高二数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析

高二数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析
1.已知圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y=x﹣1被该圆所截得的弦长为
，则圆C的标准方程为_________．
【答案】
【解析】设圆心为(a,0),半径为r,由弦长为可得,又圆心在x轴的正半轴上，所以a>1,由
已知可知半径、半弦长、弦心距围成一等腰三角形，所以有，答案为.
【考点】1.圆的标准方程；2.直线与圆的位置关系
2.．已知直线：，若以点为圆心的圆与直线相切于点，且在轴上，则该圆的方程为（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由于圆心坐标，只有选项符合，故选
【考点】圆的标准方程.
3.已知曲线C上的动点P（）满足到定点A(-1,0)的距离与到定点B（1,0）距离之比为
(1)求曲线C的方程。

(2)过点M(1,2)的直线与曲线C交于两点M、N，若|MN|=4，求直线的方程。

【答案】（1）：（或）；（2）或
【解析】（1）根据动点P（x，y）满足到定点A（-1，0）的距离与到定点B（1，0）距离之比为，建立方程，化简可得曲线C的方程．
（2）分类讨论，设出直线方程，求出圆心到直线的距离，利用勾股定理，即可求得直线l的方程．试题解析：（1）由题意得|PA|=|PB| 2分;
故 3分;
化简得：（或）即为所求。

5分;
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
将代入方程得，
所以|MN|=4，满足题意。

8分;
当直线的斜率存在时，设直线的方程为+2
由圆心到直线的距离 10分;
解得，此时直线的方程为
综上所述，满足题意的直线的方程为：或. 12分.
【考点】(1)圆的标准方程；（2）点到直线的距离公式.
4.已知圆C经过直线与坐标轴的两个交点，且经过抛物线的焦点，则圆C的方
程为．
【答案】.
【解析】与坐标轴的两个交点是：（4，0），（0,2），抛物线的焦点是（2,0），所以可以设圆的一般方程，把上面三个点坐标带入，解得D=-6，E=-6，
F=8.
【考点】求圆的方程.
5.有一圆与直线l：4x－3y＋6＝0相切于点A(3,6)，且经过点B(5,2)，求此圆的方程．
【答案】
【解析】本题解法有4种,①由直线与圆相切于点A可设方程,再过点B可求出,即求出圆的方程.②可以设圆的标准方程,由圆心和切点连线
与切线垂直且圆过A,B两点可找到三个关系式求出从而得到圆的方程.③可设所求圆的方程
的一般式,写出圆心坐标,由圆心和切点连线与切线垂直且圆过A,B两点可找到三个关系式求出从而得到圆的方程.④设出圆心坐标,由几何意义可以由圆心和切点连线与切线垂直先求出直线CA方程,再由A,B坐标求出直线AB的方程,由AB的垂直平分线与CA相交于点C,再CA的长
度即为圆的半径从而得到圆的方程.
试题解析：
法一：由题意可设所求的方程为，又因为此圆过点，将坐标代入圆的方程求得，所以所求圆的方程为.
法二：设圆的方程为，
则圆心为，由，得
解得
所以所求圆的方程为.
法三：设圆的方程为，由，,在圆上，得
解理
所以所求圆的方程为.
法四：设圆心为C，则，又设AC与圆的另一交点为P，则CA的方程为，
即.
又因为，
所以，所以直线BP的方程为.
解方程组得所以．
所以圆心为AP的中点，半径为,
所以所求圆的方程为.
【考点】圆的标准方程, 直线与圆相切．
6.已知和是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点为A，异于点A的两动点B、C分别在、上，且BC=，则过A、B、C三点的动圆所形成的图形面积为（）
A． B. C. D.
【答案】B
【解析】学生作此题时应注意：过A 、B 、C 三点的动圆所形成的区域面积，不是过A 、B 、C 三点的圆的面积．而是将所有圆的面积（只能算不重合的部分）即半径为BC 最大圆的面积．此题是一道易错题．
直角三角形外接圆的直径就是斜边长, 中斜边不变,所以过A 、B 、C 三点的动圆所形成的图形是以A 为圆心,以3为半径的圆, 过A 、B 、C 三点的动圆所形成的图形面积为
故选C
【考点】直角三角形外接圆
7. 在平面直角坐标系内，若圆：的圆心在第二象限内，则实数的取值范围为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】圆：
化成标准方程为：
，可知圆心坐标
为，因为圆心在第二象限内，故，得到
.
【考点】圆的方程.
8. 一束光线从点出发，经x 轴反射到圆上的最短路径是（ ）
A ．4
B ．5
C ．
D ．
【答案】A
【解析】依题意可得，在x 轴上找一点使得到点A 与C 的距离和最短，这最短距离减去半径1，就是所求的值.点A 关于x 轴的对称点A--1(-1,-1),圆心C （2,3），A--1C 的距离为
，所以到圆上的最短距离为5-1=4.故选A. 【考点】1.最短距离的知识点.2.两点间的距离公式. 9. 圆的圆心坐标是（ ） A ．（2，3） B ．（-2，3） C ．（-2，-3）
D ．（2，-3）
【答案】D
【解析】把圆的一般方程通过配方法转化为标准方程，就可以很快得出圆心坐标及圆的半径．
【考点】圆的标准方程．
10. 已知点是圆上的点 （1）求的取值范围. （2）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)；（2） 【解析】（1）圆配方为，设，把代入中，转化为三角函数的值域问题，或者可设=，再与圆的方程联立，消去，得关于的一元二次方程，利用列不等式，得的范围；（2）把代入
中，转化为三角函数的最小值问题，且最小值，该题还可以数形结合，
表示直线=0上方的平面区域，只要让圆落在区域内即可. 试题解析：（1）圆可化为
依题意：设
∴
即：
的取值范围是
6分
（2）依题意：设
∴
∴
又∵恒成立∴∴a的取值范围是 12分
【考点】1、圆的方程；2、利用恒成立问题确定参数的取值范围.
11.如果圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴切于原点, 那么（）
A．D=0,E≠0, F≠0;B．E=F=0,D≠0;
C．D="F=0," E≠0;D．D=E=0,F≠0;
【答案】A
【解析】解：圆与x轴相切于原点，则圆心在y轴上，D=0，圆心的纵坐标的绝对值等于半径，F≠0，E≠0．故选A
【考点】圆的一般式方程
点评：本题考查圆的一般式方程，直线与圆的位置关系，是基础题．
12.圆的圆心是（）
A．（－3，4）B．（－3，－4）C．（3 ，4）D．（3，－4）
【答案】D
【解析】由于圆的一般方程为，所以配方法可知
，因此可知圆心坐标为（3，-4），故选D.
【考点】本试题考查了圆的一般方程的运用。

点评：根据已知的一般式方程配方的形式化为标准式，或者利用一般式方程中圆心坐标与系数的关系来求解得到结论，属于基础题。

13.已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，它的长轴长等于圆的半径，则椭圆的标准方程是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】圆的方程化成标准形式为：所以因为离心率所以又因为椭圆焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为：
.
【考点】本小题主要考查椭圆标准方程的求法和圆的方程的认识，考查学生的运算求解能力.
点评：求椭圆的标准方程，应该知道焦点在哪个坐标轴上，再求标准方程中的基本量，其中往往少不了离心率的计算.
14.已知两定点，动点满足，则点的轨迹方程为__________
【答案】
【解析】本试题主要是考查了解析几何中动点的轨迹方程的求解。

因为设点P(x,y)那么可知，代入点的坐公式中可知，化简变形可知得到为
，故可知点的轨迹方程为。

解决该试题的关键是设出点的坐标，得到点满足的几何关系式，运用坐标表示，化简到最简。

15.已知BC是圆的动弦，且|BC|=6，则BC的中点的轨迹方程是 .
【答案】
【解析】解：设圆心（0，0）到BC的距离为d，则由弦长公式可得 d==4，即BC的中点到圆心（0，0）的距离等于4，BC的中点的轨迹是以原点为圆心，以4为半径的圆，
故BC的中点的轨迹方程是x2+y2=16，
故答案为x2+y2=16
16.已知圆的圆心在直线上，且经过原点及点，求圆的方程．
【答案】
【解析】本试题主要是考查了圆的方程的求解，首先设出圆的方程为
，然后利用圆经过原点，和点M，可知得到a，r的方程组，求解得到结论。

解：根据题意，设圆的方程为：
因为圆经过原点和，故此有：
……①
…… ②
两式联立，解得：，
所以，所求的园的方程为：
17.极坐标方程表示的曲线为（）
A．一条射线和一个圆B．一条直线和一个圆
C．两条直线D．一个圆
【答案】B
【解析】解：因为极坐标方程
可见表示的为一条直线和一个圆
18.圆的圆心坐标和半径分别为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】圆，化成标准方程为，所以圆心为（2,0），
半径为2。

19.已知方程表示圆，则___________。

【答案】或
【解析】方程表示圆，则首先满足a=,解得或；当a=-1时,,即；当a=2时，
，即不表示任何图形，舍去。

所以a=-1.
20.已知圆与轴相交，与轴相离，圆心在第一象限，则直线
与直线的交点在
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【解析】
21.过点,且圆心在直线上圆的方程是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】分析：先求AB的中垂线方程，它和直线x+y-2=0的交点是圆心坐标，再求半径，可得
方程．
解：圆心一定在AB的中垂线上，AB的中垂线方程是y=x，排除A，B选项；圆心在直线x+y-
2=0上验证D选项，不成立．
故选C．
点评：本题解答灵活，符合选择题的解法，本题考查了求圆的方程的方法．是基础题目．
22.圆经过原点的一个充要条件是
A．B．且
C．D．
【答案】C
【解析】本题考查圆过原点的充要条件
若圆经过原点，则，即；
若，则，即圆经过原点过原点；
所以圆经过原点的一个充要条件是
即正确答案为C
23.（（8分）已知关于x,y的方程C:.
（1）当m为何值时，方程C表示圆。

（2）若圆C与直线l:x+2y-4=0相交于M,N两点，且MN=,求m的值。

【答案】解：（1）方程C可化为显然时方程C表示圆。

（2）圆的方程化为圆心C（1，2），半径则圆心C（1，2）
到直线l:x+2y-4=0的距离为，
有得
【解析】略
24.若圆C与圆关于原点对称，则圆C的方程是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】【考点】关于点、直线对称的圆的方程．
专题：计算题．
分析：求出已知圆的圆心和半径，求出圆心A关于原点对称的圆的圆心B的坐标，即可得到对称
的圆的标准方程．
解答：解：圆（x+2）2+（y-1）2=5的圆心A（-2，1），半径等于，
圆心A关于原点（0，0）对称的圆的圆心C（2，-1），
故对称圆的方程为（x-2）2+（y+1）2=5，
故答案为（x-2）2 +（y+1）2=5．应选A
点评：本题考查求一个圆关于一个点的对称圆的方程的求法，求出圆心A关于原点（0，0）对称
的圆的圆心B的坐标，是解题的关键．
25.两圆x2+y2－4x+6y=0和x2+y2－6x=0的连心线方程为___________
【答案】3x－y－9="0"
【解析】两圆x2+y2－4x+6y=0和x2+y2－6x=0的圆心分别是,则
所以连心线方程为，即3x－y－9=0
【考点】求圆心坐标及连心线方程
26.以圆的圆心为圆心，半径为2的圆的方程( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】圆的圆心坐标为（-1，0），所以所求圆的方程为，答案选B．【考点】圆的标准方程
27.如图，定点，都在平面内，定点，，是内异于和的动点，且
．那么，动点C在平面内的轨迹是（）
A．一条线段，但要去掉两个点
B．一个圆，但要去掉两个点
C．一个椭圆，但要去掉两个点
D．半圆，但要去掉两个点
【答案】B
【解析】因为，所以，又，所以，故，则C的轨迹
是以AB为直径的圆，又是内异于和的点，故要去掉.
【考点】动点轨迹
28.已知点，点B是圆F：（F为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交于，则动点的轨迹方程为______________．
【答案】
【解析】由题意作出辅助图，知，所以
，故P的轨迹是以A、F为焦点的椭圆，且，所以，故的轨迹方程为
【考点】轨迹方程、椭圆定义
29.以点A（1，4），B（3，－2）为直径的两个端点的圆的一般式方程为___________．
【答案】
【解析】首先的中点为圆心，，半径为，圆的方程为，化为一般式方程为.
【考点】圆的方程；
30.圆心为点（3,4）且过点（0,0）的圆的方程（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】半径，所以圆方程为
【考点】本题考查求圆方程
点评：解决本题的关键是求出圆的半径。