江苏高二高中数学期中考试带答案解析

江苏高二高中数学期中考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、填空题
1.集合的所有子集个数为_________．
2.已知函数的定义域为Ｍ，的定义域为Ｎ，则＝______.
3.计算：= ．
4.命题“”的否定是．
5.，则
6.已知幂函数过点，则不等式的解集为__________.
7.设，则从小到大的顺序是_____
8.利用二分法求方程=0在上的近似解，取间中点，则下一个有解的区间是__________.
9.定义在上奇函数，则_____.
10.若命题“”是假命题，则实数的取值范围是________ .
11.奇函数的定义域为，若在[0,2]上单调递减，且
，则实数m的范围是_______.
12.已知，函数若函数在上的最大值比最小值大，则的
值为 .
13.已知是以2为周期的偶函数，当时，，且在内，关于的方程
有四个根，则得取值范围是
14.给出定义：若（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m，在此基础上给出关于函数的四个命题：
①的定义域是R,值域为；
②是图像的对称中心，其中；
③函数的最小正周期是1；
④函数在上是增函数.
其中真命题的序号是______.
二、解答题
1.记函数的定义域为集合A，函数的定义域为集合B．
（1）求A∩B和A∪B；
（2）若，求实数的取值范围．
2.若集合，且
（1）若，求集合；
（2）若，求的取值范围．
3.已知命题p：对m∈［-1,1］,不等式a2-5a+3≥恒成立；命题q:方程x2+ax+4=0在实数集内没有解；若p 和q都是真命题，求a的取值范围.
4.（1）已知，求函数的最大值和最小值；
（2）要使函数在上f (x)恒成立，求a的取值范围.
5.设某市现有从事第二产业人员100万人，平均每人每年创造产值a万元(a为正常数),现在决定从中分流x万人去加强第三产业。

分流后，继续从事第二产业的人员平均每人每年创造产值可增加2x%（0<x<100）。

而分流出的从事第三产业的人员，平均每人每年可创造产值1.2a万元。

（1）若要保证第二产业的产值不减少，求x的取值范围；
（2）在（1）的条件下，问应分流出多少人，才能使该市第二、三产业的总产值增加最多？
6.已知二次函数.
（1）若，试判断函数零点个数；
（2）是否存在，使同时满足以下条件
①对任意，且；
②对任意,都有。

若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。

（3）若对任意且，，试证明存在，
使成立。

江苏高二高中数学期中考试答案及解析
一、填空题
1.集合的所有子集个数为_________．
【答案】8
【解析】∵集合有3个元素，∴集合的所有子集个数为
【考点】本题考查了子集的个数
点评：解决此类问题常常用到：若集合有n个元素，则该集合的所有子集个数为
2.已知函数的定义域为Ｍ，的定义域为Ｎ，则＝______.
【答案】
【解析】∵1-x>0，∴x<1，故函数的定义域为Ｍ=，的定义域为Ｎ，∴＝
【考点】本题考查了定义域的求法
点评：熟练掌握常见函数的定义域的法则是解决此类问题的关键，属基础题
3.计算：= ．
【答案】0
【解析】
【考点】本题考查了对数的运算
点评：熟练掌握对数函数的运算法则是解决此类问题的关键，属基础题
4.命题“”的否定是．
【答案】
【解析】∵“≤”的否定为“>”，∴命题“”的否定是
【考点】本题考查了特称命题的否定
点评：全称命题的否定为特称命题，特称命题的否定为全称命题
5.，则
【答案】1
【解析】∵-2<-1，∴f(-2)=2(-2)+3=-1，又f(-1)=1，∴ f(1)=1
【考点】本题考查了分段函数的求值
点评：解决此类问题的关键是弄清楚不同自变量取值时的函数解析式，属基础题
6.已知幂函数过点，则不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】设幂函数为，∵幂函数过点，∴，∴，∴，∴由得
0<x<1，∴不等式的解集为
【考点】本题考查了幂函数的概念及分式不等式的解法
点评：熟练掌握常见幂函数的概念及分式不等式的解法是解决此类问题的关键，属基础题
7.设，则从小到大的顺序是_____
【答案】c,a,b
【解析】∵，∴c<a<b，∴从小到大的顺序是c,a,b
【考点】本题考查了比较函数值的大小
点评：熟练掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象及性质是解决此类问题的关键，属基础题
8.利用二分法求方程=0在上的近似解，取间中点，则下一个有解的区间是__________.
【答案】(1,2)
【解析】设f(x)= ,∵f（1）=-1<0，f(3)=23>0，f(2)=5>0，∴下一个有解的区间是(1,2)
【考点】本题考查了零点存在性定理
点评：熟练掌握零点存在性定理是解决此类问题的关键，属基础题
9.定义在上奇函数，则_____.
【答案】7
【解析】∵为奇函数，∴f(-x)="f(x)" ，∴b=d=0，又定义域关于原点对称，∴2-m=-5，∴m=7，∴7
【考点】本题考查了函数的性质
点评：熟练掌握奇偶函数的定义是解决此类问题的关键，属基础题
10.若命题“”是假命题，则实数的取值范围是________ .
【答案】[-1,3]
【解析】∵命题“”是假命题，∴对x∈R恒成立，∴
，∴，∴，即实数的取值范围是[-1,3]
【考点】本题考查了一元二次函数的恒成立问题
点评：设，（1）上恒成立；（2）上恒成立。

11.奇函数的定义域为，若在[0,2]上单调递减，且
，则实数m的范围是_______.
【答案】
【解析】∵，∴，又在[0,2]上单调递减，∴在上单调递减，由题意，解得，即实数m的范围为
【考点】本题考查了函数性质的运用
点评：对于此类抽象函数问题常常利用函数单调性及奇偶性脱掉法则转化为常见不等式求解
12.已知，函数若函数在上的最大值比最小值大，则的
值为 . 【答案】
【解析】当0<a<1时，函数
在
上单调递减，∴此时的最大值为
，最小值
为a-2，由题意1-（a-2）=，解得a=；当a>1时，函数在上先增后减，∴
此时的最大值为，最小值为1，由题意a-1=，解得a=.综上a 的值为
【考点】本题考查了函数单调性的运用
点评：熟练掌握分段函数的单调性是解决此类问题的关键，另当指数或对数的底数是字母时，要讨论0<a<1或a>1
13.已知是以2为周期的偶函数，当时，，且在内，关于的方程
有四个根，则得取值范围是
【答案】（
，0）
【解析】由已知可画出函数f （x ）的图象，先画出f （x ）在x ∈[0，1]上的图象，利用偶函数画出在x ∈[-1，0]上的图象，再利用函数的周期性画出R 上的图象，下面画出的是函数在x ∈[-1，3]上的图象，如图：
又可知关于x 的方程y=kx+k+1（k≠1）恒过点M （-1，1），在上图中画出直线l 0，l 1，l 2，
显然当这些过定点M （-1，1）的直线位于l 0与l 2之间如L 1时，才能与函数f （x ）有四个交点；又因为直线l 0与l 2的斜率为k 0=0和k 2=-，因此k 的取值范围应为：
＜k ＜0，故答案为 （
，0）．
【考点】本题考查了函数性质的运用
点评：此类问题常常利用函数的奇偶性、周期性作图，体现了数形结合的思想，属于基础题．
14.给出定义：若（其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{x}，即{x}=m ，在此基础上给出关于函数的四个命题：
①的定义域是R,值域为
；
②是图像的对称中心，其中；
③函数的最小正周期是1； ④函数
在
上是增函数.
其中真命题的序号是______. 【答案】①③ 【解析】由定义：
（其中m 为整数），得-＜x-m≤
，
据此可画出函数图象：
①∵对于任意实数x，函数f（x）都有意义，故函数的定义域为R，值域是（-，]；
②∵（，）在图象上，（-，-）不在图象上，∴点（0，0）不是y=f（x）的图象的对称中心；②错；③
从图象的周期性变化来看，函数y=f（x）的最小正周期为1；
④函数y=f（x）在（-，）及（，]上是增函数，但不能在上是增函数，错误；由此可选择①③
【考点】本题考查了函数的性质
点评：此类题为新定义题目，解题的关键是读懂定义内涵，尝试探究解决，属难题．
二、解答题
1.记函数的定义域为集合A，函数的定义域为集合B．
（1）求A∩B和A∪B；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）A∩B，A∪B=R．（2）．
【解析】（1）依题意，得，…2分
，…4分
∴A∩B， 6分
A∪B=R．…8分
（2）由，得，而，∴，∴． 14分
【考点】本题考查了函数定义域及集合的运算
点评：对于比较抽象的集合，在探究它们的关系时，要先对它们进行化简。

同时，要注意集合的子集要考虑空与不空,不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况.
2.若集合，且
（1）若，求集合；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）若，，则 2分
，，得或 4分
所以 6分
（2）因为，所以 8分
，因为所以 10分
且 11分 14分
【考点】本题考查了对数不等式的求解及集合的概念
点评：对于对数不等式及指数不等式，一般利用函数的单调性处理，属基础题
3.已知命题p：对m∈［-1,1］,不等式a2-5a+3≥恒成立；命题q:方程x2+ax+4=0在实数集内没有解；若p 和q都是真命题，求a的取值范围.
【答案】-4<a≤0.
【解析】∵m∈［-1,1］,∴∈［2,3］, 2分
因为m∈［-1,1］,恒成立，可得≥3, 4分
∴a≥5或a≤0.故命题p为真命题时，a≥5或a≤0. 6分
又命题q:方程x2+ax+4=0在实数集内没有解，因此Δ=a2-16<0,所以-4<a<4.故命题q为真命题时-4<a<4. 9分
∵{a|a≥5或a≤0}∩{a|-4<a<4}={a|-4<a≤0}，
∴a的取值范围是-4<a≤0. 14分
【考点】本题考查了真值表的运用
点评：先确定简单命题与复合命题的真假，再由命题的真假划分参数的范围
4.（1）已知，求函数的最大值和最小值；
（2）要使函数在上f (x)恒成立，求a的取值范围.
【答案】（1），；（2）
【解析】（1）由 2分
令 3分
5分
7分
（2）分离参数得 9分
换元得： 11分
得： 14分
【考点】本题考查了指数函数及一元二次函数的最值问题
点评：利用函数的单调性确定其值域是高考热点，关键在于发现函数的单调性
5.设某市现有从事第二产业人员100万人，平均每人每年创造产值a万元(a为正常数),现在决定从中分流x万人去加强第三产业。

分流后，继续从事第二产业的人员平均每人每年创造产值可增加2x%（0<x<100）。

而分流出的从事第三产业的人员，平均每人每年可创造产值1.2a万元。

（1）若要保证第二产业的产值不减少，求x的取值范围；
（2）在（1）的条件下，问应分流出多少人，才能使该市第二、三产业的总产值增加最多？
【答案】（1）（2）应分流出50万人才能使该市第二、三产业的总产值增加最多
【解析】（1）由题意，得 4分
7分
（2）设该市第二、三产业的总产值增加万元，则
== 10分
∵时，单调递增，∴时， 14分
即应分流出50万人才能使该市第二、三产业的总产值增加最多 16分
【考点】本题考查了函数的实际运用
点评：在解决某些应用问题时，通常要用到一些函数模型，它们主要是：一次函数模型、
二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、幂函数模型、分式函数模型、分段函数模型等。

6.已知二次函数.
（1）若，试判断函数零点个数；
（2）是否存在，使同时满足以下条件
①对任意，且；
②对任意,都有。

若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。

（3）若对任意且，，试证明存在，
使成立。

【答案】（1）函数有两个零点。

（2）当时，同时满足条件①、②. （3）利用零点存
在性定理证明即可
【解析】（1）
当时，
函数有一个零点； 3分
当时，，函数有两个零点。

5分
（2）假设存在，由①知抛物线的对称轴为x＝－1，
∴即 7分
由②知对,都有
令得又因为恒成立，
，即，即
由得， 10分
当时，，
其顶点为（－1，0）满足条件①，又对,
都有，满足条件②.
∴存在，使同时满足条件①、②. .12分
（3）令，则
，
在内必有一个实根。

即，
使成立 18分
【考点】本题考查了函数的零点及恒成立问题
点评：①二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，也是高考热点，要深刻理解它们相互之间的关系，能用函数思想来研究方程和不等式，便是抓住了关键.②二次函数的图像形状、对称轴、顶点坐标、开口方向等是处理二次函数问题的重要依据.。