陕西省2019中考数学复习针对性训练：全等、相似十三(针对陕西中考第20、24题)

全等、相似十三(针对陕西中考第20、24题)
1．如图，四边形ABCD ，BEFG 均为正方形，连接AG ，CE.
(1)求证：AG ＝CE ；
(2)求证：AG ⊥CE.
解：(1)∵四边形ABCD ，BEFG 均为正方形，∴AB ＝CB ，∠ABC ＝∠GBE ＝90°，BG ＝BE ，∴∠ABG ＝∠CBE ，在△ABG 和△CBE 中，
＝CB ，
ABG ＝∠CBE ，＝BE ，
∴△ABG ≌△CBE(SAS )，∴AG ＝CE
(2)证明：∵△ABG ≌△CBE ，∴∠BAG ＝∠
BCE ，∵∠ABC ＝90°，∴∠BAG ＋∠AMB ＝90°，∵∠AMB ＝∠CMN ，∴∠BCE ＋∠CMN ＝90°，∴∠CNM ＝90°，∴AG ⊥CE
2．如图，在△ABC 中，AB ＝CB ，∠ABC ＝90°，D 为AB 延长线上一点，点E 在BC 边上，且BE ＝BD ，连接AE ，DE ，DC.
(1)求证：△ABE ≌△CBD ；
(2)若∠CAE ＝30°，求∠BDC 的度数．
解：(1)在△ABE 和△CBD 中＝CB ，
ABC ＝∠CBD ＝90°，＝BD ，
∴△ABE ≌△CBD(SAS )
(2)∵△ABE ≌△CBD ，∴∠AEB ＝∠BDC ，∵∠AEB 为△AEC 的外角，∴∠AEB ＝∠ACB ＋∠CAE ＝30°＋45°＝75°，则∠BDC ＝75°
3．(2018·南京)如图，△ABC 中，CD 是边AB 上的高，且AD CD ＝CD BD
.(1)求证：△ACD ∽△CBD ；
(2)求∠ACB 的大小．
解：(1)∵CD 是边AB 上的高，∴∠ADC ＝∠CDB ＝90°，∵AD CD ＝CD BD
，∴△ACD ∽△CBD (2)∵△ACD ∽△CBD ，∴∠A ＝∠BCD ，在△ACD 中，∠ADC ＝90°，∴∠A ＋∠ACD ＝90°，∴∠BCD ＋∠ACD ＝90°，即∠ACB ＝90°
4．如图，△ABC 是一张锐角三角形的硬纸片，AD 是边BC 上的高，BC ＝40cm ，AD ＝30cm ，从这张硬纸片上剪下一个长HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH ，使它的一边EF 在BC 上，顶点G ，H 分别在AC ，AB 上，AD 与HG 的交点为M.
(1)求证：AM AD ＝HG BC
；(2)求这个矩形EFGH 的周长．
解：(1)∵四边形EFGH 是矩形，∴EF ∥GH ，∴∠AHG ＝∠B,
又∵∠HAG ＝∠BAC ，∴△AHG ∽△ABC ，∴AM AD ＝HG BC
(2)设HE ＝MD ＝x cm ，∵AD ＝30cm ，∴AM ＝(30－x)cm ，∵HG ＝2HE,∴HG ＝2x cm ，∵AM AD ＝HG BC ，∴30－x 30
＝2x 40，解得x ＝12，则2x ＝24，∴这个矩形EFGH 的周长＝2×(12＋24)＝72(cm )，答：这个矩形的周长为72cm。