高中物理第二章恒定电流第7节闭合电路的欧姆定律学案新人教选修

7 闭合电路的欧姆定律
答案：(1）正极 (2）负极 (3）降低 (4）负极 (5）正极 (6）升高 (7）I 2Rt ＋I 2rt (8）正比 (9）反比 (10）E R ＋r
(11）IR ＋Ir (12）U 外＋U 内 (13）纯电阻 (14）E －Ir (15）直线 (16）电动势 (17）内阻 (18）减小 (19）增大 (20）0 (21）E
(22）增大 (23）减小 (24）E r
(25）0
1．电动势、内电压、外电压三者之间的关系
(1）外电路、外电阻、外电压
如图所示，电源外部(两极间包括用电器和导线等）的电路叫外电路；外电路上的电阻叫外电阻；外电路上总的电势降落叫外电压，也叫路端电压。

(2）内电路、内电阻、内电压
如图所示，电源两极(不含两极）以内的电路叫内电路；内电路的电阻称内电阻，即电源的电阻；内电阻上的电压叫内电压。

(3）三者之间的关系
在闭合电路中，电源内部电势升高的数值等于内、外电路中电势降落的和，即电源的电动势E ＝U 内＋U 外。

①电路闭合时，电源两极的电压是外电压(路端电压），而不是内电压。

②当电源没有接入电路时，因无电流通过内电路，所以U 内＝0，此时E ＝U 外，即电源电动势等于电源没有接入电路时的路端电压。

③电动势和路端电压虽然有相同的单位且有时数值也可能相同，但二者本质上是两个不同的物理量，电动势反映了电源将其他形式的能转化为电能的本领，路端电压反映了外电路中电能转化为其他形式能的本领。

【例1】关于电源的电动势，下列说法中正确的是( ）
A ．电动势等于在电路中移送单位电荷时电源所提供的电能
B ．电动势是表示电源把其他形式的能量转化为电能的本领的物理量
C ．电动势等于内电压和外电压之和
D ．电动势等于路端电压
解析：电动势在数值上等于非静电力移动1 C 的正电荷时做的功，即等于1 C 的正电荷获得的电能。

只有电路断开时，电动势才等于路端电压，故只有D 错误。

答案：ABC
2．闭合电路的欧姆定律
(1）推导：设电源的电动势为E ，内电路电阻为r ，外电路电阻为R ，闭合电路的电流为I 。

在时间t 内：
(2）内容：闭合电路的电流跟电源的电动势成正比，跟内、外电路的电阻之和成反比。

(3）公式：I ＝E
R ＋r ，其中R 为外电路的等效电阻，r 为电源内阻。

(4）物理意义：描述了包含电源在内的全电路中，电流与电动势及电路总电阻之间的关系。

(5）闭合电路欧姆定律的几种表达形式。

①电流形式：I ＝E
R ＋r ，说明决定电路中电流大小的因素与电流间的关系，即电流与电
源电动势成正比，与电路总电阻成反比。

②电压形式：E ＝I (R ＋r ）或E ＝U 外＋Ir 等，它表明电源电动势在数值上等于电路中内、外电压之和。

③能量形式：qE ＝qU 外＋qU 内，此式可以认为是电压形式两端乘以电荷量q 而来，是能量转化本质的显现。

④功率形式：IE ＝IU 外＋IU 内或IE ＝IU ＋I 2r 。

I ＝E R ＋r
或E ＝I (R ＋r ）只适用于外电路为纯电阻的闭合电路；E ＝U 外＋U 内或U 外＝E －Ir ，既适用于外电路为纯电阻的电路，也适用于非纯电阻的电路。

【例2】如图所示，电源电动势为6 V ，内阻为1 Ω，R1=5 Ω，R2=10 Ω，滑动变阻器R3的阻值变化范围为0～10 Ω。

求电路中总电流的变化范围。

解析：
答案：0.55 A≤I ≤1 A
点评：闭合电路欧姆定律的几个表达式中，由于E 、r 不变，所以I ＝E
R ＋r 反映了I 、R
的关系；E ＝U 内＋U 外反映了U 内、U 外的关系；U 外＝E －Ir 反映了U 外、I 的关系。

应用时可灵活选择。

3．路端电压跟负载的关系
对给定的电源，E 、r 均为定值，外电阻变化时，电路中的电流、路端电压也发生相应
的变化。

①
说明：电源的电动势等于电源没有接入电路时的路端电压。

②
说明：由于电源内阻很小，所以短路时会形成很大的电流，为保护电源，绝对不能把电源两极直接相连接。

用电压表直接去测量电源两极的电压，这个电压是不是电源的电动势？
当用电压表直接去测量电源两极的电压时，电压表相当于负载接入电路，所测电压为路端电压，且U ＝R V
R V ＋r
E ＜E ，式中R V 为电压表的内电阻，故所测电压并不是电源的电动势。

一般情况下，R V ≫r ，则U ≈E ，故仍可用此法近似测量电源的电动势。

【例3】将总电阻R 0＝22 Ω的滑动变阻器按图1与电源相连，已知该电源的路端电压随外电阻变化的图线如图2所示，电源正常工作时允许通过的最大电流为2 A 。

求：(1）电源的电动势和内电阻。

(2）接到滑动变阻器A 、B 间的负载电阻的阻值R ′的许可范围。

图1
图2
解析：(1）闭合电路中路端电压为：
U ＝IR ＝ER R ＋r ＝E 1＋r R。

可见：①当负载电阻R 趋向无穷大时，r R
趋向零，路端电压U 趋向电源电动势E ；②当R ＝r 时，路端电压 U ＝E 2。

根据上述结论，分析题图2，可知电源电动势E ＝12 V ，内电阻r ＝2 Ω。

(2）电源允许通过的最大电流值是2 A ，内电压的最大值是4 V ，外电压的最小值为8 V ，所以电源的外电阻必须大于或等于4 Ω。

当滑动变阻器的滑动触头c 处在a 端时，外电阻最小。

此时，负载电阻R ′与R 0并联为
电源的外电阻，应有R 0R ′R 0＋R ′≥4。

由此式可以求得负载电阻阻值的最小值。

R ′≥8818
Ω＝4.9 Ω。

即A 、B 间的负载电阻不能小于4.9 Ω。

答案：(1）12 V 2 Ω (2）R ′≥4.9 Ω
4．路端电压与电流的关系(U －I 图象）
(1）图象的函数表达：U ＝E －Ir 。

(2）图象表示：电源的外电路的特性曲线(路端电压U 随电流I 变化的图象），如图所示是一条斜向下的直线。

(3）当外电路断路时(即R →∞，I =0）：纵轴上的截距表示电源的电动势E (E =U 端）； 当外电路短路时(R =0，U =0）：横坐标的截距表示电源的短路电流I 短=E /r 。

(4）图线的斜率：其绝对值为电源的内电阻，即r ＝E I 0＝|ΔU ΔI
|＝tan θ。

(5）某点纵坐标和横坐标值的乘积：为电源的输出功率，在图中的那块矩形的“面积”表示电源的输出功率。

(6）该直线上任意一点与原点连线的斜率：表示该状态时外电阻的大小；当U ＝E /2(R ＝r ）时，P 出最大，η＝50%。

注意：坐标原点是否都从零开始，若纵坐标上的取值不从零开始取，则该截距不表示短路电流。

【例4】一电源与电阻R 组成串联电路，电源的路端电压U 随电流I 的变化图线及外电阻的U －I 图线分别如图所示，求：
(1）电源的电动势和内阻；
(2）电源的路端电压；
(3）电源的输出功率。

解析：(1）由题图所示U －I 图线知
电源电动势E ＝4 V ，短路电流I 短＝4 A ，故内阻r ＝
E I 短
＝1 Ω。

(2）由题图知，电源与电阻串联电流I ＝1 A ，此时对应路端电压U ＝3 V 。

(3）由题图知R ＝3 Ω，故P 出＝I 2R ＝3 W 。

答案：(1）4 V 1 Ω (2）3 V (3）3 W
5．闭合电路中的功率关系
(1）电源的总功率：就是电源提供的总功率，即电源将其他形式的能转化为电能的功率，也叫电源消耗的功率P 总＝EI 。

(2）电源输出功率：整个外电路上消耗的电功率。

对于纯电阻电路，电源的输出功率P
出＝I 2R ＝[E /(R ＋r ）]2
R ＝E 2
(R －r )2R
＋4r ，当R ＝r 时，电源输出功率最大，其最大输出功率为P max ＝E 2/4r 。

电源输出功率随外电阻变化曲线如图所示，对于小于最大功率的某一功率P ，对应着两个外电阻值，即
P =21E R r ⎛⎫ ⎪+⎝⎭R 1=2
2E R r ⎛⎫ ⎪+⎝⎭
R 2， 解得r 2=R 1R 2。

(3）电源内耗功率：内电路上消耗的电功率P 内＝U 内I ＝I 2r 。

(4）电源的效率：指电源的输出功率与电源的总功率之比，即η＝P 出/P 总＝IU /IE ＝U /E 。

电源的效率η＝I 2R I 2(R ＋r )＝R R ＋r ＝1/(1＋r R
），所以当R 增大时，效率η提高，当R ＝r 、电源有最大输出功率时，效率仅为50%，效率并不高。

【例5】如图所示，已知电源的内电阻为r ，固定电阻R 0=r ，可变电阻R 的总阻值为2r ，若滑动变阻器的滑片P 由A 端向B 端滑动，则下列说法中正确的是( ）
A ．电源的输出功率由小变大
B ．固定电阻R 0上消耗的电功率由小变大
C ．电源内部的电压即内电压由小变大
D ．可变电阻R 上消耗的电功率变小
解析：(1）由闭合电路的欧姆定律得出电源的输出功率随外电阻变化的规律表达式为P
出＝E 2
(R －r )2R
＋4r 根据题图所示，当滑片P 由A 端向B 端滑动时，外电路电阻的变化范围是0～23
r ，由题图可知，当外电路电阻由0增加到23
r 时，电源的输出功率一直变大，所以选项A 正确； (2）R 0是纯电阻，所以其消耗的电功率为0R P ＝U 2
R 0
，因全电路的总电压即电源电动势E 一定，当滑动变阻器的滑片P 由A 端向B 端滑动时，外电阻由0增加到23
r ，而且是一直变大，所以外电压一直升高，由上面的公式可知，R 0上消耗的电功率也一直增大，所以选项B 正确；
(3）在滑动变阻器的滑片P 由A 端向B 端滑动时，外电压一直升高，故内电压就一直变
小，选项C 错误；
(4）讨论可变电阻R 上消耗的电功率的变化情况时，可以把定值电阻R 0当作电源内电
阻的一部分，即电源的等效内电阻为r ′＝rR 0r ＋R 0＝r 2
，这时可变电阻R 上消耗的电功率相当于外电路消耗的功率，即等效电源的输出功率。

根据图可以看出，随着可变电阻R 由A 端向
B 端的滑动，在R 的阻值增大到r 2
之前，电源的输出功率，即可变电阻R 上消耗的电功率是一直增大的；一旦增大到R ＝r 2
，可变电阻R 上消耗的电功率达到最大值；滑片P 再继续向B 端滑动时，可变电阻R 上消耗的电功率就会逐渐减小，故D 错误。

答案：AB
6．直流电路的动态分析
(1）引起电路特性发生变化主要有三种情况：
①滑动变阻器滑动片位置的改变，使电路的电阻发生变化；
②电键的闭合、断开或换向(双掷电键）使电路结构发生变化；
③非理想电表的接入使电路的结构发生变化。

(2）进行动态分析的常见思路是：由部分电阻变化推断外电路总电阻(R 外）的变化，再由全电路欧姆定律I 总＝E /(R 外＋r ）讨论干路电流I 总的变化，最后再根据具体情况分别确定各元件上其他量的变化情况。

(3）分析方法
①程序法
基本思路是“部分→整体→部分”。

即从阻值变化点入手，由串、并联规律判知R 总的变化情况，再由欧姆定律判知I 总和U 端的变化情况，最后由部分电路欧姆定律及串联分压、并联分流等规律判知各部分的变化情况。

②结论法——“并同串反”
“并同”：是指某一电阻增大时，与它并联或间接并联的电阻中的电流、两端电压、电功率都将增大；某一电阻减小时，与它并联或间接并联的电阻中的电流、两端电压、电功率都将减小。

“串反”：是指某一电阻增大时，与它串联或间接串联的电阻中的电流、两端电压、电功率都将减小；某一电阻减小时，与它串联或间接串联的电阻中的电流、两端电压、电功率都将增大。

③极值法
对含有可变电阻的电路，当可变电阻的阻值变化而导致电路出现动态变化时，可将可变电阻的阻值极端(零或最大），然后对电路加以分析从而得出正确结论的方法。

④特殊值法
对于某些双臂环问题，可以采取代入特殊值去判定，从而找出结论。

⑤等效电源法
所谓等效电源，就是把电路中包含电源的一部分电路视为一个“电源”，比较常见的是将某些定值电阻等效为电源内阻。

【例6－1】如图所示，A 、B 、C 三只电灯均能发光，当把滑动变阻器的触头P 向下滑动时，三只电灯亮度的变化是( ）
A ．A 、
B 、
C 都变亮
B ．A 、B 变亮，
C 变暗
C ．A 、C 变亮，B 变暗
D ．A 变亮，B 、C 变暗
解析：滑动变阻器的触头P 向下滑动时，滑动变阻器连入电路的阻值R 减小，所以电路总阻值R 总减小，由闭合电路欧姆定律知总电流(I 总＝E
R 总＋r ）变大，通过A 的电流增大，A
两端的电压U A 增大，故A 变亮；由于I 总变大，所以内阻上的电压(U 内＝I 总r ）变大，所以C 两端的电压(U C ＝E －U A －U 内）变小，通过C 的电流I C 变小，所以C 变暗；由于I 总变大，I C 变小，所以通过B 的电流(I B ＝I 总－I C ）一定增大，B 灯变亮，选B 。

答案：B
【例6－2】在如图所示的电路中，当变阻器R 3的滑动头P 向b 端移动时( ）
A ．电压表示数变大，电流表示数变小
B ．电压表示数变小，电流表示数变大
C ．电压表示数变大，电流表示数变大
D ．电压表示数变小，电流表示数变小
解析：方法一：程序法
基本思路是：局部→整体→局部，即从阻值变化的电路入手，由串、并联规律判知R 总的变化情况，再由闭合电路欧姆定律判知I 总和U 端的变化情况，最后再由部分电路欧姆定律确定各部分量的变化情况。

本例题中当R 3的滑动头P 向b 端移动时，有R 3↓→R 外↓→R 总↓→I 总＝E R 总
↑→U 内＝I 总r ↑→U 外＝(E －U 内）↓，即电压表示数减小。

I 总↑→UR 1＝I 总R 1↑→UR 2＝(U 外－UR 1）↓→IR 2＝2
2R A U I R ＝(I 总－IR 2）↑，即电流表示数变大，故答案选B 。

方法二：“并同串反”法
当变阻器R 3的滑动头P 向b 端滑动时，R 3的有效电阻减小，因与R 3串联，与R 3“间接并联”，故由“并同串反”法知的示数增大，的示数减小，故选项B 正确。

方法三：极值法
假设R 3的滑动头P 滑动到b 端，使R 3的阻值最小变为零，即R 3被短路，此时流过电流表的电流最大，而由于R 外变小，也导致外压变小，故答案应选B 。

方法四：等效电源法
将原电路图画为如图所示的等效电路图，将R 1、R 2和电源等效为一个新的电源。

电压表的示数就是原电源的路端电压，可直接判断R 3↓→R 外↓→U 外↓，故电压表示数减小。

当将虚线框中的整个电路视为一个等效电源时，电流表所示的就是等效电源的总电流，由于R 3↓→I 总↑，故电流表示数变大，即答案应选B 。

答案：B
7．含电容器电路的问题
电容器是一个储存电能的元件，在直流电路中，当电容器充、放电时，电路中有充电、放电电流，一旦电流达到稳定状态，电容器在电路中就相当于一个阻值无限大的元件，可看做是断路。

分析和计算含有电容器的直流电路时，关键是准确地判断并求出电容器两端的电压，其具体方法是：
①在分析电路的特点时，把电容器支路看成断路，即去掉该支路，简化后若要求电容器所带电荷量时，可在相应的位置补上。

②确定电容器和哪个电阻并联，该电阻两端电压即电容器两端电压。

③当电容器和某一电阻串联后接在某一电路两端时，由于电容器所在支路无电流通过，在此支路的电阻没有电压降，此电路两端电压即电容器两端电压，而与电容器串联的电阻可看成导线。

④对于较复杂的电路，需要将电容器两端的电势与基准点的电势比较后才能确定电容器两端的电压。

解技巧解本题的关键在于搞懂流过R4的电荷量即电容器的带电荷量，且电容器两端电压等于R3两端的电压。

8．电路故障的分析与判断
(1）电路短路时出现的现象：①电路中仍有电流；②被短路的电器不工作；③与之串联的电器工作电流增大；④被短路部分电压为零。

(2）电路断路时出现的现象：①被断路部分无电流；②被断路部分有电压。

(3）电路故障测试方法
a．电压表检测断路故障的方法：①用电压表与电源并联，若电压表示数不为零时，说明电源完好；若电压表示数为零，说明电源损坏。

②在电压表示数不为零时，再逐段与外电路的各部分电路并联，若电压表指针偏转，则外电路中的该段电路有断点；若电压表示数为零，则断点必在该段电路之外的部分。

b．电压表检测短路的方法：①用电压表与电源并联，若电压表示数为零，说明电源被短路；若电压表示数不为零，说明外电路没有被完全短路。

②在电压表示数不为零时，再逐段与外电路的各部分电路并联，若电压表示数为零，则该部分电路被短路；若电压表示数不为零，则外电路的该部分电路不被短路或不完全被短路。

c．电流表检测故障方法：串联在电路中的电流表，若示数为零，说明故障应是与电流表串联的电路部分断开。

解技巧分析电路故障常用排除法，在明确电路结构的基础上，从分析比较故障前后电路中电流和电压的变化入手，确立故障原因，并对电路中的元件逐一分析，排除不可能的情况，寻找故障所在。

【例7】如图所示，已知C＝6 μF，R1＝5 Ω，R2＝6 Ω，E＝6 V，r＝1 Ω，开关S 原来处于断开状态，下列说法正确的是( ）
A．开关S闭合瞬间，电流表的读数为0.5 A
B．开关S闭合瞬间，电压表的读数为5.5 V
C．开关S闭合经过一段时间，再将开关S迅速断开，则通过R2的电荷量为1.8×10－5C D．以上答案都不对
解析：此题考查电容器的特性，即电容器充电的瞬间可认为是短路，电容器充电完毕达到稳定后可认为是断路。

开关S迅速闭合的瞬间，电容器充电相当于短路，I＝
E
R1＋r
＝1 A，电流表示数为1 A，
电压表示数U ＝IR 1＝5 V ，A 、B 选项错误。

稳定后，电容器相当于断路，I ′＝
E R 1＋R 2＋r
＝0.5 A ，此时电容器两端的电压U C ＝I ′R 2＝0.5×6 V＝3 V ，电容器上的带电荷量Q ＝CU C ＝
6×10－6×3 C＝1.8×10－5 C ，即通过R 2的电荷量为1.8×10－5 C ，C 选项正确。

答案：C
【例8－1】高温超导限流器由超导部件和限流电阻并联组成，如图所示，超导部分有一个超导临界电流I C ，当通过限流器的电流I ＞I C 时，将造成超导体失超，从超导态(电阻为零）转变为正常态(一个纯电阻），以此来限制电力系统的故障电流。

已知超导部件的正常态电阻为R 1＝3 Ω，超导临界电流I C ＝1.2 A ，限流电阻R 2＝6 Ω，小灯泡L 上标有“6 V 6 W”的字样，电源电动势E ＝8 V ，内阻r ＝2 Ω，原来电路正常工作，现L 突然发生短路，则( ）
A ．短路前通过R 1的电流为23
A B ．短路后超导部件将由超导状态转化为正常状态
C ．短路后通过R 1的电流为43
A D ．短路后通过R 1的电流为2 A
解析：小灯泡L 上标有“6 V 6 W”，该灯泡的电阻R L ＝U 2/P ＝62/6 Ω＝6 Ω，短路前
由于电路正常工作，电路的总电阻为R ＝R L ＋r ＝(6＋2）Ω＝8 Ω，总电流为I ＝E /R ＝1 A ，所以短路前通过R 1的电流为I 1＝1 A ，选项A 错误；当L 突然短路后，电路中电流为I ＝E /r ＝4 A ＞I C ＝1.2 A ，超导态转变为正常态，则此时电路中总电阻为R ′＝(2＋2）Ω＝4 Ω，总电流I ′＝E /R ′＝8/4 A ＝2 A ，短路后通过R 1的电流为I 1′＝4/3 A ，故选项B 、C 正确。

答案：BC
【例8－2】如图所示的电路中，闭合电键，灯L 1、L 2正常发光。

由于电路出现故障，突然发现灯L 1变亮，灯L 2变暗，电流表的读数变小，根据分析，发生的故障可能是( ）
A ．R 1断路
B ．R 2断路
C ．R 3短路
D ．R 4短路
解析：把原电路改画为如图所示的电路，由于电流表示数减小、灯L 2变暗，可推知电路中的总电流减小，路端电压增大，表明外电阻增大，可排除R 3、R 4短路的可能。

又灯L 1变亮、灯L 2变暗，表明灯L 1两端电压增大、灯L 2两端电压减小，由欧姆定律可判断只能是R 1发生断路。

答案：A。