2021届高三数学一轮复习《不等式》教学讲义

不等式
一、内容和内容解析 1.内容
等式与不等式的性质；一元二次不等式的解法及其应用；基本不等式及其应用
2.内容解析
相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系，是构建方程、不等式的基础.本单元的学习，可以帮助学生通过类比，理解等式和不等式的共性与差异,掌握基本不等式.
用函数理解方程和不等式是数学的基本思想方法.本单元的学习，可以帮助学生用一元二次函数认识一元二次方程和一元二次不等式.通过梳理初中数学的相关内容，理解函数、方程和不等式之间的联系，体会数学的整体性.
结合以上分析，确定本节课的教学重点：不等式性质的准确应用解决比较大小等实际问题，一元二次不等式的解法，基本不等式的应用.
二、目标和目标解析 1.目标
（1）不等关系与不等式的性质
梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质. （2）从函数观点看一元二次不等式
①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义；能够借助一元二次函数求解一元二次不等式；并能用集合表示一元二次不等式的解集.
②借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系 （3）基本不等式
(,0)2
a b
a b +≤
≥.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的求
最大值或最小值的问题.
达成上述目标的标志是：
（1）能类比相等关系理解不等式的性质，掌握不等式性质解决具体问题.
（2）能通过具体实例的归纳与概括得到用函数方法求一元二次不等式解集的基本过程，能利用一元二次不等式解决一些实际问题，提升数学运算素养.
（3）知道基本不等式的内容，明确基本不等式的几何意义；会利用不等式的性质证明基本不等式.结合具体实例，明确基本不等式的使用条件和注意事项，能用基本不等式能模型识别和理解实际问题，能用基本不等式求最大值或最小值；在解决具体实际问题的过程中，体会基本不等式的作用，提升数学运算、数学建模等核心素养.
三、教学问题诊断分析
在相等关系与不等关系的教学中，应引导学生通过类比学过的等式与不等式的性质，进一步探索等式与不等式的共性与差异.
在从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式的教学中，可以先以讨论具体的一元二次函数变化情况为情境，引导学生发现一元二次函数与一元二次方程的关系，引出一元二次不等式概念；然后进一步引导学生探索一般的一元二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系，归纳总结出用一元二次函数解一元二次不等式的程序.
在利用基本不等式研究最值问题时，学生容易出现忽视使用条件，不验证等号是否成立，甚至没有确认和或积为定值就求最值等问题，这也是学生思维不够严谨的表现.
教学中，要根据内容的定位和教育价值，关注数学学科核心素养的培养.要让学生逐渐养成借助直观理解概念，进行逻辑推理的思维习惯，以及独立思考、合作交流的学习习惯，引导学生感悟高中阶段数学课程的特征，适应高中阶段的数学学习.
本节课的教学难点是：不等式性质的应用及实际应用问题；含参数一元二次不等式不等式的解法及分类讨论思想的使用；一元二次不等式恒成立问题的解决；基本不等式在求最值问题中的各类变式应用.
四、教学过程设计
(一)复习导入 1．本单元主要知识
通过展示本单元主要知识，让学生对知识以及之间的联系有整体认知，突出本单元复习重点.
2.本单元学习方法提示
不等关系和相等关系一样广泛存在于现实世界、日常生活和数学问题之中.在本节复习中同学们要利用好类比的方法，类比等式性质理解不等式性质，类比方程研究不等式.
不等式是解决其他数学知识的重要工具.在函数与导数、方程、数列、向量、解析几何、立体几何等章节的证明、求取参数范围（最值）问题中应用广泛，同学们在学习中要注意体会知识与方法之间的普遍联系.
（二）知识梳理与典型例题分析 1.不等关系与不等式
1.1回忆复习不等式相关的概念和主干知识 1.1.1两个实数比较大小的方法
(1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧
a －
b >0⇔a >b a －b ＝0⇔a ＝b a －b <0⇔a <b (a ，b ∈R ) (2)作商法⎩⎪⎨⎪
⎧
a
b
>1⇔a >b a
b ＝1⇔a ＝b
a
b <1⇔a <b
(a ∈R ，b >0)
1.1.2不等式的基本性质
师生活动：
学生类比实数的性质逐个学习、理解、记忆不等式的性质，教师提示在掌握不等式性质时要注意条件的准确性，也要注意性质使用中的充分与必要性.
1.2典型例题讲解
例1-1 讲解
下列命题中正确的是( )
(A)若a >b ，则ac 2>bc 2 (B)若a >b ，c <d ，则a c >b
d
(C)若a >b ，c >d ，则a －c >b －d (D)若ab >0，a >b ，则1a <1
b
师生活动：学生根据所学不等式性质独立思考，分享解决方法，教师总结此类问题常见方法. 设计意图：强化不等式性质的应用，对于采用特殊值法的学生给予肯定的同时提示要注意把握挖掘问题本质，基础方法与解题技巧相结合.另外教师通过此题强调“作差比较法”的思想及其基础工具作用. 例1-2 讲解
若b <a <0，则下列不等式：①|a |>|b |；②a ＋b <ab ；③a 2
b <2a －b 中，正确的不等式有( )
(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个
师生活动：学生根据所学不等式性质独立完成，教师总结强调作差法在问题③起到的转化作用.
设计意图：此类型属于重要考查知识点，前两个选项易于判断，设置此题主要是承接上一道例题，让学生体会在解决略复杂形式不等关系时，作差法的作用，体会解决此类问题时蕴含的转化思想.
此处安排即时练习1-1
若α，β满足－π2<α<β<π
2，则2α－β的取值范围是( )
(A)－π<2α－β<0 (B)－π<2α－β<π (C)－3π2<2α－β<π
2
(D)0<2α－β<π
设计意图：帮助学生在解决实际问题中理解应用不等式的同向可加性，同时这又是在后续三角函数章节复习中常见类型问题，为其复习做好铺垫的同时，让学生感受不等式与其他知识的联系以及其工具性作用.
随后安排即时练习1-2
已知a ，b ，c ，d 为实数，则“a >b 且c >d ”是“ac ＋bd >bc ＋ad ”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
设计意图：将上一讲中的充分必要性判断与不等式性质结合，温故知新，让学生感受知识间的联系以及不等式的工具性作用.
2.一元二次不等式的解集
2.1回忆复习主干知识
二次函数角度一元二次不等式的解法
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数
y＝ax2＋bx＋c (a>0)
的图象
方程ax2＋bx＋c＝0
(a>0)的根有两相异实根
x1，x2(x1<x2)
有两相等实根
x1＝x2＝－
b
2a
没有实数根
ax2＋bx＋c>0 (a>0)
的解集{x|x<x1或x>x2}
⎩
⎨
⎧
⎭
⎬
⎫
x⎪⎪x≠－
b
2a
{x|x∈R}
ax2＋bx＋c<0 (a>0)
的解集
{x|x1< x<x2} ∅∅
2.2典型例题讲解
例2-1 讲解
y＝log2(3x2－2x－2)的定义域是________________．
师生活动：教师帮助学生回忆对数函数的定义域条件，而后学生自主练习一元二次不等式的求解.
设计意图：考虑高三复习的特点，以及学生在高一学习对数函数时的学情，采用此题进行解一元二次不等式方法的巩固训练，本题中不等式所对应的一元二次方程需要使用公式法求
解，让学生在最为一般的情况下体会一元二次不等式的解法，避免学生形成思维定势认为一定可以通过十字相乘法进行因式分解. 例2-2 讲解
解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a >0)．
师生活动：引导学生观察参数给求解不等式带来的影响，教师对分类讨论进行示范讲解. 设计意图：考虑学生在难点问题上的接受度，设置较为简单的含参不等式求解问题，重点放在讨论中各分类情况的形成原因和解决办法，帮助学生抓住观察分析此类问题的要点，形成讨论中对开口方向、判别式、根的大小关系的整体把握. 例2-3 讲解
已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<5－m 恒成立，求实数m 的取值范围．
师生活动： 学生独立思考交流做法，教师总结构造函数和参变量分离两类典型办法. 设计意图：此题是恒成立问题中较为基础典型的类型，有利于学生避开繁杂的计算，突出思想方法的主题.本题安排两种方法，意在帮助学生总结梳理解决此类问题的两种典型思路.
3. 基本不等式及其应用 3.1回忆复习主干知识
3.1.1 基本不等式：ab ≤a ＋b 2
(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 3.1.2算术平均数与几何平均数
设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b
2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个
正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
3.1.3利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则
(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 2
4.(简记：和定积最大)
3.1.4几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋a
b ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛
⎭⎫a ＋b 22
(a ，b ∈R )．
(4)a 2＋b 22≥
⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .
3.2典型例题讲解
例3-1 讲解
(1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________． (2)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5
的最大值为________．
师生活动：学生独立完成，教师强调在基本不等式求最值的过程中的条件要求，即“一正、二定、三相等”.
设计意图： 从较为简单的形式出发，两个问题分别求“和”与“积”形式的最值，引导学生学会观察如何构造定值，进而启发思路，对已知形式进行变形拼凑.第（2）小题略增加难度，引导学生理解当使用条件“一正”不满足时如何进行转化.
例3-2 讲解
若正数m ，n 满足2m ＋n ＝1，则1m ＋1
n 的最小值为( )
(A)3＋2 2 (B)3＋ 2 (C)2＋2 2
(D)3
师生活动：组织学生对典型错误方法进行剖析，找到问题形成的原因，引导学生发现转化代换的思路.
设计意图：帮助学生在正误方法对照后，避免出现类似错误思路，形成正确方法，提高学生转化化归思想方法的应用能力.
例3-3 讲解
已知a >b >0，那么a 2＋
1
b (a －b )
的最小值为________．
师生活动：教师引导学生观察()b a b -部分拼凑定值的可能，后由学生独立尝试解决.
设计意图：和例题3-2构成一个整体性问题，帮助学生明确在解题过程中多次使用不等式的注意事项和等号成立条件的研判方法，扩展学生的解题思路.
（三）知识与思想方法总结
作差法是比较“数”和“式”大小的基础方法.不等式性质在记忆和使用的过程中要注意条件前提.
在复习一元二次不等式解法时要注意和函数、方程知识的联系与转化.在求解含有参数的不等式时，要注意分类讨论思想的严密性.
基本不等式是构造不等关系和求取最值问题的重要工具，要注意在使用过程中的每个阶段都要检验是否符合使用要求，特别是等号成立的条件.
（四）课后作业与解答
附件1：《不等式》课后练习 附件2：本节作业参考答案及详解
五、目标检测设计
1. 已知a ＋b >0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1
b 的大小关系是________．
答案
a b 2＋b a 2≥1a ＋1b
解析
a b 2＋b a 2－⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a
2 ＝(a －b )·⎝⎛⎭⎫1b 2－1a 2＝(a ＋b )(a －b )2
a 2
b 2
. ∵a ＋b >0，(a －b )2≥0， ∴(a ＋b )(a －b )2
a 2
b 2≥0.
∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b
. 设计意图：考查学生对作差法的掌握情况 2. 解不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R )． 解 原不等式可化为12x 2－ax －a 2>0， 即(4x ＋a )(3x －a )>0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0， 解得x 1＝－a 4，x 2＝a
3
.
当a >0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－a 4∪⎝⎛⎭
⎫a
3，＋∞；
试卷第11页，总11页 当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；
当a <0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，a 3∪⎝⎛⎭
⎫－a 4，＋∞. 设计意图：考查学生在求解含参不等式过程中的分类讨论能力
3. 设x >0，y >0，x ＋2y ＝4，则(x ＋1)(2y ＋1)xy
的最小值为________． 答案 92
解析 (x ＋1)(2y ＋1)xy ＝2xy ＋x ＋2y ＋1xy
＝2xy ＋5xy ＝2＋5xy
. ∵x >0，y >0且x ＋2y ＝4，
∴4≥22xy (当且仅当x ＝2，y ＝1时取等号)，
∴2xy ≤4，∴1xy ≥12
， ∴2＋5xy ≥2＋52＝92
. 设计意图：考查学生综合运用基本不等式求最值能力和数学运算和逻辑推理素养。