2020版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第2节两条直线的位置关系教学案文(含解析)北师大版

第二节 两条直线的位置关系
[考纲传真] 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行：
①对于两条不重合的直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1和y ＝k 2x ＋b 2(b 1≠b 2)，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直：
①设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. ②对于直线l 1：x ＝a ，直线l 2：y ＝b ，则有l 1⊥l 2. 2．两条直线的交点的求法
直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组
⎩
⎪⎨
⎪⎧
A 1x ＋
B 1y ＋
C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．
3．三种距离公式
|P 1P 2|＝x 2－x 1
2
＋y 2－y 1
2
1．直线系方程
(1)平行于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程：Ax ＋By ＋λ＝0(λ≠C )． (2)垂直于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程：Bx －Ay ＋λ＝0. 2．两直线平行或重合的充要条件
直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行或重合的充要条件是A 1B 2－A 2B 1
＝0.
3．两直线垂直的充要条件
直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0. 4．过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋
C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R)，但不包括l 2.
5．与对称问题相关的两个结论
(1)点P (x 0，y 0)关于A (a ，b )的对称点为P ′(2a －x 0,2b －y 0)；
(2)设点P (x 0，y 0)关于直线y ＝kx ＋b 的对称点为P ′(x ′，y ′)，则有
⎩⎪⎨⎪⎧
y ′－y 0x ′－x 0·k ＝－1，y ′＋y
2＝k ·x ′＋x 0
2
＋b ，可求出x ′，y ′.
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( ) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( ) (3)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k
2
.( ) (4)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．(教材改编)已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 的值为( ) A. 2 B ．2－ 2 C ．2－1
D ．2＋1
C [由题意知|a －2＋3|
2＝1，∴|a ＋1|＝2，又a >0，∴a ＝2－1.]
3．直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m 等于( ) A ．2 B ．－3 C ．2或－3 D ．－2或－3
C [直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则有2m ＝m ＋13≠4
－2，故m ＝2
或－3.故选C ．]
4．已知直线l 1：ax ＋(3－a )y ＋1＝0，l 2：x －2y ＝0.若l 1⊥l 2，则实数a 的值为________． 2 [由题意知a ·1－2(3－a )＝0，解得a ＝2.]
5．直线2x ＋2y ＋1＝0，x ＋y ＋2＝0之间的距离是________． 324 [先将2x ＋2y ＋1＝0化为x ＋y ＋1
2
＝0，则两平行线间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪
2－122＝
32
4
.]
12＋1)y ＋4＝0平行”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
A [当a ＝1时，显然l 1∥l 2，
若l 1∥l 2，则a (a ＋1)－2×1＝0，所以a ＝1或a ＝－2. 所以a ＝1是直线l 1与直线l 2平行的充分不必要条件．]
2．已知经过点A (－2,0)和点B (1,3a )的直线l 1与经过点P (0，－1)和点Q (a ，－2a )的直线l 2互相垂直，则实数a 的值为________．
1或0 [l 1的斜率k 1＝
3a －01－－
＝a .当a ≠0时，l 2的斜率k 2＝
－2a －－
a －0
＝1－2a
a
.
因为l 1⊥l 2，所以k 1k 2＝－1，即a ·1－2a
a
＝－1，解得a ＝1.当a ＝0时，P (0，－1)，Q (0,0)，
这时直线l 2为y 轴，A (－2,0)，B (1,0)，直线l 1为x 轴，显然l 1⊥l 2.综上可知，实数a 的值为1或0.]
【例1】 (1)求经过两条直线l 1：x ＋y －4＝0和l 2：x －y ＋2＝0的交点，且与直线2x －y －1＝0垂直的直线方程为________.
(2)直线l 过点P (－1,2)且到点A (2,3)和点B (－4,5)的距离相等，则直线l 的方程为________．
(1)x ＋2y －7＝0 (2)x ＋3y －5＝0或x ＝－1 [(1)由⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＋y －4＝0，
x －y ＋2＝0，
得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，
y ＝3，
∴l 1与l 2的交点坐标为(1,3)．
设与直线2x －y －1＝0垂直的直线方程为x ＋2y ＋c ＝0，
则1＋2×3＋c ＝0，∴c ＝－7. ∴所求直线方程为x ＋2y －7＝0.
(2)法一：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0.
由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|
k 2＋1，
即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－1
3
，
∴直线l 的方程为y －2＝－1
3
(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.
当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意． 法二：当AB ∥l 时，有k ＝k AB ＝－1
3
，
直线l 的方程为y －2＝－1
3(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.
当l 过AB 中点时，AB 的中点为(－1,4)， ∴直线l 的方程为x ＝－1.
故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1.]
(1)当0<k <2
时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
(2) 若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( )
A.95
B.185 C ．2910 D ．295
(1)B (2)C [(1)由⎩
⎪⎨
⎪⎧
kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k 得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝k
k －1，y ＝2k －1
k －1.
又∵0<k <12，∴x ＝k k －1<0，y ＝2k －1
k －1>0，故直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k
的交点在第二象限．
(2)因为36＝48≠－12
5，所以两直线平行，将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由
题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82
＝29
10，所以|PQ |的最小值为29
10
.]
►考法1 点关于点的对称问题
【例2】 (2018·泉州模拟)过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________．
x ＋4y －4＝0 [设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l
上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.]
►考法2 点关于直线的对称问题
【例3】 如图，已知A (4,0)，B (0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )
A ．3 3
B ．6
C ．210
D ．2 5
C [直线AB 的方程为x ＋y ＝4，点P (2,0)关于直线AB 的对称点为
D (4,2)，关于y 轴的对称点为C (－2,0)，则光线经过的路程为|CD |＝62
＋22
＝210.]
►考法3 直线关于直线的对称问题
【例4】 (2019·郑州模拟)直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是( )
A ．x －2y ＋3＝0
B ．x －2y －3＝0
C ．x ＋2y ＋1＝0
D ．x ＋2y －1＝0
A [设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)，
由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋x 02
－y ＋y 02＋2＝0，
x －x 0＝－y ＋y 0，
得⎩⎪⎨
⎪
⎧
x 0＝y －2，y 0＝x ＋2，
由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， ∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0，即x －2y ＋3＝0.]
(1)点P (4,5)关于l 的对称点；
(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程； (3)直线l 关于(1,2)的对称直线．
[解] (1)设P (x ，y )关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)，∵k PP ′·k l
＝－1，即
y ′－y
x ′－x
×3＝－1.① 又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上， ∴3×
x ′＋x 2
－
y ′＋y
2
＋3＝0.②
由①②得⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝－4x ＋3y －95
，③y ′＝3x ＋4y ＋3
5
. ④
把x ＝4，y ＝5代入③④得x ′＝－2，y ′＝7， ∴点P (4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7)． (2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ， 得关于l 对称的直线方程为－4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋3
5
－2＝0， 化简得7x ＋y ＋22＝0.
(3)在直线l ：3x －y ＋3＝0上取点M (0,3)， 关于(1,2)的对称点M ′(x ′，y ′)， ∴
x ′＋0
2
＝1，x ′＝2，
y ′＋3
2
＝2，y ′＝1，∴M ′(2,1)．
l 关于(1,2)的对称直线平行于l ，∴k ＝3，
∴对称直线方程为y－1＝3×(x－2)，即3x－y－5＝0.。