高二数学培优辅导资料函数(二)

高二数学培优辅导资料 函数（二）
一，选择题 1.函数)2,(2
1
-∞-+=
在x ax y 上为增函数,则实数a 的取值范围是（） A.21->a B.21>a C.2
1
<
a D.2
1
-<a
2.已知函数0)(,)1,1(213)(00=--+=x f x a ax x f 使得上存在在,则a 的取值范围是（） A.5
1
1<<-a
B.51>a
C.1-<a 或5
1>a D.1-<a
3.设21,,x x R k ∈是方程0122
2=-+-k kx x 的两根,则2
2
21x x +的最小值为
（ ） A.－2
B.0
C.1
D.2
4、设函数2()21f x ax ax =+-对于满足13x <<的一切()0f x <，则a 的取值范围
是（ ） A 、10,
15⎡⎫⎪⎢⎣⎭
B 、(],0-∞
C 、()1,00,15⎛⎫
-∞ ⎪⎝⎭ D 、
1,15⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭
5. 已知函数
2
24)(2
-+-=x x x f ，则它是（）
A ．偶函数
B ．既是奇函数又是偶函数
C ．奇函数
D ．既不是奇函数又不是偶函数 6．函数x
x x
x x x f cos 22)4sin(2)(2
2++++
=
π
的最大与最小值分别为M, N ， 则
( )
A 、4=-N M
B 、4=+N M
C 、2=-N M
D 、2=+N M
7. 对于任意实数x ，若不等式34(0)x x a a -+->>恒成立，则实数a 应满足（）
A. 01a <<
B. 01a <≤
C. 1a >
D. 1a ≥ 8
设2(0)
()(1)(0)
x a x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩，若()f x x =有且仅有两个实数解，则实数a 的取值
范围是（ ）
A ．(),2-∞
B ．[)1,2
C ．[)1,+∞
D ．(],1-∞ 9．设函数,0
x ,10x ,1)x (f ⎩⎨⎧<>-= 则
)b a (2)
b a (f )b a ()b a (≠-⋅--+ 的值为 （ ） A ．a B ．b C ．a, b 中较小的数 D ．a, b 中
较大的数
10.如果2
3
()1log 2log 9log 64x x x f x =-+-，则使()0f x <的x 的取值范围为（）
A. 01x <<
B. 8
13x << C. 1x <<+∞ D.
8
3
x <<+∞ 11.函数y=f(x+1)与y=f(1－x)的图象关于( )
A.y 轴对称
B.原点对称
C.直线x=1对称
D.关于y 轴对称且关于直线x=1对称 12.函数
f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>≤-)
1|(|||)
1|(|12x x x x ，如果方程
f(x)=a 有且只有一个实根，
那么a 满足( )
A.a<0
B.0≤a<1
C.a=1
D.a>1 13．如果10
0,0,log log 3
x y x y y x >>+=
， 144xy =，那么x y +的值是（ ）
A
B
C
D 14. 设函数)10()(||≠>=-a a a x f x 且，f （－2）＝9，则 （ ） A. f （－2）＞f （－1） B. f （－1）＞f （－2） C. f （1）＞f （2） D. f （－2）＞f （2） 15
2007=的正整数解(,)x y 的组数是（ ） A ．1组 B. 2 组 C. 4组 D. 8组
16．.已知⎪⎩
⎪⎨⎧≤+≥-≥03030
y x y x y ,则
x 2+y 2
的最大值是
17. 若
2|1||1|2
x ax -≤+--≤对x ∈R 恒成立，则实数a 的个数为
（）
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）无数个 解: 只有1a =±时，原不等式恒成立. 选C. 18．函数4218
y x x =--+的部分图象是（）
A
B
C D 19、设)(n f 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如
14321)123(222=++=f ，记)()(1n f n f =，))(()(1n f f n f k k =+，，⋯=,3,2,1k 则
)2006(2006f ＝（ ）
A.20
B. 4
C. 42
D. 145
二，填空题
20．对于任意实数t ，不等式212sin 2
1
2()2
t t x -+
≥恒成立，则x 的取值范围是__________。

21．若
2,0()1,00,0x x f x x x +>⎧⎪
==⎨⎪<⎩
，则[()]f f x 的表达式为_____________。

22．设1()()1x f x f x x
=
=
+，且1()[()]n n f x f f x -=，则
12(1)(2)()(1)(2)(1)n f f f n f f f +++++++ =____________。

23
．函数y =____________。

24．若函数y =
()f x 对于一切实数a ，b
都满足()()()f a b f a f b +=+，且
(1)f =8，则1
()2
f -=_________。

25．设222
12()()()()n f x x x x x x x =-+-++- ，其中1x ，2x ，……，n x 是常数，
当x =a 时，()f x 取得最小值，则a =______________。

26．若x =1(mod2)(表示x 是一个正整数，且被2除余1，以下同)，
x =3(mod5),x =7(mod9),则最小的x 为_________。

27．若二次函数222y ax x a =+-，且|a |≤1，|x |≤1，则|y |的最大值为______。

28
．y x =-的最小值是_____________。

29
．若()f x =22()()33f x f x -+--=________。

30．若51()1010x x k f x -++=-为奇函数，那么当x ∈［－lg 2，lg 3］时，y 的取值范围是__________。

31．若实数x ，y 满足方程2265x xy y +-=，22u x y =+，则u 的取值范围是_____。

32．函数y =x ______________。

33．若函数()f x 的定义域为R ，且对于x 的任意值都有
(2005)(2004)(2006)f x f x f x +=+++，
则函数()f x 的周期为__________。

34．当x =_____时，函数y =_______。

三解答题 35．已知函数1
1()2x f x -=
，数列{}n a 的前n 项和n S =6－2n a +(1)f n -。

试求
数列{}n a 的通项公式n a 与前n 项和n S 。

36.已知函数
.2
222)(x
x x
x x f --+-= （1）求函数的定义域和值域；
（2）试问函数f(x)的图象上是否存在两个不同的点A,B,使直线
AB 恰好与y 轴垂直,若存在,求出A,B 两点的坐标；若不存在,说明理由并加以证明.
37、对于函数()()y f x x D =
∈，若同时满足下列条件：
（1）()f x 在D 内是单调函数：（2）存在区间[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域为[],a b ，那么()y f x =
叫做闭函数。

（1）判断函数[]2()2(1,3)f x x x x =-+∈是否为闭函数，并说明理由。

（2）求函数3y x =-符合条件的区间[],a b 。

（3）若
y k =k 的取值范围。

1 D
2 C
3 C
4 D
5 C
6 D
7 A
8 A
9 D 10 B
解：显然0x >，且1x ≠。

23()1log 2log 9log 64x x x f x =-+-1l o g 2l o g x x x =-+-3
l o g 8
x x =。

要使()0f x <。

当1x >时，318x <，即813x <<；当01x <<时，3
18
x >，此时无解。

由此可得， 使()0f x <的x 的取值范围为813
x <<。

11.解析：根据对称关系验证D 正确，选D. 答案：D
12，解析：由图知a=1时，图象只有一个交点，故选C. 答案：C 13，B 14，A 15，D 16，9 17，C 18，A
19，D 解： 将40)2006(=f 记做402006→，于是有
→→→→→→→→→→→164204214589583716402006
从16开始，n f 是周期为8的周期数列。

故 20．5[2,2]()6
6k k k Z π
πππ++
∈。

提示：由条件知只须21
2sin 2
t t x -+≥-恒成立。

但221112(1)222t t t -+=--≥-，故只须－sin x ≤－12
，即sin x ≥1
2
，从而
得。

21．
4,0[()]3,01,0x x f f x x x +>⎧⎪
==⎨⎪<⎩。

22．n ．提示：1212111
(1),(2),,(),(1),(1),,(1)2
3
1231
n n f f f n f f f n n ===
===
++ ∴()(1)1n f n f +=。

23
．。

提示：先求定义域为［0，,206］，
又
2(2006)y x x =-++
4012。

24．－4。

提示：111
(00)(0)(0)(0)0,(1)()()8()4222
f f f f f f f f +=
+⇒==+=⇒=
1111
()()(0)0()()42222
f f f f f -+==⇒-==-。

(注：y =()f x 是以y =8x 作代表函数的)。

25．
12n
x x x n
+++ 。

提示：22221212()2()()n n f x nx x x x x x x x =-+++++++ 。

26。

提示：由题设知x =5n +3=9m +7，其中n 、m ∈N ，则94
5
m n +=
，将m =0,1，2,3
代入上式得到n 的值均不是自然数，即m =0,1，2,3均不
满足题意。

当m =4时n =8，则x =43。

27。

提示：当|a |≤1时，|y |=222|22||(2)2||(2)||2|ax x a a x x a x x +-=-+≤-+≤222|2|2||2||2||(||1)3x x x x x -+=-+=--+≤3(当a =－1，x =1时等号成立)
28．12。

提示：显然y >0。

因为221()(14)2y x x +=
+，所以2211()042
y x y -=-≥ 故当x =y =12
时，y 取最小值12。

另解：设1tan ,(,)222x ππαα=
∈-
，则1tan sec 2y αα=-=利用三角或解几(斜率)。

29.0．
提示：()f x =
2()3f x -
2()3f x --=
30．38
[,]23
-。

提示：由x R ∈，()f x 是奇函数得(0)0f =即511100k --=，得k =15
，则1010x x y -=-，它是单调递增函数。

31
．)+∞。

提示：由已知可知u >0，设x
α，y
α代入方程得22cos 6sin cos sin 5(cos23sin2)5u u u a u ααααα+-=⇒+=，
则
s i n (2)5αϕ+=，其中1
tan 3
ϕ=
，再由|sin (2α+ϕ)|≤1可得。

32．［2－
4］。

提示：由4x －2x ≥0得0≤x ≤4。

y -
(*)，∴x ≥y 。

故函数y 的图象在线段y =x (0≤x ≤4)的下方。

∵
(0)0,(4)4f f ==，且点(0,0)，(4,4)在上述线段y =x (0≤x ≤4)上，
故函数的最大值为4。

将(*)两边平方整理得22x －(2y +4)x +2y =0，此方程在x ∈［0,4］内有实根，∴△≥0解得2－
y ≤
从而结合y ≤4得。

另解
(2)2y x x =-，令x －2=2cos θ
，θ∈［0，
π］
，转化为三角函数解。

33．6。

提示：由已知有()(1)(1)(1)()(2)f x f x f x f x f x f x =-++⎧⎨
+=++⎩……①……②
，两式相加得(1)(2)
f x f x -++=0
∴()(3),(3)(6)
f x f x f x f x
=-++=-+从而()(6)
f x f x
=+
34．
，10。

提示：
设u v
==则224,43
u v y u v
+==+
2222222
(43)()(34)100(34)
y u v u v u v
=++--=--。

当3u－4v=0即3u=4v
时
x
==≠2y≤100，得0≤y≤10。

35．解：∵
-1
1
()=
2x
f x
∴
12
11
(),(1)
22
n n
f n f n
--
=-=
又
n
S=60－2n a+21
(1)62
2
n n
f n a
-
-=-+
111
1
18
62
23
a a a
-
=-+⇒=
111
23
1148
(62)(62)22(2)
2222
n n n n n n n
n n n n
a S S a a a a n
---
--
=-=-+--+=-++-≥
∴
11
11
221121
4(4)
332232
n n n n
n n n
a a a a
--
--
=-⨯⇒-⨯=-⨯
∴
1
11224
4(4)()()(2)
22332
n n
n n
n n
a a a n
-⨯=-⨯⇒=+≥
又n=1时
1
a满足上式。

∴数列{}
n
a的通项公式为24
()
32
n
n n
a=+
∴
2
2211
[1()][1()]21
3322
462()
2132
11
32
n n
n
n n
S
-
--
=+⨯=--
--。

36解：（1）由0
1
4
2
2≠
+
≠
+-x
x
x得所以)(x
f的定义域{}R
x
x∈
|-------------------------1分
由0
1
1
:
,0
4
,
1
1
4
2
2
2
2
>
-
+
>
-
+
=
⇒
+
-
=
-
-
y
y
y
y
y x
x
x
x
x
x
所以
而
所以}1
1
|
{
)
(<
<
-y
y
x
f的值域----------------------------------4分
（2）不存在，因为)(x
f
y=在R上为增函数.------------- - ------6分
证明：
任设x1<x2，则
)1
4
)(
1
4(
4
4
1
4
1
4
1
4
1
4
)
(
)
(
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1+
+
-
=
+
-
-
+
-
=
-
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
f
-------8分
因为x 1<x 2，y=4x 在R 上为增函数，所以044,442121<-<x x x x
即 而)()(,0)()(,014,14212121x f x f x f x f x x <<->++即所以
所以y=f(x)在R 上为增函数.---------------------- ----------------10分
则f(x)的图象上不存在两个不同的点A ，B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直.------------12分
37（1）由2()2f x x x =-+可知对称轴为12b x a
=-= 所以()f x 在[]1,3上为单调减函数，可求得[]()3,1f x ∈-，不符合闭函数定义。

（2）因为3y x =-在R 上为减函数，从R 中取[],a b R ∈，要使[],y a b ∈ 即33()1()1f a a b a f b b a b b a ⎧=-==-⎧⎪=-=⇒⎨⎨=⎩⎪>⎩
，所以区间[],a b 为[]1,1- （3
）[)2,y k D ==-+∞，所以y 在D 上为单调增函数
[],x a b ∈，要使[],y a b ∈
，则()()f a k a
f b k b
⎧==⎪⎨==⎪⎩
，即方程k x =有两个根
两边平方有22(21)20x k x k -++-=利用判别式可得94k >-
又[][),2,a b ⊆-+∞，所以2a ≥-
又k a a =≤，所以2k ≤- 综上可得924x -
<≤-。