江苏省仪征中学10-11学年度高二上学期期末统考试题(数学)

江苏省仪征中学2010—2011年度第一学期期末调研测试
高二数学试卷
注意事项：
1、本试卷分两大部分，第一部分填空题（1~14题），共70分，第二部分解答题（15~20题），共90分，全卷满分160分．考试时间120分钟．
2、答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答题卷规定的地方．
3、试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．
4、本场考试不得使用计算器．考试结束后，只交答题卷．
5、本卷使用公式：212
)(1∑=-=n i i x x n s
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）. 1、抛物线y x 22-=的焦点坐标是 ▲ .
2、五个数1,2,3,4,a 的平均数是3，这五个数的方差是 ▲ .
3、某校有教师200人,男学生1200人,女学生1000人,现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本，已知从女学生中抽取的人数为80人，则n 的值为 ▲ .
4、8ln 2)(2++-=x x x f 的单调递增区间是 ▲ .
5、若方程
14
102
2=-+-k y k x 表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范围是 ▲ . 6、已知命题;2|2:|≥-x p 命题Z x q ∈:．如果
”“”“q q p ⌝与且同时为假命题，则满足条件的 x 的集合为 ▲ ．
7、定义某种运算⊗，S a b =⊗的运算原理如 下图：则式子5324⊗+⊗= ▲ ．
8、已知双曲线 22
1916
x y -
=，12,F F 分别为它的 左、右焦点，P 为双曲线上一点，设 17PF =
则2PF 的值为 ▲ .
9、P 为椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 上一点，12,F F 是椭圆的左、右焦点，若使△F 1PF 2为等边三角
形，则椭圆离心率为 ▲ .
10、已知圆的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，且圆与直线3 4 4 0x y ++=相切，则该圆的标准方程是 ▲ .
第7题图
11、若函数2)()(c x x x f -=在2x =处有极值，则常数c 的值为 ▲ .
12、已知(,)P x y 满足条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ，(1,2)A -
的取值范围是 ▲ .
13、有下列四个命题：
① “若1=xy ，则x ，y 互为倒数”的逆命题；
② “,x R ∃∈使得213x x +>”的否定是“,x R ∀∈都有213x x +≤”； ③ “若m ≤1，则022=+-m x x 有实根”的逆否命题；
④ “2m =-”是“直线(2)10m x my +++=与
直线(2)(2)30m x m y -++-=相互垂直”的必要不充分条件. 其中是真．
命题的是 ▲ （填上你认为正确命题的序号）. 14、225(,)|(1)(2)4A x y x y ⎧
⎫=-+-≤⎨⎬⎩
⎭，{}(,)|122B x y x y a =-+-≤，若A B ⊆,则a 的取值范围是
▲ .
二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）. 15、（本题14分）
高二年级有500名学生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在一次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：
（1
▲ ▲ ▲ （2 （3155］中的概率. 16、（12次，得到的点
（2，求221x y +<的概
率．
17、（本题15分）
如图，直角三角形ABC 的顶点坐标(20)A -，(0,B -，顶点C 在x 轴上，点P 为线段OA 的中点．
（1）求BC 边所在直线方程； （2）M 为直角三角形ABC 外接圆的圆心，求圆M
0.0275
（3）直线l 过点P 且倾斜角为3
π
，求该直线被圆M 截得的弦长． 18、（本题15分）
已知直线l 的方程为2x =-，且直线l 与x 轴交于点M ，圆22:1O x y += 与x 轴交于,A B 两点． （1）过M 点的直线1l 交圆于P Q 、两点，且圆孤PQ 恰为圆周的1
4
，求直线1l 的方程； （2）求以l 为准线，中心在原点，且与圆O 恰有两个公共点的椭圆方程；
（3）过M 点作直线2l 与圆相切于点N ,设（2）中椭圆的两个焦点分别为12,F F ,求三角形21F NF ∆面积． 19、（本题16分）
ABCD 的形状，使得
,,,A B C D
2AB =，抛物线的顶点到底边的
距离是2，记CD （1物线的方程；
（2）求面积S 关于t 的函数解析式，并写出其定义域； （3）求面积S 的最大值． 20、（本题16分）
已知函数3
2
()2()f x ax x b x R =++∈
（1）当10
3
a =-时，讨论函数()f x （2）若函数()g x 仅在0x =处有极值，求a （3）若对于任意的[]2,2a ∈-，不等式()g x ≤ 高二数学试卷答案及评分标准
一、填空题：
1、1
(0,)2
- 2、2 3、192 4、)7,4( 5、(0,1]
6、{}1,2,3
7、14
8、13
9、
1
2
10、26或 11、22(2)4x y -+= 12、①②③ 13、,2⎣ 14、5
2a ≥ 二、解答题：
15．解（1） ①1, ②0.100，③1 ………………………3分
(2)直方图如右 ……………8分
A 成绩（分）
(3) 在［125，155］上的概率为 05.01.0275.0++=0.38
答：在［125，155］上的概率约为0.38 …………………14分
16. 解（1）记“2x y +=”为事件A ，连续两次抛掷一颗骰子共有36种不同的点数之和的结果，而事件A 包含1种结果，∴1
()36
P A =
； ……………4分 记“4x y +<”为事件B ，连续两次抛掷一颗骰子共有36种不同的点数之和的结果，而事
件A 包含3种结果， ∴31
()3612P B =
= 答：“2x y +=”的概率为136；“4x y +<”的概率为1
12
……………8分
(2) 记“22
1x y +<”为事件C ，
答：“从区间(1,1)-中随机取两个数,x y ，221x y +<”的概率为4
π
…………14分
17、 （1）∵AB
k =,AB BC ⊥ ……1分
∴2CB k =
∴:2
BC y x =- ……5分 （2）在上式中，令0,y =得：(4,0),C ……6分
∴圆心(1,0),M 又∵3,AM = …… 8分 ∴外接圆的方程为22(1)9.x y -+= ……10分 （3）∵(1,0),P -直线l 过点P 且倾斜角为
3
π
∴直线l 的方程为1)y x =+ ……11分
点M 到直线l ……13分
直线l 被圆M 截得的弦长为。

……15分
18 .解：（1）PQ 为圆周的1,.4POQ π
∴∠=O ∴点到直线1l 的距离为2
…………2分
设
1l 的方程为21
(2),.7
y k x k =+=
∴=
1l ∴的方程为2).y x =+ ………………………5分 （2）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，半焦距为c ，则2
2.a c
=
椭圆与圆O 恰有两个不同的公共点，根据椭圆与圆的对称性
则1a =或 1.b = ………………………6分
当1a =时，222
13,,24
c b a c ==-=∴所求椭圆方程为22413y x +=；……………8分
当1b =时，222222,1, 2.b c c c a b c +=∴=∴=+=
所求椭圆方程为2
2 1.2
x y += ………………………10分
（3）设切点为N ，则由题意得，在Rt MON ∆中，2,1MO ON ==，则30NMO ∠=，
N 点的坐标为)2
3
,21(-
若椭圆为2
2 1.2
x y +=其焦点F 1,F 2
分别为点A,B 故2322121=⨯⨯=
∆F NF S 13分 若椭圆为2
2
413y x +=，其焦点为)0,21(),0,21(21F F -,
此时4
32312121=⨯⨯=
∆F NF S ………………………15分 19. 解（1）以抛物线的顶点为坐标原点，其对称轴为y 轴建立坐标系，
设抛物线方程为：)0(22>-=p py x ，
由图得抛物线过点(1,2)-，代入)0(22>-=p py x 求得4
1
=p ， 所以外轮廓线所在抛物线的方程：21
2
x y =- ………………………5分 （2）设(,)C x y ，
2CD t x t =∴=，代入抛物线方程得22y t =-，故梯形的高为222t -
∴21
(22)(22
)2
S t t =
+-=322222t t t --++ …………………9分 又由⎩⎨⎧>->0
2202
t t 解得)1,0(∈t ∴其定义域为(0,1) ………………………10分
（3）
S =322222t t t --++， ∴2(1)(31)S t t '=-+-
令0S '=，解得3
1
=t -------------------12分
当31
0<<t 时0S '>∴函数在该区间递增，
当13
1
<<t 时0S '<∴函数在该区间递减， ………………………14分 所以当31=t 时函数取得最大值，max 64
27
S = ………………………16分
20、（1）2()34(34)f x ax x x ax '=+=+． ……1分
当10
3
a =-
时，()(104)f x x x '=-+．令()0f x '=，解得10x =，225x =． ……2分
当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：
所以()f x 在2(0,)5
内是增函数，在(,0)-∞，,5
⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
内是减函数． ……5分
（2）32()4()(434)g x x f x x x ax ''=+=++，显然0x =不是方程24340x ax ++=的根．……7分 为使()g x 仅在0x =处有极值，必须24403x ax +≥+成立， ……8分 即有29640a ∆=-≤．解不等式，得3
83
8a -≤≤．这时，(0)g b =是唯一极值． ……9分
因此满足条件的a 的取值范围是88[,]33
-． ……10分
（3）2()(434)g x x x ax '=++由条件[2,2]a ∈-，可知29640a ∆=-<， ……11分 从而24340x ax ++>恒成立．在[1,1]-上，当0x <时，()0g x '<；当0x >时，()0g x '>． 因此函数()g x 在[1,1]-上的最大值是(1)g 与(1)g -两者中的较大者． ……13分
为使对任意的[2,2]a ∈-，不等式()1g x ≤在[1,1]-上恒成立，当且仅当111))1((g g ≤-≤⎧⎨⎩，即22b a b a ≤--≤-+⎧⎨⎩，
在[2,2]a ∈-上恒成立． ……15分
所以4b ≤-，因此满足条件的b 的取值范围是(,4]-∞- ……16分。