆的性质是解题的关键.
20．知识改变世界，科技改变生活.导航装备的不断更新极大方便了人们的出行.如图，某校组织学生乘车到黑龙滩（用C 表示）开展社会实践活动，车到达A 地后，发现C 地恰好在A 地的正北方向，且距离A 地13千米，导航显示车辆应沿北偏东60°方向行驶至B 地，再沿北偏西37°方向行驶一段距离才能到达C 地，求B 、C 两地的距离.（参考数据：sin53°≈45,cos53°≈35
，tan53°≈43)
【答案】（3.
【解析】分析：作BD ⊥AC ，设AD=x ，在Rt △ABD 中求得3，在Rt △BCD 中求得43x ，由AC=AD+CD 建立关于x 的方程，解之求得x 的值，最后由BC=
BD cos DBC
∠可得答案． 详解：过点B 作BD ⊥ AC ，
依题可得：∠BAD=60°，∠CBE=37°,AC=13（千米），∵BD⊥AC，
∴∠ABD=30°，∠CBD=53°,
在Rt△ABD中，设AD=x，
∴tan∠ABD=AD BD
即tan30°=
3 AD
BD
=
∴3，
在Rt△DCB中，
∴tan∠CBD=CD BD
即tan53°=
4
3 CD
BD
=，
∴CD=43 3
x
∵CD+AD=AC,
∴43x
=13，解得，x=433
∴BD=12-33
在Rt△BDC中，
∴cos∠CBD=tan60°=BD BC
,
即：BC=
1233
2053
5
BD
cos DBC
-
==-
∠千米),
故B、C两地的距离为（3.
点睛：此题考查了方向角问题．此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解．
21．央视热播节目“朗读者”激发了学生的阅读兴趣，某校为满足学生的阅读需求，欲购进一批学生喜欢的图书，学校组织学生会成员随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类，根据调查结果绘制了统计图（未完成），请根据图中信息，解答下列问题：
此次共调查了名学生；将
条形统计图1补充完整；图2中“小说类”所在扇形的圆心角为度；若该校共有学生2000人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数．
【答案】(1)200；(2)见解析；(3)126°；(4)240人．
【解析】(1)根据文史类的人数以及文史类所占的百分比即可求出总人数
(2)根据总人数以及生活类的百分比即可求出生活类的人数以及小说类的人数;
(3)根据小说类的百分比即可求出圆心角的度数;
(4)利用样本中喜欢社科类书籍的百分比来估计总体中的百分比,从而求出喜欢社科类书籍的学生人数
【详解】(1)∵喜欢文史类的人数为76人，占总人数的38%，
∴此次调查的总人数为：76÷38%＝200人，
故答案为200；
(2)∵喜欢生活类书籍的人数占总人数的15%，
∴喜欢生活类书籍的人数为：200×15%＝30人，
∴喜欢小说类书籍的人数为：200﹣24﹣76﹣30＝70人，
如图所示：
(3)∵喜欢社科类书籍的人数为：24人，
∴喜欢社科类书籍的人数占了总人数的百分比为：
24
100
×100%＝12%，
∴喜欢小说类书籍的人数占了总分数的百分比为：100%﹣15%﹣38%﹣12%＝35%，
∴小说类所在圆心角为：360°×35%＝126°；
(4)由样本数据可知喜欢“社科类”书籍的学生人数占了总人数的12%，
∴该校共有学生2000人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数：2000×12%＝240人．
【点睛】
此题考查扇形统计图和条形统计图，看懂图中数据是解题关键
22．如图，在东西方向的海岸线MN上有A，B两港口，海上有一座小岛P，渔民每天都乘轮船从A，B 两港口沿AP，BP的路线去小岛捕鱼作业．已知小岛P在A港的北偏东60°方向，在B港的北偏西45°方向，小岛P距海岸线MN的距离为30海里．
求AP，BP的长（参考数据：2，3，5）；
甲、乙两船分别从A，B两港口同时出发去小岛P捕鱼作业，甲船比乙船晚到小岛24分钟．已知甲船速度是乙船速度的1.2倍，利用（1）中的结果求甲、乙两船的速度各是多少海里/时？
【答案】（1）AP＝60海里，BP＝42(海里)；（2）甲船的速度是24海里/时，乙船的速度是20海里/时
【解析】（1）过点P作PE⊥AB于点E，则有PE=30海里，由题意，可知∠PAB=30°，∠PBA=45°，从而可得AP＝60海里，在Rt△PEB中，利用勾股定理即可求得BP的长；
(2)设乙船的速度是x海里/时，则甲船的速度是1.2x海里/时，根据甲船比乙船晚到小岛24分钟列出分式
方程，求解后进行检验即可得.
【详解】(1)如图，过点P作PE⊥MN，垂足为E，
由题意，得∠PAB＝90°－60°＝30°，∠PBA＝90°－45°＝45°，∵PE＝30海里，∴AP＝60海里，
∵PE⊥MN，∠PBA＝45°，∴∠PBE＝∠BPE＝45°，
∴PE＝EB＝30海里，
在Rt△PEB中，BP＝22
PE EB
+＝302≈42海里，
故AP＝60海里，BP＝42(海里)；
(2)设乙船的速度是x海里/时，则甲船的速度是1.2x海里/时，
根据题意，得
604224 1.260
x x
-=，
解得x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，
甲船的速度为1.2x＝1.2×20＝24(海里/时).，
答：甲船的速度是24海里/时，乙船的速度是20海里/时.
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，分式方程的应用，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握各相关知识是解题的关键.
23．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点O在边AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点C，过点C作直线MN，使∠BCM=2∠A．判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由；若OA=4，∠BCM=60°，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）相切；（2）16
43 3
π
-
【解析】试题分析：（1）MN 是⊙O 切线，只要证明∠OCM=90°即可．（2）求出∠AOC 以及BC ，根据S 阴=S 扇形OAC ﹣S △OAC 计算即可．
试题解析：（1）MN 是⊙O 切线．
理由：连接OC ．
∵OA=OC ，
∴∠OAC=∠OCA ，
∵∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A ，∠BCM=2∠A ，
∴∠BCM=∠BOC ，
∵∠B=90°，
∴∠BOC+∠BCO=90°，
∴∠BCM+∠BCO=90°，
∴OC ⊥MN ，
∴MN 是⊙O 切线．
（2）由（1）可知∠BOC=∠BCM=60°，
∴∠AOC=120°，
在RT △BCO 中，OC=OA=4，∠BCO=30°，
∴BO=12OC=2，BC=23 ∴S 阴=S 扇形OAC ﹣S △OAC =2
12041
164234336023ππ
-⨯⨯=-．
考点：直线与圆的位置关系；扇形面积的计算．
24．先化简22
11a a a a ⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭，然后从22a -≤<中选出一个合适的整数作为a 的值代入求值．
【答案】-1
【解析】先化简，再选出一个合适的整数代入即可，要注意a 的取值范围.
【详解】解：2211a a a a ⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭
(1)(1)12
a a a a a ---=
•- 1(1)12a a a a a -+-=•- 2
a =， 当2a =-时，原式212
-=
=-． 【点睛】 本题考查的是代数式的求值，熟练掌握代数式的化简是解题的关键.
25．发现
如图1，在有一个“凹角∠A 1A 2A 3”n 边形A 1A 2A 3A 4……A n 中（n 为大于3的整数），∠A 1A 2A 3＝∠A 1+∠A 3+∠A 4+∠A 5+∠A 6+……+∠A n ﹣（n ﹣4）×180°．
验证如图2，在有一个“凹角∠ABC”的四边形ABCD 中，证明：∠ABC ＝∠A+∠C+∠D ．证明3，在有一个“凹角∠ABC”的六边形ABCDEF 中，证明；∠ABC ＝∠A+∠C+∠D+∠E+∠F ﹣360°．
延伸如图4，在有两个连续“凹角A 1A 2A 3和∠A 2A 3A 4”的四边形A 1A 2A 3A 4……A n 中（n 为大于4的整数），∠A 1A 2A 3+∠A 2A 3A 4＝∠A 1+∠A 4+∠A 5+∠A 6……+∠A n ﹣（n ﹣ ）×180°．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）1．
【解析】（1）如图2，延长AB 交CD 于E ，可知∠ABC ＝∠BEC+∠C ，∠BEC ＝∠A+∠D ，即可解答 （2）如图3，延长AB 交CD 于G ，可知∠ABC ＝∠BGC+∠C ，即可解答
（3）如图4，延长A 2A 3交A 5A 4于C ，延长A 3A 2交A 1A n 于B ，可知∠A 1A 2A 3+∠A 2A 3A 4＝
∠A 1+∠2+∠A 4+∠4，再找出规律即可解答
【详解】（1）如图2，延长AB 交CD 于E ，
则∠ABC ＝∠BEC+∠C ，∠BEC ＝∠A+∠D ，
∴∠ABC ＝∠A+∠C+∠D ；
（2）如图3，延长AB 交CD 于G ，则∠ABC ＝∠BGC+∠C ，
∵∠BGC＝180°﹣∠BGC，∠BGD＝3×180°﹣（∠A+∠D+∠E+∠F），
∴∠ABC＝∠A+∠C+∠D+∠E+∠F﹣310°；
（3）如图4，延长A2A3交A5A4于C，延长A3A2交A1A n于B，
则∠A1A2A3+∠A2A3A4＝∠A1+∠2+∠A4+∠4，
∵∠1+∠3＝（n﹣2﹣2）×180°﹣（∠A5+∠A1……+∠A n），
而∠2+∠4＝310°﹣（∠1+∠3）＝310°﹣[（n﹣2﹣2）×180°﹣（∠A5+∠A1……+∠A n）]，
∴∠A1A2A3+∠A2A3A4＝∠A1+∠A4+∠A5+∠A1……+∠A n﹣（n﹣1）×180°．
故答案为1．
【点睛】
此题考查多边形的内角和外角，，解题的关键是熟练掌握三角形的外角的性质，属于中考常考题型
26．如图，直线y=1
2
x+2与双曲线y=
k
x
相交于点A（m，3），与x轴交于点C．求双曲线的解析式；点
P在x轴上，如果△ACP的面积为3，求点P的坐标．
【答案】（1）
6
y
x
（2）(-6,0)或(-2,0).
【解析】分析：（1）把A点坐标代入直线解析式可求得m的值，则可求得A点坐标，再把A点坐标代入双曲线解析式可求得k的值，可求得双曲线解析式；
（2）设P（t，0），则可表示出PC的长，进一步表示出△ACP的面积，可得到关于t的方程，则可求得P点坐标．
详解：（1）把A点坐标代入y=1
2
x+2，可得：3=
1
2
m+2，解得：m=2，∴A（2，3）．∵A点也在
双曲线上，∴k=2×3=6，∴双曲线解析式为y=6
x
；
（2）在y=1
2
x+2中，令y=0可求得：x=﹣4，∴C（﹣4，0）．∵点P在x轴上，∴可设P点
坐标为（t，0），∴CP=|t+4|，且A（2，3），∴S△ACP=1
2
×3|t+4|．∵△ACP的面积为3，∴
1
2
×3|t+4|=3，
解得：t=﹣6或t=﹣2，∴P点坐标为（﹣6，0）或（﹣2，0）．
点睛：本题主要考查函数图象的交点，掌握函数图象的交点坐标满足每个函数解析式是解题的关键．
中考数学模拟试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．已知抛物线y ＝x 2+bx+c 的部分图象如图所示，若y ＜0，则x 的取值范围是（ ）
A ．﹣1＜x ＜4
B ．﹣1＜x ＜3
C ．x ＜﹣1或x ＞4
D ．x ＜﹣1或x ＞3
【答案】B 【解析】试题分析：观察图象可知,抛物线y=x 2＋bx ＋c 与x 轴的交点的横坐标分别为（﹣1,0）、（1,0）, 所以当y ＜0时,x 的取值范围正好在两交点之间,即﹣1＜x ＜1．
故选B ．
考点：二次函数的图象．106144
2．如图，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象经过点（1，2）且与x 轴交点的横坐标分别为x 1，x 2，其中﹣1＜x 1＜0，1＜x 2＜2，下列结论：4a+2b+c ＜0，2a+b ＜0，b 2+8a ＞4ac ，a ＜﹣1，其中结论正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】D 【解析】由抛物线的开口向下知a<0，
与y 轴的交点为在y 轴的正半轴上，得c>0，
对称轴为x=2b a
<1，∵a<0，∴2a+b<0， 而抛物线与x 轴有两个交点,∴2b −4ac>0，
当x=2时，y=4a+2b+c<0，当x=1时，a+b+c=2.
∵244ac b a
- >2，∴4ac−2b <8a ，∴2b +8a>4ac ， ∵①a+b+c=2，则2a+2b+2c=4，②4a+2b+c<0，③a−b+c<0.
由①，③得到2a+2c<2，由①，②得到2a−c<−4，4a−2c<−8，
上面两个相加得到6a<−6，∴a<−1.故选D.
点睛：本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠ 中，a 的符号由抛物线的开口方向决定；c 的符号由抛物线与y 轴交点的位置决定；b 的符号由对称轴位置与a 的符号决定；抛物线与x 轴的交点个数决定根的判别式的符号，注意二次函数图象上特殊点的特点.
3．如图，边长为2a 的等边△ABC 中，M 是高CH 所在直线上的一个动点，连接MB ，将线段BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接HN ．则在点M 运动过程中，线段HN 长度的最小值是（ ）
A ．12a
B ．a
C ．32a
D ．3a
【答案】A
【解析】取CB 的中点G ，连接MG ，根据等边三角形的性质可得BH=BG ，再求出∠HBN=∠MBG ，根据旋转的性质可得MB=NB ，然后利用“边角边”证明∴△MBG ≌△NBH ，再根据全等三角形对应边相等可得HN=MG ，然后根据垂线段最短可得MG ⊥CH 时最短，再根据∠BCH=30°求解即可．
【详解】如图，取BC 的中点G ，连接MG ，
∵旋转角为60°，
∴∠MBH+∠HBN=60°，
又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，
∴∠HBN=∠GBM ，
∵CH 是等边△ABC 的对称轴，
∴HB=12AB ， ∴HB=BG ，
又∵MB 旋转到BN ， ∴BM=BN ， 在△MBG 和△NBH 中，
BG BH MBG NBH MB NB ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△MBG ≌△NBH （SAS ），
∴MG=NH ，
根据垂线段最短，MG ⊥CH 时，MG 最短，即HN 最短，
此时∵∠BCH=
12×60°=30°，CG=12AB=12
×2a=a ， ∴MG=12CG=12×a=2
a ， ∴HN=2a ， 故选A ．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
4．下面四个立体图形，从正面、左面、上面对空都不可能看到长方形的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形依此找到从正面、左面、上面观察都不可能看到长方形的图形．
【详解】解：A 、主视图为三角形，左视图为三角形，俯视图为有对角线的矩形，故本选项错误；
B、主视图为等腰三角形，左视图为等腰三角形，俯视图为圆，从正面、左面、上面观察都不可能看到长方形，故本选项正确；
C、主视图为长方形，左视图为长方形，俯视图为圆，故本选项错误；
D、主视图为长方形，左视图为长方形，俯视图为长方形，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】
本题重点考查三视图的定义以及考查学生的空间想象能力．
5．如图，A、B两点在双曲线y=4
x
上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影=1，则S1+S2=（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】欲求S1+S1，只要求出过A、B两点向x轴、y轴作垂线段与坐标轴所形成的矩形的面积即可，
而矩形面积为双曲线y=4
x
的系数k，由此即可求出S1+S1．
【详解】∵点A、B是双曲线y=4
x
上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，
则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4，
∴S1+S1=4+4-1×1=2．
故选D．
6．一次函数y1＝kx+1﹣2k（k≠0）的图象记作G1，一次函数y2＝2x+3（﹣1＜x＜2）的图象记作G2，对于这两个图象，有以下几种说法：
①当G1与G2有公共点时，y1随x增大而减小；
②当G1与G2没有公共点时，y1随x增大而增大；
③当k＝2时，G1与G2平行，且平行线之间的距离为．
下列选项中，描述准确的是（）
A．①②正确，③错误B．①③正确，②错误
C．②③正确，①错误D．①②③都正确
【答案】D
【解析】画图，找出G2的临界点，以及G1的临界直线，分析出G1过定点，根据k的正负与函数增减变化的关系，结合函数图象逐个选项分析即可解答．
【详解】解：一次函数y2＝2x+3（﹣1＜x＜2）的函数值随x的增大而增大，如图所示，
N（﹣1，2），Q（2，7）为G2的两个临界点，
易知一次函数y1＝kx+1﹣2k（k≠0）的图象过定点M（2，1），
直线MN与直线MQ为G1与G2有公共点的两条临界直线，从而当G1与G2有公共点时，y1随x增大而减小；故①正确；
当G1与G2没有公共点时，分三种情况：
一是直线MN，但此时k＝0，不符合要求；
二是直线MQ，但此时k不存在，与一次函数定义不符，故MQ不符合题意；
三是当k＞0时，此时y1随x增大而增大，符合题意，故②正确；
当k＝2时，G1与G2平行正确，过点M作MP⊥NQ，则MN＝3，由y2＝2x+3，且MN∥x轴，可知，tan∠PNM ＝2，
∴PM＝2PN，
由勾股定理得：PN2+PM2＝MN2
∴（2PN）2+（PN）2＝9，
∴PN＝，
∴PM＝.
故③正确．
综上，故选：D ．
【点睛】
本题是一次函数中两条直线相交或平行的综合问题，需要数形结合，结合一次函数的性质逐条分析解答，难度较大．
7．如图，一次函数1
y ax b 和反比例函数2k y x
=的图象相交于A ，B 两点，则使12y y >成立的x 取值范围是( )
A ．20x -<<或04x <<
B ．2x <-或04x <<
C ．2x <-或4x >
D ．20x -<<或4x >
【答案】B 【解析】根据图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的自变量的取值范围即可.
【详解】观察函数图象可发现：2x <-或04x <<时，一次函数图象在反比例函数图象上方， ∴使12y y >成立的x 取值范围是2x <-或04x <<，
故选B ．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数综合，函数与不等式，利用数形结合思想是解题的关键.
8．如图，CD 是⊙O 的弦，O 是圆心，把⊙O 的劣弧沿着CD 对折，A 是对折后劣弧上的一点，∠CAD=100°，则∠B 的度数是（ ）
A ．100°
B ．80°
C ．60°
D ．50°
【答案】B 【解析】试题分析：如图，翻折△ACD ，点A 落在A′处，可知∠A=∠A′=100°，然后由圆内接四边形可。