一道中考尺规作图题的一题多解及探究

2020年第6期故学敉学6-19
一道中考尺规作图题的一题多解及探究
孙喜军
(山东省武城县第二中学，山东德州253300)
1试题及出处
本题来源于山东省德州市2019年初中学 业水平考试数学试题第22题.
例题如图1，乙BPZ ) = 120。

，点冬C 分别
在射线
、
PZ )上，乙/M C = 30。

，
= 2万.
B
A
P
图1
(1) 用尺规在图中作一段劣弧，使得它在
4、C 两点分别与射线P B 和PZ >相切.要求：写
出作法，并保留作图痕迹；
(2) 根据（1)的作法,结合已有条件，请写 出已知和求证，并证明；
(3) 求所得的劣弧与线段P /l 、P C 围成的 封闭图形的面积.解（参考答案）：（1)如图2,过点4、C 分 别作P B 、
的垂线，它们相交于点0，然后以
点0为圆心以的长为半径作即可•
(2)已知：如图2, 尸D = 120。

，点4、C
分别在射线P B 、
上，乙/M C = 30。

，/IC =
2万，过点4、C 分别作P S 、P D 的垂线，它们相 交于点〇,以似为半径作〇〇.
求证：洲、P C 为〇0的切线.证明：因为乙= 120。

，乙
= 30。

，
所以乙P C 4 = 30。

，P/l =P C .
连结O P ，因为丄P /l ，O C 丄P C ,所以 乙P /10 =乙P C O = 90。

，又因为O P = 0/5,所以 R t A P ^O ^ R t A P C O , tX 〇A = 〇C , P B ^
P C 为O 0的切线•
(3)因为乙(X 4C = ZOC/l = 90。

- 30。

= 60。

,所以A 04C 为等边三角形，因而04=/lC =
2W ,乙40C = 60。

.又因为O P 平分乙4P C ，所
/T 以乙/IPO = 60。

，A P = x 2# = 2.因此，劣弧
与线段/M 、P C 围成的封闭图形的面积= ^r a a iJ B A P c o - ^^a 〇c = 2x — x 273x 2-60 • -tt • (2V 3)2360=473 - 2tt .
2
试题评价
本题是一道综合性比较强的题目，涉及到 的考点内容主要有尺规作图、直线和圆的位置 关系、切线的判定与性质、扇形面积等.直尺、 圆规是学生作图常用的基本工具，尺规作图也 是基本技能操作之一，但更高的要求是要理解 操作的依据,会利用依据进行严谨地证明.本 题考查的就是技能中所蕴含的数学原理，并对 原理进行应用.由于本题第一小题的作法会有 不同，第二小题的已知条件也会不同，因此证
明过程也会不同.本题还注重了对基础知识和 基本活动经验的考查.对于基础知识，主要考 查对知识的理解和应用，又考查了知识的生成 过程以及知识之间的内在联系.对于基本活动 经验，考查的是在阅读、观察、实验、计算、推理 验证等活动过程中所积累的学习与应用基础 知识、基本技能、
基本思想方法的经验和思维
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的经验，另外本题还注重了解法的多样性和几 种不同解法效率的差异性.
3试题多解、优解挖掘
本题第一小题考查了尺规作图和复杂作 图，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行 的作图，一般结合几何图形的性质和基本作图 方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图 形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作 图拆解成几个基本作图，逐步操作.
尺规作图题目近年来在各地中考中呈现 出越来越热的考查趋势,人教版初中数学教材 上涉及到的基本尺规作图有五种：①作一条线 段等于已知线段;②作已知角的平分线;③作 线段的垂直平分线;④作一个角等于已知角；
⑤过一点（点在直线上或直线外）作已知直线 的垂线.本题是一道开放性比较强的题目，作 图方法不唯一，综合起来主要用到以下几条线 中的两条或多条：①过点4作f l/5的垂线；
②过点C作D P的垂线;③作线段/1C的垂直平 分线;④作的平分线.
本题最简洁、直观的作法是：分别以点4、C为圆心，以线段4C的长为半径画弧,两弧在 乙BPZ)的内部相交于点0;然后以点0为圆 心，以ft4的长为半径画劣弧即为所求.但是这种作法相对比较隐蔽，不容易归纳发现. 在实际教学中我们可以做这样的试探性教学，先让学生在练习本上画出符合条件的〇〇,然 后由〇〇反过来找它满足的条件，进而归纳总 结出怎么作图才能满足这个条件.首先，由上 图可知〇0切S P于点〇0切£»P于点C，因为04丄Pfi，O C丄PZ)，可通过点4作仙的垂线，过点C作的垂线交于点0,然后以0 为圆心，为半径画劣弧，这是最容易归纳得 出的作法，即参考答案的作法.进一步探究，因为A M C为等腰三角形，乙= 30°, ZfiPD = 120。

，又 = A0C P= 90°,
所以 = A O C4 = 90。

- 30。

= 60。

，所以△(M C为等边三角形，这就出现了以为边长作一个等边三角形的模型，也就是上面所述 的最简洁、直观的作法.继续探究，因为丄
P B,O C丄O4=0C,所以，存0在乙的
平分线上，连结P O,则射线为ZLfiPD的平 分线.又A M C为等腰三角形，设/1C与P O交于点由三线合一可知P0丄从，如/ = C M，
所以P0是线段的垂直平分线，这样经过归
纳、总结，本题常用的作图方法可以有以下几
种.
方法一：分别以点4、C为圆心，以线段
的长为半径画弧，两弧在乙B W)的内部相
交于点〇;以点〇为圆心，以04的长为半径画
劣弧4C即为所求.
方法二：过点4、C分别作P S、PZ)的垂
线,它们相交于点〇,然后以〇为圆心，以线段
04的长为半径作〇〇即可（参考答案作法).
方法三：作乙的平分线和过点4垂直
于的直线（或过点C垂直于Z)P的直线）相
交于点〇,然后以点〇为圆心，以的长为半
径画劣弧即为所求.
方法四：作线段的垂直平分线（需证
明点P在该直线上）和过点4垂直于5P的直
线（或过点C垂直于的直线）相交于点0,
以点〇为圆心，以线段的长为半径画劣弧
M即为所求.
方法五：作乙份3/?的平分线在射线
上截取= 2P/1,然后以0为圆心以线段
的长为半径作劣弧即为所求.
4教学导向
新课程标准指出：“数学教学应根据具体
教学内容，从学生实际出发，创设有助于学生
自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思
考、探索、交流等方式获得数学的基本知识、基
本技能、基本思想、基本活动经验.”这就意味
着教师在教学中要对教学内容和学生用心研
究，恰当定位学生学习的出发点，以促进学生
的发展为终极目标.在今后的教学中，教师应
关注以下几个方面.
(1)注重数学学习观念，关注数学学科素 养的培养.数学学业水平考试是学习过程和学
习结果的并向考查，在学习中，要注重将学习过
程中产生的数学思想及时总结,培养良好的综
合能力和数学素养，以应对变化的数学题型.
(2)继续重视“四基”.新课程标准强调了 对学生的“四基”要求，教师在教学过程中不能
一味地侧重难题、偏题，而忽视基础.只有扎实
的基础，才能更好提升数学思想和数学能力，
即所谓的“万变不离其宗”，所以掌握“四基”是
2020年第6期故学轧学6-21 2019年高考上海卷第16题的解题探究
侯宝坤
(上海市向明中学，上海200020)
2019年高考已经落下帷幕，这一年又出现 了哪些饶有趣味的试题？学生在答题时的知 识呈现、方法选择和心理状态又有什么变化? 这些都会引起广大教师的探究热情.笔者以上 海卷选择题的压轴题为例谈谈这方面的体会.
试题：已知 tan a •tan^S = tan(a + ;S),有 下列两个结论：①存在a在第一象限在第三象限;②存在a在第二象限，yS在第四象限; 则.............................（）
(A)①②均正确；
(B)①②均错误；
(C)①正确②错误；
(D)①错误②正确•
1学生的思维再现
高考结束后，笔者利用学生参加毕业典礼 的时间找了 24个学生做了简单的访谈，其中选 对这道题的有19人，占79%，学生主要用计算 器验算得到正确答案，没有学生以代数运算和 逻辑推理分析得出准确答案.这就说明学生选 对答案，但可能并不懂这一题所涉及的知识和 方法.为此，笔者针对学生遇到的问题与学生 做了进一步的探讨，现扼要呈现如下.
师：请问错的同学，你的想法是什么？
生1:0：£卜|卜)6£(77，了7〇时，左 边为正，且a +召e (T7, 277)，所以右边也可以
r 非常有必要的.同时，有些题目的解法中注重 一题多解，题目更加灵活、开放，有利于提高学 生的发散思维和创新能力.
(3)更加重视教材资源的开发和利用•只 有把教材中的重要概念和内容、思想与方法真 正弄懂吃透，系统地整理归纳，才能使学生切 实掌握所学的知识与技能，并进一步使之系统取到正值，所以①对，同样②也对，选（A).
生2:我将式子变形为：tancctan卢（1-tan atanyS)= tan〇: + tan",也估计 tan a、tanjS 都可能是正的，同样选了（A).
生3:我认为①、②结构一样，都对或者都 错，代了一个tana = 1发现无解，所以①②都错，选（B).
另外几个错的学生主要与生1、2相似.
(虽然这些学生选错了，但也有估计的思想 和对对称结构的初步认知，这些都是合理的）师：做对的同学，除了用计算器计算外，当时你还冒出了哪些想法？
生4:我将式子变成：tanatan^S= tana +tan^发现太麻烦就直接用计算器1- tan atanp
了，用步长为1°算了许多值才敢选的（D).
生5:我没有用计算器，我代人了 tana =
f、1、W发现方程都没有解，代人tana =- 1
发现 tanyS =- 1 ±W，所以选了（D).
生6:我想将t a n表示为tan a的函数，然 后再求解的，发现无法分解因式就放弃了.
生7:我将原方程转化为：tan2atan2/3+ (1 - tan a)tan0 + tan a = 0，发现厶=(1-tan c〇2 - 4tan3a>0不会解！然后就用i+算器了•
化，活学活用.对教材的研究永远不过时、不落 伍，坚持源于教材、高于教材，深人挖掘教材例、习题的价值，恰当重组、改编、创造性地使 用教材，以发挥例、习题的最大价值，使之有效 地服务于教学.只有抓住教材，夯实基础，才能 保证中考基础知识不失分，也才能解决好考查 综合能力的“难题”和“压轴题。