向量基本定理

一非零向量线性表示,可以用来求参数λ,它是轴上向量坐标化的依据.
3.做一做:若|a|=5,b与a方向相反,且|b|=7,则a=
b.
5
答案:-
7
5
解析:由题意知 a=- b.
7
课前篇自主预习
一
二
二、平面向量基本定理
1.填空.
条件 如果平面内两个向量 a 与 b 不共线
对该平面内任意一个向量 c,存在唯一的实数对(x,y),使得
断地向基底靠拢.
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探究一
探究二
思维辨析
当堂检测
解:由题意,得
1
1
= + = + 2 = + 2 ( − )
1
1
1
2
2
2
=a+ (b-a)= a+ b,
1
2
1
2
1
2
3
3
3
= + =a+3(b-a)=3a+3b,
= + =a+ (b-a)= a+ b.
组求解.
解:(1)因为=a+b,=a+2b,=a+3b.
则 = − =a+2b-(a+b)=b,
而 = − =a+3b-(a+b)=2b,
于是=2,所以 A、B、C 三点共线.
(2)因为 ka+b 与 a+kb 共线,则存在实数 λ,使 ka+b=λ(a+kb),
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方程思想在向量中的应用——数学方法
典例
如图所示,在▱ABCD中,AD,DC边的中点分别为E,F,连接BE,BF,与
AC分别交于点R,T.求证:AR=RT=TC.
审题视角要证明 AR=RT=TC,只要找出 AR,AT,AC 的关系即可,为
此需借助于与共线,与共线设参数,利用解方程求出参数.
可以作为一组基底.
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一
二
Байду номын сангаас
3.做一做:若e1,e2是平面内的一组基底,则下列四组向量能作为平
面向量的基底的是(
)
A.e1-e2,e2-e1
B.2e1-e2,e1- 1 e2
2
C.2e2-3e1,6e1-4e2
D.e1+e2,e1-e2
答案:D
解析:e1+e2与e1-e2不共线,可以作为平面向量的基底,另外三组向
2
再设 AD 与 CF 相交于点 G2,同理可得2 = .
3
故 G1 点与 G2 点重合,即 AD,BE,CF 相交于同一点.
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3
1.点 C 在线段 AB 上,且 = 5 , =λ,则 λ 为 (
2
3
A.
B.
3
2
3
)
2
C.-
D.-
2
3
其中正确的结论的序号为
答案:①②③
.
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1
1
2
2
解析:如图, = + =-b+ =-b- a,①正确;
1
= + =a+ b,②正确;
2
1
1
1
1
2
2
2
2
= + =-b-a, = + =b+ (-b-a)= b- a,③正确;
= 0,
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方法点睛利用平面向量基本定理证明几何问题时,一般通过构造
方程证明.
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变式训练用向量证明三角形三条中线交于一点.
证明如图所示,
1
1
1
2
2
2
设=a,=b,则=b-a, = (a+b), = b-a, = a-b.
1
1
④ = 2 =-2a,④不正确.
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5.
如图所示,已知梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB=2CD,E,F 分别是 DC,AB
的中点,设=a,=b,试用 a,b 表示 , , .
解:因为 DC∥AB,AB=2DC,E,F 分别是 DC,AB 的中点,所以 =
因为 = + ,
1
1
2
2
所以 n(a+b)= b+m - ,
-1
即(n-m)a+ +
2
b=0.
因为向量 a,b 不共线,于是有
1
1
- = 0,
+
-1
2
解得 m=n=3,所以 = 3 .
2
同理 = 3 .
所以 = = ,故 AR=RT=TC.
1.填空.
如果a≠0且b∥a,则存在唯一的实数λ,使得b=λa.
2.如何理解共线向量定理?
提示:(1)由b=λa⇒a∥b中,若λ=0,则b=0,零向量与任一向量都平行.若
λ>0,则a与b同向;若λ<0,则a与b反向.
(2)该定理有两方面的应用,一是一个向量可以由另一个向量线性表
示,则可以判定两向量平行;二是若两向量平行,则一个向量可以由另
设 AD 交 BE 于点 G1,
则存在 λ,μ∈R,有1 =λ, 1 =μ,


∴1 = 2 (a+b),1 = 2 b-μa,


1 = + 1 =a+2 b-μa=(1-μ)a+2 b,

∴
1- = 2 ,

2

= ,
2
2
2
∴λ=μ=3,即1 = 3 .
反思感悟用基底来表示向量主要有以下两种类型
(1)直接利用基底,结合向量的线性运算,灵活应用三角形法则与
平行四边形法则求解.
(2)若直接利用基底表示比较困难,则利用“正难则反”的原则,采
用方程思想求解.
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延伸探究例 2 中,用, 表示.
解: = + = + = +( − )=2 − .
=2, =2,
2
2
2
4
则 = + ,即 x=y= ,∴xy= .
故选 C.
3
3
3
9
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4.D,E,F 分别为△ABC 的边 BC,CA,AB 上的中点,且=a,=b,给出
下列结论:
1
1
1
1
1
①=-2a-b;②=a+2b;③=-2a+2b;④ = 2a.
即(k-λ)a=(λk-1)b.又因为非零向量 a、b 不共线,
所以一定有 k-λ=0 且 λk-1=0,解之得,k=±1.
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5
变式训练已知 e1,e2 是两个不共线的向量,而 a=k2e1+ 1- 2 e2
与 b=2e1+3e2 是两个共线向量,则实数 k=
若=x+y,则 xy 等于(
)
2
A.9
答案:C
1
B.3
4
C.9
4
D.3
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解析:由题意知:G 是△ABC 的重心,延长 AG 与边 BC 交于点 D.∴
2
1
1
= 3 = 3 + 3 ,
又因为点 E 为 AB 边的中点,点 F 为 AC 边的中点,故
1
1
=a, = = 2 = 2b.
1
1
= + + =-2 − + 2
1
1
1
1
=-2 × 2b-a+2b=4b-a.
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证明设=a,=b,=r,=t,则=a+b.
因为与共线,
所以存在实数 n,使得 r=n(a+b),n∈R.
因为与共线,所以存在实数 m,使得=m,m∈R.
1
1
而 = − =a-2b,则=m - 2 .
答案:C
3
解析:由题意,点 C 在线段 AB 上,且 = 5 ,
因为=λ,所以=λ=λ( − )=λ
2
3
3
∴-5λ=5,∴λ=-2,故选 C.
3
2
- =-5 ,
5
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2.已知 a,b 是不共线的向量,=λa+2b,=a+(λ-1)b,且 A,B,C 三点
结论
c=xa+yb
若向量 a,b 不共线,则{a,b}叫做表示这一平面内所有向量的
基底
一个基底
2.如何理解平面向量基本定理?
提示:(1)a,b是同一平面内的两个不共线向量;
(2)该平面内的任意向量c都可用a,b线性表示,且这种表示是唯一
的;
(3)对基底的选取不唯一,只要是同一平面内的两个不共线向量都
.
1
答案:-2 或
3
2
解析:由题设知 2 =
1
5
2
1-
3
,所以 3k2+5k-2=0,
解得 k=-2 或3.
反思感悟利用向量共线求参数的方法
判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯
一的实数λ,使得a=λb(b≠0).而已知向量共线求λ,常根据向量共线的
条件转化为相应向量系数相等求解.若两向量不共线,必有向量的
人教版高中数学B版必修二
第六章 平面向量初步
6.2 向量基本定理与向量的坐标
6.2.1 向量基本定理
-1-
课标阐释
思维脉络
1.掌握共线向量基本定
理,并会简单应用.
2.理解平面向量基本定
理,会用基底表示平面内
任一向量.
3.能够灵活应用向量定理
解决平面几何问题.
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一
二
一、共线向量基本定理
系数为零,利用待定系数法建立方程,从而解方程求得λ的值.
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平面向量基本定理的应用
例 2 已知在△ABC 中,D 为 BC 的中点,E,F 为 BC 的三等分点.若
=a,=b,用 a,b 表示, , .
分析:把, , 分别放在一个封闭三角形中,利用线性运算不
量都共线,不能作为基底.
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向量共线问题
例 1 已知两个非零向量 a,b 不共线,=a+b,=a+2b,=a+3b.
(1)证明:A,B,C三点共线,
(2)试确定实数k,使ka+b与a+kb共线.
分析:(1)根据共线向量定理证明;(2)利用共线向量定理建立方程
共线,则 λ=(
)
A.-1
B.-2
C.-2 或 1 D.-1 或 2
答案:D
解析:∵A,B,C 三点共线,
∴存在实数 k 使得=k,
∴λa+2b=k[a+(λ-1)b],
= ,
2 = (-1),
解得 λ=-1 或 2.故选 D.
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3.△ABC 中,E 为 AB 边的中点,F 为 AC 边的中点,BF 交 CE 于点 G.