2021-2022年高二上学期第二次段考(数学理)

图1
2021年高二上学期第二次段考（数学理）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是符合题目要求的. 1．双曲线的焦点坐标为（ ) A ． B ． C ． D ． 2．不等式的解集是
A ．
B ．
C ．
D ． 3．函数的一个单调递增区间为 A ． B ． C ． D ．
4．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（ ） A ．－2
B ．2
C ．－4
D ．4
5．已知向量，，若，则（ ）
A ．
B ．
C ．1
D ．3
6．如图1所示，是关于判断闰年的流程图，则以下年份 是闰年的为 （ ） A ．1996年 B ．xx 年 C ．xx 年 D ．2100年 7．已知，是平面，，是直线，给出下列命题 ①若，，则．
②若，，，，则．
③如果、n 是异面直线，那么相交． ④若，∥，且，则∥且∥． 其中正确命题的个数是（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1 8．椭圆上一点到左焦点的距离是2，是的中点，为坐标原点，则（ ） A .2 B. 3 C .10 D. 4 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分。

9．某校对全校男女学生共1600名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生人数应是 人．
10．已知等比数列的前三项依次为，，，则 ．
11．抛物线上一点到焦点的距离为3，则点的横坐标 ． 12．命题p ：的否定是
13． 设22)1(,300
5,y x x y x y x y x ++⎪⎩
⎪⎨⎧≤≥+≥+-则满足约束条件的最大值为 ————
14.以点为圆心、双曲线的渐近线为切线的圆的标准方程是____ __.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程及 演算步骤.
15（本小题满分12分）在△中，角所对的边分别为，已知，，． （1）求的值； （2）求的值．
16（本小题满分12分）已知点、，过、作两条互相垂直的直线和，求和的交点的轨迹方程.
17.（本小题满分14分）
如图,已知正方形和矩形所在的平面互相垂直,,,是线段的中点. (Ⅰ)求三棱锥的体积; (Ⅱ)求证://平面;
(Ⅲ)求异面直线与所成的角.
18．(本小题满分14分)
已知中心在坐标原点的椭圆经过点，且点为其右焦点。

（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在平行于的直线，使得直线与椭圆有公共点，且直线与的距离等于4？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由。

19. (本小题满分14分)
M
F
E
D C
B
A
如图,椭圆的中心在原点,为椭圆的左焦点, 为椭圆的一个顶点,过点作与垂直的直线交轴于点, 且椭圆的长半轴长和短半轴长是关于的方程(其中为半焦距)的两个根.
(1)求椭圆的离心率; (2)经过、、三点的圆与
直线相切，试求椭圆的方程.
20．（本小题满分14分）
已知函数
(1)当时, 证明: 不等式恒成立;
(2)若数列满足,证明数列是等比数列,并求出数列、的通项公式； (3)在(2)的条件下，若，证明：.
高二第一学期第二次段考数学（理）答题卷
一、 选择题(每题5分，共40分)
二． 填空题(每题5分，共30分)
9. 10. 11.
12． 13． 14．
姓名__________________ 试室_____________ 座位号___________
三、解答题：（本大题共6小题，满分80分。

解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

）
15.（本小题满分12分）
16. （本小题满分12分）
17. （本小题满分14分）
E
M
F
C B
18. （本小题满分14分）
19.（本小题满分14分）
20（本小题满分14分）
高二第一学期第二次段考
数学（理科）参考答案
一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．
二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共7小题，每小题5分，满分30分．9．760 10．11．
12．13．4 14．15．3
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15（本小题满分12分）
解：（1）由余弦定理，，………………………………………2分
得，…………………………………………………4分
．……………………………………………………………………………6分
（2）方法1：由余弦定理，得，………………………………8分
，………………………10分
∵是的内角，
∴．………………………………………………………12分
方法2：∵，且是的内角，
∴．………………………………………………………8分
根据正弦定理，，……………………………………………………10分 得． ……………………………………………12分 16（本小题满分12分）
解：由平面几何知识可知，当为直角三角形时，点的轨迹是以为直径的圆.此圆的圆心即为的中点，半径为，方程为. 故的轨迹方程为.
17．（本小题满分14分）
(Ⅰ) 三棱锥的体积为 ………4分 (Ⅱ) 证明：连接, ,连接….……..5分
为中点,且为巨型,所以
………6分 四边形为平行四边形,
, ………7分
………9分
(Ⅲ)过点作,则为异面直线与所成的角, ………10分
为中点,所以点为线段的中点,, ………11分 连接,过作为的中点
,
11,222
GH CE HA AG ∴===⇒=, ………13分
在中,, ,,异面直线与所
成的角
为 ………14分 18（本小题满分14分） 解：（1）依题意，可设椭圆的方程为，且可知左焦点为 ，从而有，解得 ………4分
又，所以，故椭圆的方程为 ………6分
（2）假设存在符合题意的直线，其方程为………7分 由得，………9分
因为直线与椭圆有公共点，所以有， 解得………10分
另一方面，由直线与的距离为4可得，从而………12分 由于，所以符合题意的直线不存在。

………14分 19．（本小题满分14分） 解 20. (本题满分14分)
(1)依题意，由根与系数的关系得， ，∴， 又∵， ∴，解得；
（直接求出亦可）.
……4分 (2)由(1)知,
M
F
E
D
C
B
A
O
G H
令, 则有, 从而,
∴直线的方程为,
点坐标为. ……8分 ∵△是直角三角形, ∴圆心为,半径为,
……10分 圆心到直线的距离为 ，
解得， ……12分 所以椭圆的方程为
.……14分
20．(1)方法一:∵, ∴
而时,∴时，
∴当时，恒成立. ………4分 方法二:令,
故是定义域)上的减函数,∴当时,恒成立. 即当时,恒成立.∴当时，恒成立. ………4分 (2)
∴………5分 ∵∴ ,……8分 又
∴是首项为,公比为的等比数列,其通项公式为.………9分 又∴………10分 (3)
11111112212111
,2121221212121
n n n n n n n n n n n n n n c a a b +++++++=⋅⋅=⨯⨯=⨯=-++++++……12分
∴12312231111
(
)()21212121
n c c c c ++++=-+-++++ ………14分
实用文档。