2025版高考数学全程一轮复习第二章函数第三节函数的奇偶性周期性课件

第三节 函数的奇偶性、周期性
课前自主预习案
课堂互动探究案
课前自主预习案
1.函数的奇偶性
必备知识
偶函数
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x
定义 都有_f_(－__x_)＝__f(_x_)_，那么函数 都有_f_(－__x_)＝__－__f(_x)_，那么函数
f(x)就叫做偶函数
f(x)就叫做奇函数
解析：选项A中，函数定义域是{x|x≠1}，函数没有奇偶性；
选项B中，函数定义域是(－∞，＋∞)，f(－x)＝ −x 2＝ x2＝f(x)，是偶函数； 选项C中，函数定义域是{1}，函数没有奇偶性； 选项D中，函数定义域是{x|x≠0}，f(－x)＝－x－1x＝－f(x)，函数是奇函数．
(2)[2024·河南开封模拟]函数f(x)满足f(x)＝2xx−−21，则下列函数中为奇 函数的是( )
(2)∵f(x＋a)＝f
1 x
，
∴f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝f
1 x+a
＝
1
1
＝f(x)，
fx
∴T＝2a.
关键能力·题型剖析 题型一 判断函数的奇偶性
例1 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝
4−x2 ；
x+3 −3
(2)f(x)＝(x－1)
1+x；
1−x
(3)f(x)＝ 1 − x2 + x2 − 1；
2．(教材改编)(多选)下列函数为奇函数的是( )
A．f(x)＝x4
B．f(x)＝x5
C．f(x)＝x＋1x
D．f(x)＝x12
答案：BC
解析：由奇函数的定义可知BC为奇函数．故选BC.
3．(教材改编)设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时， f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是__(－__2_，__0)_∪__2_，__5__．
课堂互动探究案
1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义． 2．会依据函数的性质进行简单的应用．
问题思考·夯实技能 【问题1】 “a＋b＝0”是“函数f(x)在区间[a，b](a≠b)上具有奇 偶性”的什么条件？请说明理由．
提示：必要不充分条件 因为偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称．
2x−1为偶函数，则
2x+1
a＝
()
A．－1
B．0
C．12
D．1
答案：B
解析：设g(x)＝ln
22xx−+11，易知g(x)的定义域为
−∞， − 1
2
∪
1 ， + ∞ ，关于原
2
点对称，且g(－x)＝ln −−22xx−+11＝ln 22xx+−11＝－ln 22xx−+11＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．若
又函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，
因此当x<0时，f(x)＝－x2－3x，所以f(x)的解析式为f(x)＝ቊ−−xx22
+ −
3x，x 3x，x
≥ <
00.
题后师说
(1)求参数：根据f(－x)±f(x)＝0得到关于待求参数的恒等式，再求出 参数的值．在解答选择题、填空题时，一般选用特值法，如函数f(x) 为奇函数(在x＝0处有定义)，则用f(0)＝0求解等．
当x∈(2，3]时，x－2∈(0，1]，则f(x－2)＝2x－2－1，
又f(x)的周期为2，所以f(x)＝f(x－2)＝2x－2－1.
1.[2023·安徽合肥模拟]已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)
＝ex＋x＋m，则f(－1)＝( )
解析：由奇函数的图象特征可知f(x)在[－5，5]上的 图象，如图，
∴f(x)<0的解集为(－2，0)∪ 2，5 .
4．(易错)关于函数f(x)＝ x2 − 4 + 4 − x2与h(x)＝ x − 4 + 的奇偶性，下列说法正确的是( )
A．两函数均为偶函数 B．两函数都既是奇函数又是偶函数 C．函数f(x)是偶函数，h(x)是非奇非偶函数 D．函数f(x)既是奇函数又是偶函数，h(x)是非奇非偶函数
【问题2】 对f(x)定义域内任一自变量的值x，请证明：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝f
1 x
，则T＝2a(a>0)．
提示：(1)∵f(x＋a)＝－f(x)，
∴f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝－(－f(x))＝f(x)，
∴T＝2a.
(2)求解析式(或函数值)：将待求区间上的自变量转化到已知区间上， 再利用奇偶性求出．
巩固训练2
(1)[2024·山
东
临
沂
模
拟
]
已
知
函
数
f(x)
＝
x
＋
mx ex−1
是
偶
函
数
，
则
m
＝
____2____．
解则即∵析－：f1(＋x由)＝e−−e1xxm－−＋1＝1em≠x−1x1＋0是得em偶−f(1x，函)＝解数x得＋，me故mx＝−fx(1－2的. 1定)＝义f(域1)为，{x|x≠0}，
的定义域为{4}，不关于原点对称，因此函数h(x)是非奇非偶函数．故选D.
5．(易错)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1
＋x)，则f(x)的解析式为__f(_x_)＝__ቊ_xx_11__+−_xx__，，__xx _≥<__00_．
解析：当x<0时，则－x>0， ∴f(－x)＝(－x)(1－x)＝－x(1－x)， 又f(x)为奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴－f(x)＝－x(1－x)，即f(x)＝x(1－x)．
【常用结论】 1．函数奇偶性的五个重要结论 (1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有意义，即f(0)有意义，那么一定有 f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|). (3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关 于原点对称的区间上具有相反的单调性． (4)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶 ×偶＝偶，奇×偶＝奇． (5)只有f(x)＝0(定义域是关于原点对称的非空数集)既是奇函数又是 偶函数．
f(2
023)＝f(－1)＝f
1 3
＝14.
(2)[2024·江苏无锡模拟]已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且周期
为
2
，
当
x∈[
－
1
，
0)
时
，
f(x)
＝
(
1 2
)x
－
1
，
则
当
x∈(2
，
3]
时
，
f(x)
＝
__2x_－_2_－_1__．
解析：当x∈(0，1]时，－x∈[－1，0)， 则f(－x)＝(12)－x－1＝2x－1， 因为f(x)是定义域为R的偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝2x－1；
巩固训练3 [2024·河南开封模拟]已知函数f(x)＝5x1+1＋a是奇函数，则不等式f(2x －1)>－13的解集为_(－__∞__，_1_)_．
解析：由题意，函数f(x)＝5x1+1＋a为奇函数，可得f(0)＝501+1＋a＝12＋a＝0，
解得a＝－12，即f(x)＝5x1+1 − 12，其定义域为x∈R，经检验满足题意；
f(x)＝(x＋a)ln 22xx−+11为偶函数，则y＝x＋a也应为奇函数，所以a＝0，故选B.
(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝－x2＋3x， 则f(x)的解析式为_f_(x_)_＝_ቊ_−−__xx22__+−_33_xx_，，__xx_≥<__00__．
解析：根据题意可知，当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)2＋3(－x)＝－x2－3x，
(1)求证：f(x)是周期函数； (2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式； (3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 023)．
题后师说
(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求 出函数的周期．
(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值，求零点个数、求解 析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．
A．f(x＋1)－2
B．f(x＋2)－2
C．f(x－2)＋2
D．f(x＋1)＋2
答案：B
解析：A：f(x＋1)－2＝2xx−+11－2＝x−31，定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，不 符合；
B：f(x＋2)－2＝2xx+3－2＝3x，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，且−3x＝－3x，符 合；
x2 − 2x + 3，x > 0
(4)f(x)＝ቐ
0，x = 0
.
−x2 − 2x − 3，x < 0
题后师说
判断函数奇偶性的方法
巩固训练1
(1)下列函数中，为偶函数的是( )
A．f(x)＝x−x1 C．f(x)＝ 1 − x + x − 1
B．f(x)＝ x2 D．f(x)＝43;1
−
12为减函数，且f(1)＝5+11
−
1＝－1，
2
3
所以不等式f(2x－1)>－13等价于f(2x－1)>f(1)，
即2x－1<1，解得x<1，所以不等式f(2x－1)>－13的解集为(－∞，1)．
题型三 函数的周期性
例4 [2024·山西晋中模拟]设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实 数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2.
此时f(x)＝x＋ex2−x1＝x
ex+1 ex−1
，而f(－x)＝−xe−ex−−x+11
＝f(x)，
故f(x)为偶函数，故m＝2.
(2)已知函数f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，当0<x≤1时，f(x)＝ x(x－1)，则当－1≤x<0时，f(x)＝__－_x_2_－_x__．
解析：当－1≤x<0时，0<－x≤1， 因为函数f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数， 故f(x)＝－f(－x)＝－[－x(－x－1)]＝－x2－x.
4−x
答案：D
解析：函数f(x)＝
x2 − 4 +
4
−
x 2 的定义域满足 ቊx42−−x42
≥ ≥
0， 0，
即x2＝4，因此
函数f(x)的定义域为{－2，2}，关于原点对称，此时f(x)＝0，满足f(－x)＝－f(x)，
f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数．而函数h(x)＝ x − 4 + 4 − x
巩固训练4
(1)[2024·黑龙江佳木斯模拟]定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f
1 x+4
，
1
且当x∈[0，4)，f(x)＝x＋1，则f(2 023)＝___4___．
解析：由f(x)＝f
1 x+4
可得f(x＋4)＝f
1 x+8
，所以f(x＋8)＝f
1 x+4
＝f(x)，故f(x)为周
期函数，且周期为8，
角度二 利用奇偶性解不等式
例3 [2024·河北石家庄模拟]若偶函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
且f(2)＝0，则不等式f
x
+f 3x
−x
<0的解集为(
)
A．(－2，2)
B．(－2，0)∪(2，+∞)
C．(－∞，－2)∪(2，+∞)
D．(－∞，－2)∪(0，2)
答案：B
题后师说 利用奇偶性可画出另一对称区间上的函数图象及判断另一区间上函 数的单调性．
图象 特征
关于___y_轴____对称
关于___原__点___对称
2.函数的周期性 (1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取 定义域内的任何值时，都有_f_(x_＋__T_)＝__f_(x_)_，那么就称函数f(x)为周期函 数，称T为这个函数的周期． (2) 最 小 正 周 期 ： 如 果 在 周 期 函 数 f(x) 的 所 有 周 期 中 存 在 一 个 __最_小__的__正_数___，那么这个_最__小__正_数___就叫做f(x)的最小正周期．
2．周期性的三个常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x(a，b为非零常数)：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；
(2)若f(x＋a)＝±f
1 x
，则T＝2a；
(3)若f(x＋a)＝f(x－b)，则T＝a＋b.
夯实基础 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)时是偶函数．( × ) (2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.( × ) (3)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．( × ) (4) 若 T 是 函 数 的 一 个 周 期 ， 则 nT(n∈Z ， n≠0) 也 是 函 数 的 周 期．( √ )
C：f(x－2)＋2＝2xx−−45＋2＝4xx−−143，定义域为{x|x≠4}，不关于原点对称，不符合； D：f(x＋1)＋2＝2xx−+11＋2＝4xx−−11，定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，不符合．
题型二 函数奇偶性的应用
角度一 利用奇偶性求值(解析式)
例2
(1)[2023·新课标Ⅱ卷]若f(x)＝(x＋a)ln