高三数学上学期第一次阶段性测试试题 理含解析 试题

卜人入州八九几市潮王学校二零二零—二零二壹高三第一次阶段性测试试题
〔理科〕数学
〔本试题总分值是150分，考试时间是是12分钟．答案一律写在答题卡上〕
本卷须知：
2．选择题的答题：每一小题在选出答案以后，需要用2B铅笔把答题上对应题目之答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．填空题和解答题的答题：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．在在考试完毕之后以后，请将答题卡上交．
—、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．〕
在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑．
，，那么〔〕
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
解不等式得到集合，然后再求出．
【详解】由题意得，
又，
∴．
应选A．
【点睛】此题考察集合的交集运算，解题时根据交集的定义求解即可，属于根底题．
，使得〞的否认是〔〕
A.，都有
B.，都有
C.，都有
D.，都有
【答案】D
【解析】
【分析】
．
所以“，使得〞的否认为“，都有〞．
应选D．
：一是要改换量词，即把全称〔特称〕．
，，，那么a，b，c的大小关系是〔〕
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据指数函数、对数函数的知识得到所在的范围，进而可得的大小关系．
【详解】由题意得，
∴．
应选B．
【点睛】比较指数幂和对数的大小时，常用的方法是根据指数函数、对数函数的性质得到各个数的范围，然
后通过比较可得大小关系，解题时注意各数与0和1的大小关系．
4.的三个内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，假设，那么该三角形一定是〔〕
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】
根据余弦定理得到三边间的关系后可得三角形的形状．
【详解】由及余弦定理得，
整理得，
∴，
∴为等腰三角形．
应选A．
【点睛】根据正弦定理、余弦定理判断三角形的形状时，常用的方法有两种，一是把边化成角后进展判断，另一种方法是把角化为边后再进展判断，解题时注意对两种方法的选择．
5.，那么〔〕
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意得，结合条件可得所求结果．
【详解】由题意得，
应选A．
【点睛】此题考察诱导公式和同角三角函数关系式，解题的关键是合理利用“1〞的代换，将所求值转化为齐次式的形式，然后再根据条件求解．
6.是函数的一个极大值点，那么的一个单调递增区间是〔〕
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由函数的极大值点得到，进而可得函数的解析式为，结合正弦函数的增区间可得所求结果．
【详解】∵是函数的一个极大值点，
∴，
∴，
∴，
∴．
由，
得，
令，得，
∴函数的一个单调递增区间为，
结合各选项可得C符合题意．
应选C．
【点睛】此题考察函数的性质，解题时把看作一个整体，然后结合正弦函数的相关性质进展求解，但要注意的符号对解题结果的影响，这一点在解题中很容易无视．
，有两个不同的零点，那么实数的取值范围是〔〕
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
令，可得或者，由题意得函数在时有一个零点，所以只需函数在时有一个零点即可，令即可得到结果．
【详解】由题意得，当时，函数有一个零点；
当时，令，得，
要使函数有两个不同的零点，
那么只需，解得．
应选C．
【点睛】解决函数零点存在性问题的常用方法有三种：一是用零点存在性定理进展判断，二是通过解方程得到函数的零点，三是用函数的图象，借助数形结合求解．值得说明的是，零点存在性定理是充分条件，而并非是必要条件．
在上单调递减的一个充分不必要条件是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出函数在上单调递减的充要条件，再结合所给的选项进展判断、选择即可．
【详解】结合复合函数的单调性，函数在上单调递减的充要条件是，解得．
选项A中，是函数在上单调递减的既不充分也不必要条件，所以A不正确；
选项B中，是函数在上单调递减的充要条件，所以B不正确；
选项C中，是函数在上单调递减的必要不充分条件，所以C不正确；
选项D中，是函数在上单调递减的充分不必要条件，所以D正确．
应选D．
【点睛】解答此题时注意两点：〔1〕根据题意先求出函数在给定区间上的充要条件，求解时容易无视函数的定义域；〔2〕由于求的是函数递减的充分不必要条件，可转化为所选的范围是区间的真子集的问题．考察转化和计算才能，属于根底题．
的图象的一个对称中心为，要得到函数的图象，只需将函数
的图象〔〕
A.向右平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意求出函数的解析式，然后再结合图象的变换进展求解即可得到答案．
【详解】∵函致的图象的一个对称中心为，
∴，
解得，
∴，
∴
，
∴将函数的图象向右平移个单位长度即可得到函数的图象．
应选C．
【点睛】解答三角函数图象变换的注意点：
〔1〕进展图象变换时，变换前后的三角函数名称一样，假设名称不一样，那么先要根据诱导公式统一名称．〔2〕在进展三角函数图象变换时，可以“先平移，后伸缩〞，也可以“先伸缩，后平移〞，无论是哪种变换，切记每一个变换总是对而言的，即图象变换要看“变量〞发生了多大的变化，而不是“角〞变化多少．
y=•sinx的局部图象大致为〔〕
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
设，由得，那么函数的定义域为．∵，
∴函数为奇函数，排除D．
又，且，故可排除B．
，且，故可排除C．选A．
在上有且仅有一个极值点，那么实数的取值范围是〔〕
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意得到，然后将问题转化为函数在区间上有一个变号零点的问题处理，别离参数后借助数形结合的方法可得结果．
【详解】∵，
∴．
∵函数在区间上有且仅有一个极值点，
∴在区间上只有一个变号零点．
令，得．
令，
那么在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∴，
又．
结合函数的图象可得，当时，在区间上只有一个变号零点．
∴实数的范围为．
应选B．
【点睛】此题具有综合性，解答此题时注意以下几点：〔1〕将函数有一个极值点的问题转化为导函数有一个
变号零点的问题处理，然后再转化为两个函数图象的公一共点的问题处理；〔2〕解题中要利用数形结合的方法解题，求解时注意所求范围的端点值能否取到．
上的函数满足，，那么关于x的不等式的解集为〔〕
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由构造函数，那么有，从而得到函数在
上单调递增．又，所以不等式可化为，根据函数的单调性可得，于是可得所求结果．
【详解】令，那么，
∵，
∴，
∴函数在上单调递增．
又，
∴．
结合题意，不等式可转化为，
即，
∴，
解得，
原不等式的解集为．
应选B．
【点睛】对于含有导函数的不等式的问题，在求解过程中一般要根据不等式的形式构造出相应的函数，然后根据所给的不等式得到导函数的符号，进而得到构造的函数的单调性，然后再根据所构造的函数的单调性进展解题，其中根据题意构造符合题意的函数是解题的关键．
二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共计20分．
13.的终边过点，假设，那么__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据三角函数的定义得到，再根据得到，于是可得的值．
【详解】∵的终边过点，
∴．
又，
∴，
∴．
故答案为．
【点睛】此题考察正切函数的定义和诱导公式，解题的关键是得到关于的方程，属于根底题．
14.，那么__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据定积分得到，两边平方后可得所求．
【详解】∵，
∴，
即，
∴，
∴．
故答案为．
【点睛】此题考察微积分根本定理和三角函数的根本关系，解题的关键是根据定积分得到，考察转化才能和计算才能．
，，那么的值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
令，那么可得函数为奇函数，然后根据题意求解可得结果．
【详解】设，
那么
，
∴函数为奇函数．
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为．
【点睛】解答此题的关键是构造函数，并利用函数为奇函数进展求解，另外解题中还要注意这个整体在解题中所起的作用．
，假设函数在上的最大值与最小值之差为2，那么实数的取值范围是
__________．
【答案】
【解析】
【分析】
设，结合导数可得函数的值域为，最大值与最小值之差为2，从而得到函数的值域为，最大值与最小值之差也为2．然后根据题意可得或者，于是可得所求的范围．
【详解】设，
那么，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．
∵，，，
∴函数的值域为，最大值与最小值之差为2，
∴函数的值域为，最大值与最小值之差也为2．
∵函数在上的最大值与最小值之差为2，
∴或者，
解得或者.
∴实数的取值范围为．
故答案为．
【点睛】此题考察用导数研究函数的最值问题，具有综合性和难度，解题的关键是注意将问题进展合理的转化．
二、解答题：本大题一一共6小题，一共计70分．解容许写出文字说明、证明过程或者盐酸步骤．
：函数的定义域为，，使得不等式成立，假设“或者且〞为假，务实数的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】
恒成立，
那么有，解得．
令，且，，
所以函数在上单调递减，
所以，即，
所以的值域为，
，使得成立，
那么．
那么有，不等式组无解．
那么有，解得．
综上可得．
所以实数的取值范围是．
【点睛】解决此类问题的关键是准确地把每个条件所对应的参数的取值范围求解出来，然后转化为集合交、并、补的根本运算．
18.四边形OACB中，a、b、c分别为的内角A、B、C所对的边长，且满足
．
〔1〕证明：；
〔2〕假设，设，，求四边形OACB面积的最大值．
【答案】〔1〕见解析〔2〕
【解析】
【分析】
〔1〕由及正弦定理和三角变换可得，再由正弦定理可得结论成立．〔2〕先证得为等边三角形，根据及三角形的面积公式，得到，然后根据的取值范围可得所求的最大值．
【详解】〔1〕证明：∵，
由正弦定理得，
∴，
∴，
∴，
由正弦定理得：．
〔2〕解：∵，，
∴，
∴为等边三角形．
由题意得
，
∵，
∴，
∴当，即时，有最大值，且最大值为．
【点睛】此题考察用三角函数模型解决问题，该类问题主要有两种情形：一种是用的模型去分析解决实际问题，另一种是需要建立准确的或者者数据拟合的模型去解决问题，尤其是利用数据建立拟合函数解决实际问题，表达了中“数学建模〞的本质．解题中的关键是将问题逐步转化成形如的函数的问题求解．
图象的一条对称轴为．
〔1〕求的最小值；
〔2〕当取最小值时，假设，，求的值．
【答案】〔1〕1〔2〕
【解析】
【分析】
〔1〕由题意得，又函数图象的一条对称轴为，所以，根据条件可得所求；〔2〕由〔1〕知，可得，根据同角关系可得，最后利用求解可得所求的结果．
【详解】〔1〕由题意得
．
因为函数的一条对称轴为，
所以，
所以，
又，
所以的最小值为1．
〔2〕由〔1〕知．
∴．
∵，
∴
∴
．
【点睛】〔1〕解答形如的函数的问题时，需要把作为一个整体，并结合正弦函数的相关性质求解，解题时注意的符号对结果的影响．
〔2〕在解答“给值求值〞型的问题时，要注意角的变换，通过“拆〞、“凑〞等方法将所求角用角表示出来，然后再将所给条件作为整体进展求解．
是奇函数．
〔1〕务实数m，n的值；
〔2〕假设对于任意的，不等式恒成立，务实数a的取值范围．
【答案】〔1〕，〔2〕
【解析】
【分析】
〔1〕根据和，利用取特殊的方法求出，但要注意进展验证；〔2〕由题意得到函数在上为减函数，然后将不等式转化为对任意的，恒成立，最后根据二次方程根的分布求解．
【详解】〔1〕∵是R上的奇函数，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
解得，
∴．
经历证可得函数为奇函数，
∴，．
〔2〕由〔1〕知，∴在上为减函数．
∵,
∴，
又是奇函数，
∴，
又为减函数，
∴对任意的恒成立．
∴对任意的恒成立．令，
那么,
解得.
∴实数的取值范围为．
【点睛】〔1〕函数的奇偶性求参数的取值时，一般根据定义得到关于变量的恒等式，然后通过比较系数可得所求参数．也可根据题意利用取特殊值的方法求解，但求出参数的值后必须进展验证．
〔2〕解决一元二次不等式的恒成立问题时，可通过二次函数求最值解决，也可通过别离参数后再最值，也可通过构造函数、利用二次方程根的分布求解．解题时注意要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．
．
〔1〕当时，讨论函数的单调性；
〔2〕假设函数有两个极值点，，证明:．
【答案】〔1〕时，在单调递增；时，在区间，单调递增；在区间单调递减．〔2〕见解析
【解析】
【分析】
〔1〕求出导函数，然后根据方程的判别式得到导函数的符号，进而得到函数的单调性；〔2〕由题意得到方程有两个根，故可得，且．然后可得，最后利用导数可证得，从而不等式成立．
【详解】〔1〕∵，
∴．
①当，即时，，
所以在单调递增；
②当，即时，
令，得，，且，，
当时，；
当时，；
∴单调递增区间为，；
单调递减区间为．
综上所述：当时，在单调递增；
时，在区间，单调递增；在区间单调递减．
〔2〕由〔1〕得．
∵函数有两个极值点，，
∴方程有两个根，，
∴，且，解得．
由题意得
．
令，
那么，
∴在上单调递减，
∴，
∴．
【点睛】〔1〕求函数的单调区间或者讨论函数的单调性时，假设解析式中含有参数时，解题中一定要弄清参
数对导函数在某一区间内的符号是否有影响，假设有影响那么必须进展分类讨论．
〔2〕解答第二问的关键在于求出的表达式后将问题转化，通过构造新函数并利用单调性可得结论成立．
．
〔1〕当时，求函数在点处的切线方程；
〔2〕对于任意的，的图象恒在图象的上方，务实数a的取值菹围．
【答案】〔1〕；〔2〕
【解析】
【分析】
〔1〕求出的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；〔2〕由题意得在恒成立，令，那么需求出函数的最小值即可，但由于的零点不易求出，故通过再次求导的方法逐步求解，进而求得的最小值．
【详解】〔1〕当时，，
∴，
∴，
又，
∴函数在点处的切线方程为，
即．
〔2〕由题知当时，恒成立，
即当时，恒成立，
等价于在恒成立．
令，
那么，
令，那么，
∴在上单调递增，且，
存在唯一零点，
使得，
且当时，，单调递减；当时，，单调递增．∴．
由，得，
∴，
即．
设，那么,
∴在单调递增．
∴，
∴，
∴,
∴．
∴．
故实数的取值范围为．
【点睛】〔1〕对于恒成立问题，求解的根本方法是别离参数后转化为求函数的最值的问题．
〔2〕解答第二问的难度较大，由于导函数的符号不易判断，进而需要构造函数再次求导，直到问题得以解决，这是解题中常用的方法．
〔3〕对于导函数的零点存在但是不可求的问题，解题时可根据导函数的单调性得到零点所在的范围，在得到函数的单调性后进一步得到函数的最值，在求最值的过程中需要利用导函数的零点进展代换，以到达求出函数最值的目的，如在此题中由得到，进而得到是能求出最值的关键．。