高考数学总复习考点知识讲解与提升练习9 函数的对称性

高考数学总复习考点知识讲解与提升练习
专题9 函数的对称性
考点知识
1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.
2.会利用对称公式解决问题．
知识梳理
1．奇函数、偶函数的对称性
(1)奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称．
(2)若f(x－2)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为x＝－2；若f(x－2)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为(－2,0)．
2．若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)；
若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点(a,0)对称．
3．两个函数图象的对称
(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于y轴对称；
(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于x轴对称；
(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于原点对称．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．(√)
(2)函数y＝f(x－1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称．(×)
(3)若函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1) ＝0，则f(x)的图象关于y轴对称．(×)
(4)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称．(√)教材改编题
1．函数f(x)＝x＋1
x
图象的对称中心为()
A．(0,0) B．(0,1) C．(1,0) D．(1,1) 答案B
解析因为f(x)＝x＋1
x
＝1＋
1
x
，由y＝
1
x
向上平移一个单位长度得到y＝1＋
1
x
，又y＝
1
x
关
于(0,0)对称，
所以f(x)＝1＋1
x
的图象关于(0,1)对称．
2．已知定义在R上的函数f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，且f(－2－x)＝f(－2＋x)，则f(－4)与f(1)的大小关系为________．
答案f(－4)>f(1)
解析∵f(－2－x)＝f(－2＋x)，
∴f(x)关于直线x＝－2对称，
又f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，
∴f(－4)＝f(0)>f(1)，
故f(－4)>f(1)．
3．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2,3]时，f(x)＝2x－1，则f(－1)＝________.
答案5
解析∵f(x)为偶函数，
∴f(－1)＝f(1)，
由f(x)的图象关于x＝2对称，
可得f(1)＝f(3)＝2×3－1＝5.
题型一轴对称问题
例1(1)已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，对x∈R都有f(x＋1)＝f(1－x)，当f(－3)＝－2时，则f(2023)等于()
A．－2B．2C．0D．－4
答案B
解析定义在R上的函数f(x)是奇函数，且对x∈R都有f(x＋1)＝f(1－x)，
故函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，
∴f(x)＝f(2－x)，
故f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，
∴f(x)＝－f(2＋x)＝f(4＋x)，
∴f(x)是周期为4的周期函数．
则f(2023)＝f(505×4＋3)＝f(3)＝－f(－3)＝2.
(2)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)为偶函数，f(x)在[2，＋∞)上单调递减，则不等式f(x－1)>f(1)的解集为________．
答案(2,4)
解析∵f(x＋2)是偶函数，
∴f(x＋2)的图象关于直线x＝0对称，
∴f(x)的图象关于直线x＝2对称，
又f(x)在[2，＋∞)上单调递减，
∴f(x)在(－∞，2]上单调递增．
又f(x－1)>f(1)，
∴|x－1－2|<|1－2|，即|x－3|<1，
解得2<x<4，
∴原不等式的解集为(2,4)．
思维升华函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x)；
若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a＋b
2
成轴对称．
跟踪训练1(1)已知函数f(x)＝－x2＋bx＋c，且f(x＋1)是偶函数，则f(－1)，f(1)，f(2)的大小关系是()
A．f(－1)<f(1)<f(2)
B．f(1)<f(2)<f(－1)
C．f(2)<f(－1)<f(1)
D．f(－1)<f(2)<f(1)
答案D
解析因为f(x＋1)是偶函数，所以其对称轴为x＝0，
所以f(x)的对称轴为x＝1，
又二次函数f(x)＝－x2＋bx＋c的开口向下，根据自变量离对称轴的距离可得f(－1)<f(2)<f(1)．
(2)如果函数f (x )对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，且当x ≥1
2时，f (x )＝log 2(3x
－1)，那么函数f (x )在[－2,0]上的最大值与最小值之和为() A ．2B ．3C ．4D ．－1 答案C
解析根据f (1＋x )＝f (－x )可知，f (x )的图象关于x ＝1
2
对称，
那么求函数f (x )在[－2,0]上的最大值与最小值之和，即求函数f (x )在[1,3]上的最大值与最小值之和，
因为f (x )＝log 2(3x －1)在⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
12，＋∞上单调递增，所以最小值与最大值分别为f (1)＝1，
f (3)＝3，f (1)＋f (3)＝4. 题型二中心对称问题
例2(1)(多选)若定义在R 上的偶函数f (x )的图象关于点(2,0)对称，则下列说法正确的是()
A ．f (x )＝f (－x )
B ．f (2＋x )＋f (2－x )＝0
C ．f (－x )＝－f (x ＋4)
D ．f (x ＋2)＝f (x －2) 答案ABC
解析因为f (x )为偶函数，则f (x )＝f (－x )，故A 正确；
因为f (x )的图象关于点(2,0)对称，对于f (x )的图象上的点(x ，y )关于(2,0)的对称点(4－x ，－y )也在函数图象上，即f (4－x )＝－y ＝－f (x )，用2＋x 替换x 得到，f [4－(2＋x )]＝－f (2＋x )，即f (2＋x )＋f (2－x )＝0，故B 正确；
由f (2＋x )＋f (2－x )＝0，令x ＝x ＋2，可得f (x ＋4)＋f (－x )＝0，即f (－x )＝－f (x ＋4)，故C 正确；
由B 知，f (2＋x )＝－f (2－x )＝－f (x －2)，故D 错误．
(2)已知函数f (x )满足f (x )＋f (－x )＝2，g (x )＝1
x
＋1，y ＝f (x )与y ＝g (x )有4个交点，
则这4个交点的纵坐标之和为________． 答案4
解析因为f (x )＋f (－x )＝2，所以y ＝f (x )的图象关于点(0,1)对称， y ＝g (x )＝1
x
＋1的图象也关于点(0,1)对称，则交点关于(0,1)对称，
所以4个交点的纵坐标之和为2×2＝4.
思维升华函数y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )对称⇔f (a ＋x )＋f (a －x )＝2b ⇔2b －f (x )＝
f (2a －x )；若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＋f (b －x )＝c ，则y ＝f (x )的图象关于点⎝
⎛⎭⎪⎫
a ＋
b 2
，c 2成中心对称． 跟踪训练2(1)函数f (x )＝e x －2－e 2－x 的图象关于() A ．点(－2,0)对称B ．直线x ＝－2对称 C ．点(2,0)对称D ．直线x ＝2对称 答案C
解析∵f (x )＝e x －2－e 2－x ，∴f (2＋x )＝e 2＋x －2－e 2－(2＋x )＝e x －e －x ，
f (2－x )＝e 2－x －2－e 2－(2－x )＝e －x －e x ， 所以f (2＋x )＋f (2－x )＝0，
因此，函数f (x )的图象关于点(2,0)对称．
(2)(2023·郑州模拟)若函数f (x )满足f (2－x )＋f (x )＝－2，则下列函数中为奇函数的
是()
A．f(x－1)－1B．f(x－1)＋1
C．f(x＋1)－1D．f(x＋1)＋1
答案D
解析因为f(2－x)＋f(x)＝－2，
所以f(x)关于点(1，－1)对称，
所以将f(x)向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y＝f(x＋1)＋1，该函数的对称中心为(0,0)，故y＝f(x＋1)＋1为奇函数．
题型三两个函数图象的对称
例3已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象()
A．关于直线x＝1对称
B．关于直线x＝3对称
C．关于直线y＝3对称
D．关于点(3,0)对称
答案A
解析设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点，
则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))，
所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上，
而P(x0，y0)与Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称，
所以函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称．
思维升华函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝b－a
2
对称．
跟踪训练3设函数y＝f(x)的定义域为R，则函数y＝f(x－1)的图象与y＝f(1－x)的图象()
A．关于y轴对称
B．关于x轴对称
C．关于直线x＝1对称
D．关于直线y＝1对称
答案C
解析A选项，函数y＝f(x－1)关于y轴对称的函数为y＝f(－x－1)≠f(1－x)，故A错误；
B选项，函数y＝f(x－1)关于x轴对称的函数为y＝－f(x－1)≠f(1－x)，故B错误；C选项，函数y＝f(x－1)关于直线x＝1对称的函数为y＝f(2－x－1)＝f(1－x)，故C 正确；
D选项，函数y＝f(x－1)关于直线y＝1对称的函数为y＝2－f(x－1)≠f(1－x)，故D 错误．
课时精练
1．已知函数y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点() A．(－1,2) B．(1,2)
C．(－1，－2) D．(－2,1)
答案A
解析函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称，又y＝f(x)的图象经过点P(1，
－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点(－1,2)．
2．已知函数f(x)＝2|x－a|的图象关于直线x＝2对称，则a等于()
A．1B．2C．0D．－2
答案B
解析函数y＝2|x|的图象关于y轴对称，
将函数y＝2|x|的图象向右平移2个单位长度可得函数y＝2|x－2|的图象，
所以函数y＝2|x－2|的图象关于直线x＝2对称，故a＝2.
3．已知奇函数f(x)满足f(5)＝1，且f(x－2)的图象关于x＝3对称，则f(2025)等于()
A．－1B．1C．0D．3
答案B
解析∵函数f(x－2)的图象关于直线x＝3对称，
∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，
∴f(－x)＝f(x＋2)，
∵f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝f(x)，
∴f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(2025)＝f(1)＝f(5)＝1.
4．(2023·郑州质检)若函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝2，则下列函数是奇函数的是() A．f(x－1)－1B．f(x＋1)＋1
C．f(x)－1D．f(x)＋1
答案C
解析∵f(－x)＋f(x)＝2，
∴f(x)的图象关于(0,1)对称，
将y＝f(x)的图象向下平移1个单位长度得函数y＝f(x)－1的图象，该图象关于(0,0)对称，
∴y＝f(x)－1为奇函数．
5．已知函数f(x＋2)是R上的偶函数，且f(x)在[2，＋∞)上恒有f(x
1
)－f(x2)
x
1
－x2
<0(x1≠x2)，
则不等式f(ln x)>f(1)的解集为()
A．(－∞，e)∪(e3，＋∞) B．(1，e2)
C．(e，e3) D．(e，＋∞)
答案C
解析因为函数f(x＋2)是R上的偶函数，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，在[2，
＋∞)上恒有f(x
1
)－f(x2)
x
1
－x2
<0(x1≠x2)，当x1<x2时，f(x1)>f(x2)，所以f(x)在[2，＋∞)上
单调递减，f(x)在(－∞，2)上单调递增，不等式f(ln x)>f(1)需满足|ln x－2|<|1－2|⇒1<ln x<3，解得e<x<e3.
6．(多选)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上单调递增，则下列关于f(x)的结论中正确的有()
A．f(x)的图象关于直线x＝1对称
B．f(x)在[0,1]上单调递增
C．f(x)在[1,2]上单调递减
D．f(2)＝f(0)
答案AD
解析根据题意，若f(x＋1)＝－f(x)，
则f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，
即f(x＋2)＝f(x)，f(x)是周期为2的周期函数，
则有f(2)＝f(0)，故D正确；
若f(x＋2)＝f(x)，且函数f(x)为偶函数，
则有f(x＋2)＝f(－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，故A正确；
f(x)在[－1,0]上单调递增，且函数f(x)为偶函数，
则函数f(x)在[0,1]上单调递减，故B错误；
f(x)在[－1,0]上单调递增，且f(x)是周期为2的周期函数，
则函数f(x)在[1,2]上单调递增，故C错误．
7．与f(x)＝e x关于直线x＝1对称的函数是________．
答案y＝e2－x
解析f(x)＝e x关于直线x＝1对称的是f(2－x)＝e2－x，
即y＝e2－x.
8．(2022·江苏七市联考)写出一个同时具有性质①②③的函数f(x)＝________.
①f(x)是定义域为R的奇函数；
②f(1＋x)＝f(1－x)；
③f(1)＝2.
答案2sin π
2
x(答案不唯一)
解析由①②③可知函数f(x)是对称轴为x＝1，定义域为R的奇函数，且f(1)＝2，可写
出满足条件的函数f(x)＝2sin π
2 x.
9．已知函数f(x)＝a·2x－2－x
2x＋2－x
是奇函数．
(1)求a的值，并解关于x的不等式f(x)>1 3；
(2)求函数g(x)＝
2x＋1
2x＋2－x
图象的对称中心．
解(1)对任意的x∈R,2x＋2－x>0，故函数f(x)的定义域为R，
又因为函数f(x)＝a·2x－2－x
2x＋2－x
为奇函数，则f(0)＝
a－1
2
＝0，解得a＝1，
所以f(x)＝2x－2－x
2x＋2－x
，下面验证函数f(x)＝
2x－2－x
2x＋2－x
为奇函数，
f(－x)＝2－x－2x
2－x＋2x
＝－f(x)，故函数f(x)＝
2x－2－x
2x＋2－x
为奇函数，
由f(x)＝2x－2－x
2x＋2－x
＝
2x(2x－2－x)
2x(2x＋2－x)
＝
4x－1
4x＋1
>
1
3
，得2·4x>4，即22x＋1>22，
所以2x＋1>2，解得x>1 2，
因此不等式f(x)>1
3
的解集为
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1
2
，＋∞.
(2)g(x)＝
2x＋1
2x＋2－x
＝
2·2x
2x＋2－x
，
则g(－x)＝2·2－x
2－x＋2x
，
所以g(x)＋g(－x)＝2(2x＋2－x)
2x＋2－x
＝2，
因此函数g(x)＝
2x＋1
2x＋2－x
图象的对称中心为(0,1)．
10．函数y ＝f (x )的图象关于点P (a ，b )成中心对称的充要条件是函数y ＝f (x ＋a )－b 为奇函数．
(1)若f (x )＝x 3－3x 2.求此函数图象的对称中心；
(2)类比上述推广结论，写出“函数y ＝f (x )的图象关于y 轴成轴对称的充要条件是函数
y ＝f (x )为偶函数”的一个推广结论．
解(1)设函数f (x )＝x 3－3x 2图象的对称中心为P (a ，b )，g (x )＝f (x ＋a )－b ， 则g (x )为奇函数，故g (－x )＝－g (x )，故f (－x ＋a )－b ＝－f (x ＋a )＋b ， 即f (－x ＋a )＋f (x ＋a )＝2b ，
即[(－x ＋a )3－3(－x ＋a )2]＋[(x ＋a )3－3(x ＋a )2]＝2b . 整理得(3a －3)x 2
＋a 3
－3a 2
－b ＝0，故⎩⎨⎧
3a －3＝0，a 3
－3a 2
－b ＝0，
解得⎩⎨
⎧
a ＝1，
b ＝－2，
所以函数f (x )＝x 3－3x 2图象的对称中心为(1，－2)．
(2)推论：函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 成轴对称的充要条件是函数y ＝f (x ＋a )为偶函数．
11．(多选)已知函数y ＝f (x )，x ∈R ，下列4个命题中是真命题的是() A ．若y ＝f (x ＋1)为偶函数，则f (x )的图象自身关于直线x ＝1对称 B ．函数f (x －1)与f (1－x )的图象关于直线x ＝1对称
C ．若f (x )为奇函数，且f (x ＋2)＝－f (x )，则f (x )的图象自身关于点(1,0)对称
D ．若f (x )为奇函数，且f (x )＝f (－x －2)，则f (x )的图象自身关于直线x ＝1对称 答案ABD
解析对于A ，若y ＝f (x ＋1)为偶函数，其函数图象关于直线x ＝0对称，故y ＝f (x ＋1)
的图象向右平移1个单位长度得f (x )的图象，故f (x )的图象自身关于直线x ＝1对称，正确；
对于B ，将f (x )的图象向右平移1个单位长度，可得f (x －1)的图象，将f (x )的图象关于y 轴对称得f (－x )的图象，然后将其图象向右平移1个单位长度得f (1－x )的图象，故f (x －1)与f (1－x )的图象关于直线x ＝1对称，故正确；
对于C ，若f (x )为奇函数，且f (x ＋2)＝－f (x )＝f (－x )，故f (x ＋1)＝f (1－x )，所以
f (x )的图象自身关于直线x ＝1对称，故不正确；
对于D ，因为f (x )为奇函数，且f (x )＝f (－x －2)，故f (x ＋2)＝－f (x )＝f (－x )，所以f (x )的图象自身关于直线x ＝1对称，故正确．
12．已知函数f (x )满足f (x ＋2)是偶函数，若函数y ＝|x 2－4x －5|与函数y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，则横坐标之和x 1＋x 2＋…＋x n ＝________. 答案2n
解析因为f (x ＋2)是偶函数，所以函数f (x ＋2)的图象关于直线x ＝0对称， 又因为函数f (x ＋2)向右平移2个单位长度得到函数f (x )的图象， 所以函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称， 因为y ＝|x 2－4x －5|＝|(x －2)2－9|，
所以函数y ＝|x 2－4x －5|的图象也关于直线x ＝2对称， 所以x 1＋x 2＋…＋x n ＝n
2
·4＝2n .
13．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x ，x >0，
－x 2
－4x ，x ≤0，
则此函数图象上关于原点对称的点有()
A ．0对
B ．1对
C ．2对
D ．3对 答案B
解析作出函数y ＝f (x )的图象，如图所示，
再作出－y ＝f (－x )，记为曲线C ，
由图象可知，满足条件的对称点只有一对，图中的A ，B 就是符合题意的点． 14．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x －2－4，x ≤2，
2x －2
－4，x >2，
则满足f (2＋log 4x )>f (1－log 4x )的x 的取
值范围是()
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，2 C ．(0,2) D ．(2，＋∞)
答案A
解析当x ≤2时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2
－4＝22－x －4＝2|x －2|－4，
当x >2时，f (x )＝2x －2－4＝2|x －2|－4， 所以对任意的x ∈R ，f (x )＝2
|x －2|
－4，
则f (4－x )＝2|4－x －2|－4＝2|x －2|－4＝f (x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称， 因为函数f (x )在[2，＋∞)上单调递增，
由f (2＋log 4x )>f (1－log 4x )可得|2＋log 4x －2|>|1－log 4x －2|，
即|log 4x |>|1＋log 4x |，不等式|log 4x |>|1＋log 4x |两边平方得log 4x <－12，解得0<x <1
2
.。