2014-2015学年山西大学附属中学高一上学期期中考试数学试卷(带解析)

2014-2015学年山西大学附属中学高一上学期期中考试数学试卷（带
解析）
一、选择题
1.设全集，集合，则（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：根据所给全集，注意表示正整数集，再由集合
求出
，根据补集定义求出.
考点：1.集合的交集、并集、补集运算； 2.运算工具（韦恩图、数轴、平面直角坐标系）.
2.函数的定义域为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：首先考虑使函数解析式有意义的要求
考点:1.函数的定义域； 2.对数的定义；
3.已知且，下列四组函数中表示相等函数的是（）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】B
【解析】
试题分析：两个函数解析式表示同一个函数要求定义域相同且对应法则相同。

中的函数定义域要求，函数定义域要求，由于定义域不同，所以不
是同一函数；中的函数定义域要求，而函数定义域为，由于定义域不同，所以不是同一函数；中函数的定义域要求，而函数的定义
域要求，由于定义域不同，所以不是同一函数；只有中两个函数定义域均为，且满足要求。

考点：1.函数的定义域； 2.对数的定义； 3.对数运算公式
4.下列函数中值域为的是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】中的函数，由于，所以函数值域为，中函数值域为，中函数，由于，；故选择.
试题分析：
考点：1.函数的值域； 2.指数函数图象与性质； 3.对勾函数图象；
5.已知幂函数的图像过点,则的值为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：由于幂函数的图象经过点，则，则，
则
考点：1.幂函数的定义； 2.指数、对数运算； 3.换底公式；
6.在下列区间中，函数的零点所在的区间为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：可采用图象法解题，先画出的图象，再画出的图象，图象交点的横坐标在
内，下面进行细致验证：
当时，；当时，，，；则;
考点：1.指数函数图象与性质； 2.零点的概念及零点范围的求法； 3.数形结合思想解题；
7.三个数的大小关系为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
试题分析：借助指数函数的图象，由于函数在上为减函数，，可知考查，在由对数函数和的图象考查，得
；
考点：指数函数图象和性质； 2.对数函数图象和性质；
8.当，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：利用数形结合思想解题，先画出在的图象（抛物线的一部分），由
于不等
式恒成立，所以只能，而且时，，则，所以.
考点：1.对数函数图象与性质； 2.二次函数图象； 2.零点的概念及零点范围的求法
9.若函数为定义在上的奇函数，且在为增函数，又，则不等式
的解集为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
试题分析：因为不等式可化为去解。

首先根据函数的奇偶
性与单调性模拟函数图象，在为增函数，又，即过函数为定义在
上的奇函数，所以在为减函数，且过点，有，画出的模拟图象，从图中可以看出时，，当时，，此时的解为；当时，，当时，，此时的解为；得到不等式的解为：或
考点：1.函数的奇偶性与单调性； 2.模拟函数图象； 3.数形结合思想解题； 4.解不等式
二、填空题
1.已知函数,若，则（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：[法一]由于已知，求，本题可先考虑函数的奇偶性，由于
函数的定义域为，，是奇函数；
{法二}依自变量值求函数值，由已知，
考点：1.判断函数的奇偶性； 2.已知自变量求函数值； 3.指数运算
2.函数恒过定点，其坐标为．
【答案】
【解析】
试题分析：根据对数函数性质，的图象过定点，函数
中，
无论底数取范围内任意值，，故时，，过定点
考点：对数函数图象与性质
3.设，则的值为．
【答案】2
【解析】
试题分析：因为，
考点：1.分段函数求值；
4.已知函数，若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是．
【答案】
【解析】
试题分析：由于函数是偶函数，且在上为减函数，在上为增函数，当时，
取最小值，若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围为.
考点：1.指数函数图象和性质； 2.对函数的图象和性质的理解； 3.函数的奇偶性和单调性；4.数形
结合思想
5.已知函数满足：，，则：
= ．
【答案】
【解析】
试题分析：,令,,
=
考点：抽象函数赋值法
6.给出下列四个命题：
①函数为奇函数；
②奇函数的图像一定通过直角坐标系的原点；
③函数的值域是；
④若函数的定义域为，则函数的定义域为；
⑤函数的单调递增区间是．
其中正确命题的序号是．（填上所有正确命题的序号）
【答案】①④⑤
【解析】
试题分析：?函数的定义域得：或；当或时，，函数是奇函数；②奇函数的图象不一定通过直角坐标系的原点，如；
③由于，函数的值域是；④若函数的定义域为，说明
则，而，得，函数的定义域为是正确的；⑤函数的定义域为，在上是增函数，在上是增函数，
单调递增区间是正确．选①④⑤
考点：1.函数的奇偶性； 2.函数的定义域和值域； 3.函数的单调性；
三、解答题
1.（本小题满分8分）计算：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）+．
【答案】（Ⅰ）（2）
【解析】
试题分析：第一个小题是指数运算，需要使用指数运算公式；第二个小题对数计算，需要使
用对数运算公式，对数运算法则及对数换底公式；
试题解析：（Ⅰ）
=
=
=
=
（Ⅱ）[法一]
=
=
==
[法二]
=
=
=
=
=
考点：1指数运算公式； 2.指数运算法则； 3.对数运算公式； 4.对数运算法则； 5.对数换底公式
2.（本小题满分8分）已知集合．
（Ⅰ）当时，求集合；
（Ⅱ）若，且，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
试题分析：第一步只需解一元二次不等式，第二步先解含参数一元二次不等式，然后按子集要求用数轴把集合和区间表示在数轴上，根据子集要求列出不等式，解不等式组，
找出交集，注意这个前提即可。

试题解析：（Ⅰ）时，解不等式得：，则；（Ⅱ）时，不等式的解为：；
，；故实数的取值范围为
考点：1.解一元二次不等式； 2.子集的定义；
3.（本小题满分8分）已知二次函数在区间上有最大值，求实数的值．
【答案】
【解析】
试题分析：对二次函数先配方，找出对称轴。

针对对称轴在区间的不同位置，研究函数的最大值。

试题解析：又已知二次函数的图象是开口向下，对称轴为
的抛物线，展开讨论。

当时，在上是减函数，时，取得最大值；
当时，在上是增函数，在上是减函数，时，取得最大值为，，，不满足，故舍去；
当时，在上是增函数，时，取得最大值
综上所述：
考点：二次函数的最大值和最小值； 2.分类讨论思想解题；
4.（本小题满分8分）已知函数是定义在上的函数．
（Ⅰ）用定义法证明函数在上是增函数；
（Ⅱ）解不等式．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
【解析】
试题分析：第一步依定义证明函数的单调性，要按着步骤：取值→作差→变形→短号的顺序紧扣定义去证
明；第二步由于首先应明确函数是奇函数，然后借助第一步证明的结论：函
数在
上是增函数；把不等式先转化为，再化为，
利用函数的单调性得：，另外注意函数的定义域解不等式组找交集即可。

试题解析：（Ⅰ）证明：对于任意的，且，则
，，
．，．
∴函数在上是增函数．
（2）由已知及（Ⅰ）知，是奇函数且在上递增，
∴不等式的解集为．
考点：1.函数的奇偶性与单调性定义； 2.利用函数的单调性解不等式
5.（本小题满分8分）已知函数是偶函数．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设,若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
试题分析：第一步按偶函数定义的要求求出，第二步利用化归思想，把两图象有一个交点
问题转化为方程有一个根的问题，然后用换元法，把问题转化为一元二次方程有一个正根问
题，分类探究即可；
试题解析：（Ⅰ）由于函数是上的偶函数，；
,
即：, 对一切恒成立；
（Ⅱ）和的图象有且只有一个公共点，只需方程有且只有一个实根, 化简方程:,即：方程有且只有一个实根，令,则方程有且只有一个正根,
①,不合题意;
②若或；若，则,不合题意；若 ,符合题意
③若方程一个正根与一个负根,即
综上所述：实数的取值范围是
考点：1.函数的奇偶性； 2.化归思想，把两图象有一个交点问题转化为方程有一个根的问题；
3.换元法;
4.一元二次方程的根的研究；。