2021年贵州省遵义市十三中高二数学理期末试题含解析

2021年贵州省遵义市十三中高二数学理期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 经过点且与双曲线有共同渐近线的双曲线方程为（）
A． B． C． D．
参考答案：
A
2. 在△ABC中，点O是BC边的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若,则的最大值为 ( ）
A． 1 B． C． D． 2
参考答案：
A
3. 设集合，那么集合A中满足条件
“”的元素个数为（）
A. 60
B. 65
C. 80
D. 81
参考答案：
D
由题意可得，成立，需要分五种情况讨论：
当时，只有一种情况，即；
当时，即，有种；
当时，即，有种；
当时，即，有种
当时，即，有16种，综合以上五种情况，则总共为：81种，故选D.
【点睛】本题主要考查了创新型问题，往往涉及方程，不等式，函数等，对涉及的不同内容，先要弄清题意，看是先分类还是先步，再处理每一类或每一步，本题抓住只能取相应的几个整数值的特点进行分类，对于涉及多个变量的排列，组合问题，要注意分类列举方法的运用，且要注意变量取值的检验，切勿漏掉特殊情况.
4. 用数学归纳法证明：时，在第二步证明从到
成立时，左边增加的项数是（）
A. B. C. D. 1
参考答案：
A
【分析】
先求出n=k+1时左边最后的一项，再求左边增加的项数.
【详解】n=k+1时左边最后的一项为，n=k时左边最后一项为，
所以左边增加的项数为.
故选：A
【点睛】本题主要考查数学归纳法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
5. 曲线在点P处的切线斜率为，则点P的坐标为( )
A．（3，9） B．（－3，
9） C． D．（）
参考答案：
D
略
6. 等差数列{an}中，a3=2，则该列的前5项的和为（）
A．10 B．16 C．20 D．32
参考答案：
A
略
7. 设集合P={x∈R|x ＞2}，M={x∈R|x＞a ，a∈R}，则“a=1”是“P?M”的( )
A ．必要不充分条件
B ．充要条件
C ．既不充分也不必要条件
D ．充分不必要条件
参考答案：
D
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【专题】计算题．
【分析】由a=1，可得P={x∈R|x＞2}，M={x∈R|x＞1}，P?M ；由P?M ，则a ＜2，可判断 【解答】解：若a=1，P={x∈R|x＞2}，M={x∈R|x＞1} 此时P?M
若P?M ，则a ＜2，但是不一定是1 故“a=1”是“P?M”充分不必要条件‘ 故选D
【点评】本题主要考查了充分条件与必要条件的判断，要注意与集合的包含关系的相互转化关系的应用．
8. 函数的定义域是（ ）
A.
B.
C.
D.
参考答案：
B
9. 设随机变量X 的概率分布表如下图，则（ ）
X 1 2 3 4
A. B. C. D.
参考答案：
C
试题分析：由所有概率和为1,可得
.又
.故本
题答案选C.
10. 已知各项均不为零的数列,定义向量，，.
下列命题中为真命题的是 ( )
A ．若总有成立，则数列是等差数列
B ．若总有成立，则数列是等比数列
C ．若总有成立，则数列是等差数列
D ．若总有
成立，则数列
是等比数列
参考答案： A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 数列的前n 项的和Sn=2n2-n+1，则an=________. 参考答案：
略
12. 某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表
根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额
为 ．
参考答案：
万元
略
13. 若函数e x f（x）（e=2.71828…，是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f （x）具有M性质，下列函数：
①f（x）=（x>1）②f（x）=x2③f（x）=cos x④f（x）=2-x
中具有M性质的是__________.
参考答案：
①④
14. （4分）函数f（x）=sin2x+sinxcosx 的最大值为
_________．
参考答案：
15. 以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①设A 、B为两个定点，k 为正常数，，则动点P 的轨迹为椭圆；
②双曲线与椭圆有相同的焦点；
③方程2x2﹣5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④和定点A（5，0）及定直线的距离之比为的点的轨迹方程为．其中真命题的序号为．
参考答案：
②③④
【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．
【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】①根据椭圆的定义，当k＞|AB|时是椭圆；②正确，双曲线与椭圆有相
同的焦点，焦点在x轴上，焦点坐标为（±，0）；③方程2x2﹣5x+2=0的两根为或2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④由双曲线的第二定义可知：点的轨迹是双曲线．
【解答】解：①根据椭圆的定义，当k＞|AB|时是椭圆，∴①不正确；
②正确，双曲线与椭圆有相同的焦点，焦点在x轴上，焦点坐标为（±，0）；
③方程2x2﹣5x+2=0的两根为或2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，∴③正确
④由双曲线的第二定义可知：点的轨迹是双曲线，且a=4，b=3，c=5．
故答案为：②③④．
【点评】本题主要考查了圆锥曲线的共同特征，同时考查了椭圆、双曲线与抛物线的性质，考查的知识点较多，属于中档题．
16. 若关于x的方程7x2–（m+13）x+m2–m–2=0的一根大于1，另一根小
于1. 则实数m的取值范围为 .
参考答案：
(-2,4)
17. 已知M (–3, 0)，N (3, 0)，给出曲线：①x –y + 5 = 0，②2x + y– 12 = 0，③x2 + y2– 12x– 8y + 51 =
0，④=1. 在所给的曲线上存在点P满足|MP| = 10 – |NP|的所在曲线方程是 __.
参考答案：
解析: 满足|MP| = 10 – |NP|，点P的轨迹是椭圆. 画图可知直线x–y + 5 = 0及双曲线
与它有交点，而直线2x + y– 12 = 0，如图(x– 6)2 + (y– 4)2 = 1与它无交点. 故填
①④.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 设数列，＝2，n∈N*.
（Ⅰ）求并由此猜想出的一个通项公式；
（Ⅱ）证明由（Ⅰ）猜想出的结论．
参考答案：
解：（Ⅰ）由a1＝2，得a2＝a－a1＋1＝3，由a2＝3，得a3＝a－2a2＋1＝4，………… 3分由a3＝4，得a4＝a－3a3＋1＝5.由此猜想a n的一个通项公式为：a n＝n＋1(n∈N*)．… 6分（Ⅱ）证明：①当n＝1时，a1=2，猜想成立．………………………………………… 7分
②假设当n＝k（k∈N*且k≥1）时猜想成立，即a k=k＋1，
那么当n＝k＋1时，a k＋1＝a k(a k－k)＋1=(k＋1)(k＋1－k)＋1＝k＋2，……………… 11分也就是说，当n＝k＋1时，a k＋1=(k＋1)＋1. 猜想成立
根据①和②，对于所有n∈N*，都有a n=n＋1. ………………………………… 12分
略
19. .在等比数列{a n}与等差数列{b n}中，，，，.
（1）求数列{a n}与数列{b n}的通项公式；
（2）若，求数列{c n}的前n项和S n.
参考答案：
（1），；（2）.
【分析】
（1）根据等差数列和等比数列通项公式构造出关于公比和公差的方程组，解方程组求得公比和公差；根据等差数列和等比数列通项公式求得结果；（2）由（1）可得，采用分组求和的方法，分别利用等差和等比数列的前项和公式求得各部分的结果，加和即为所求结果.
【详解】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为由，，，可得：
解得：，
，
（2）由（1）知：
【点睛】本题考查等差和等比数列的通项公式、前项和公式的应用以及分组求和法的应用，属于基础题.
20. （本小题满分12分）
甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加的5项预赛成绩记录
如下：
8287
75 85
(1)从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率；
（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？说明理由．
参考答案：
解：(1)记甲被抽到的成绩为x，乙被抽到的成绩为y，用数对(x，y)表示基本事件：
(82,95)(82,75)(82,80)(82,90)(82,85)
(82,95)(82,75)(82,80)(82,90)(82,85)
(79,95)(79,75)(79,80)(79,90)(79,85)
(95,95)(95,75)(95,80)(95,90)(95,85)
(87,95)(87,75)(87,80)(87,90)(87,85)
基本事件总数n＝
25. ································································································· 2分
记“甲的成绩比乙高”为事件A，事件A包含的基本事件：
(82,75)(82,80)(82,75)(82,80)(79,75)(95,75)
(95,80)(95,90)(95,85)(87,85)(87,75)(87,80)
事件A包含的基本事件数是m＝
12. ··········································································· 4分
所以P(A)＝＝.······································································································· 6分
(2)派甲参赛比较合适．理由如下：
甲＝
85，乙＝85，································································································· 8分＝31.6，＝
50. ····························································································· 10分
∵甲＝乙，＜，
∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．·································································· 12分
21. （满分8分）已知函数
（1）求函数的最小正周期（2）求函数的单调递增区间（3）求函数的最大值，并求出对应的X值的取值集合。

参考答案：
(1)
(2)
即
函数的增区间为
(3)当时, ,函数的最大值为1
22. （10分）（2015?延边州一模）如图，△ABO三边上的点C、D、E都在⊙O上，已知AB∥DE，
AC=CB．
（l）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若AD=2，且tan∠ACD=，求⊙O的半径r的长．
参考答案：
考点：与圆有关的比例线段．
分析：（1）如图所示，连接OC．由AB∥DE，可得，由于OD=OE，可得OA=OB．由于AC=CB，可得OC⊥AB．即可得出直线AB是EO的切线．
（2）延长AO交⊙O于点F，连接CF．由（1）可得∠ACD=∠F．由tan∠ACD=，可得tan∠F=．由于△ACD∽△AFC，可得，再利用切割线定理可得：AC2=AD?（AD+2r），即可得出．
解答：（1）证明：如图所示，连接OC．
∵AB∥DE，∴，∵OD=OE，∴OA=OB．∵AC=CB，∴OC⊥AB．∴直线AB是EO的切线．
（2）解：延长AO交⊙O于点F，连接CF．由（1）可得∠ACD=∠F．
∵tan∠ACD=，∴tan∠F=．
∵△ACD∽△AFC，
∴，
而AD=2，∴AC=4．
由切割线定理可得：AC2=AD?（AD+2r），
∴42=2×（2+2r），解得r=3．
点评：本题考查了圆的切线的性质、切割线定理、相似三角形的性质、平行线分线段成比例定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。