初一数学动点问题例题集

初一数学动点问题集锦 【1 】
1.如图,已知ABC △中,10AB AC ==厘米,8BC =厘米,点D 为AB 的中点． （1）假如点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点活动,同时,点Q 在线段CA 上由C 点向A 点活动．
①若点Q 的活动速度与点P 的活动速度相等,经由1秒后,BPD △与CQP △是否全等,请解释来由;
②若点Q 的活动速度与点P 的活动速度不相等,当点Q 的活动速度为若干时,可以或许使BPD △与CQP △全等？
（2）若点Q 以②中的活动速度从点C 动身,点P 以本来的活
动速度从点B 同时动身,都逆时针沿ABC △三边活动,求经由多长时光点P 与点Q 第一次在
ABC △的哪条边上相遇？
解：（1）①∵1t =秒, ∴313BP CQ ==⨯=厘米, ∵10AB =厘米,点D 为AB 的中点, ∴5BD =厘米． 又∵厘米,
∴835PC =-=厘米8PC BC BP BC =-=，, ∴PC BD =． 又∵AB AC =, ∴B C ∠=∠,
∴BPD CQP △≌△．（4分） ②∵
P Q
v v ≠,∴BP CQ ≠,
又∵BPD CQP △≌△,B C ∠=∠,则45BP PC CQ BD ====，,
∴点P,点Q活动的时光
4
33
BP
t==
秒,
∴
515
44
3
Q
CQ
v
t
===
厘米/秒．（7分）
（2）设经由x秒后点P与点Q第一次相遇,
由题意,得15
3210 4
x x
=+⨯
,
解得
80
3
x=
秒．
∴点P共活动了80
380
3
⨯=
厘米．
∵8022824
=⨯+,
∴点P.点Q在AB边上相遇,
∴经由80
3秒点P与点Q第一次在边AB上相遇．（12分）
2.直线
3
6
4
y x
=-+
与坐标轴分离交于A B
、两点,动点P Q
、同时从O点动身,同时到
达A点,活动停滞．点
Q沿线段OA活动,速度为每秒1个单位长度,点P沿路线O→B→A活动．
（1）直接写出A B
、两点的坐标;
（2）设点Q的活动时光为t秒,OPQ
△的面积为S,求出S与t之间的函数关系式; 48
5
S=
（2）
86OA OB ==，
10AB ∴=
点Q 由O 到A 的时光是88
1=（秒）
∴点P 的速度是610
2
8+=（单位/秒） 1分
当P 在线段OB 上活动（或03t ≤≤）时,2OQ t OP t ==，
2S t = 1分
当P 在线段BA 上活动（或38t <≤）时,6102162OQ t AP t t ==+-=-，,
如图,作PD OA ⊥于点D ,由PD AP BO AB =,得4865t
PD -=
, 1分
21324
255S OQ PD t t ∴=
⨯=-+ 1分
（自变量取值规模写对给1分,不然不给分．）
（3）82455P ⎛⎫ ⎪
⎝⎭， 1分
1238241224122455555
5I M M 2⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，， 3分 3如图,在平面直角坐标系中,直线l ：y=－2x －8分离与x 轴,y 轴订交于A,B 两点,点P （0,k ）是y 轴的负半轴上的一个动点,以P 为圆心,3为半径作⊙P.
（1）贯穿连接PA,若PA=PB,试断定⊙P 与x 轴的地位关系,并解释来由;
（2）当k 为何值时,以⊙P 与直线l 的两个交点和圆心P 为极点的三角形是正三角形？
解：（1）⊙P 与x 轴相切.
∵直线y=－2x －8与x 轴交于A （4,0）, 与y 轴交于B （0,－8）,
∴OA=4,OB=8.
由题意,OP=－k,
∴PB=PA=8+k.
在Rt△AOP中,k2+42=(8+k)2,
∴k=－3,∴OP等于⊙P的半径,
∴⊙P与x轴相切.
（2）设⊙P与直线l交于C,D两点,贯穿连接PC,PD当圆心P在线段OB上时,作PE⊥CD于E.
∵△PCD为正三角形,∴DE=1
2CD=
3
2,PD=3,
∴PE=33
.
∵∠AOB=∠PEB=90°,∠ABO=∠PBE,∴△AOB∽△PEB,
∴
33
2
,
45
AO PE
AB PB PB =即
,
∴
315 PB=
∴
315
8
PO BO PB
=-=
,
∴
315
8) P-
,
∴
315
8 k=
.
当圆心P在线段OB延伸线上时,同理可得P(0,－315
－8),
∴k=－315
－8,
∴当k=315
2－8或k=－
315
2－8时,以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为极点的三
角形是正三角形.
4（09哈尔滨）如图1,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,四边形ABCO是菱形,点A 的坐标为（－3,4）,
点C在x轴的正半轴上,直线AC交y轴于点M,AB边交y轴于点H．
（1）求直线AC的解析式;
（2）衔接BM,如图2,动点P从点A动身,沿折线ABC偏向以2个单位／秒的速度向终点C匀速活动,设△PMB的面积为S（S≠0）,点P的活动时光为t秒,求S与t之间的函数关系式（请求写出自变量t的取值规模）;
（3）在（2）的前提下,当t为何值时,∠MPB与∠BCO互为余角,并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．
解：
B 5在Rt△ABC中,∠C=90°,A
C = 3,AB = 5．点P从点C动
身沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速活动,到达点A
E
后连忙以本来的速度沿AC 返回;点Q 从点A 动身沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速活动．陪同着P.Q 的活动,DE 保持垂直等分PQ,且交PQ 于点D,交折线QB-BC-CP 于点E ．点P.Q 同时动身,当点Q 到达点B 时停滞活动,点P 也随之停滞．设点P.Q 活动的时光是t 秒（t ＞0）．
（1）当t = 2时,AP = ,点Q 到AC 的距离是; （2）在点P 从C 向A 活动的进程中,求△APQ 的面积S 与 t 的函数关系式;（不必写出t 的取值规模）
（3）在点E 从B 向C 活动的进程中,四边形QBED 可否成 为直角梯形？若能,求t 的值．若不克不及,请解释来由; （4）当DE 经由点C 时,请直接写出t 的值．
解：（1）1,8
5;
（2）作QF ⊥AC 于点F,如图3, AQ = CP= t,∴3AP t =-．
由△AQF ∽△ABC,4BC ==,
得45QF t =．∴
4
5QF t
=． ∴
14
(3)25S t t =
-⋅,
即
22655S t t
=-+． （3）能．
①当DE ∥QB 时,如图4．
∵DE ⊥PQ,∴PQ ⊥QB,四边形QBED 是直角梯形． 此时∠AQP=90°．
由△APQ ∽△ABC,得
AQ AP
AC AB =, 即33
5t t -=．解得9
8t =
． ②如图5,当PQ ∥BC 时,DE ⊥BC,四边形QBED 是直角梯形． 此时∠APQ =90°．
P
图4
P
由△AQP ∽△ABC,得
AQ AP
AB AC =, 即35
3t t -=．解得15
8t =． （4）
52t =
或45
14t =．
①点P 由C 向A 活动,DE 经由点C ． 衔接QC,作QG ⊥BC 于点G,如图6．
PC t =,2
2
2
QC QG CG =+22
34
[(5)][4(5)]55t t =-+--．
由2
2
PC QC =,得22234[(5)][4(5)]55t t t =-+--,解得
5
2t =
． ②点P 由A 向C 活动,DE 经由点C,如图7．
22234(6)[(5)][4(5)]55t t t -=-+--,45
14t =
】
6如图,在
Rt ABC
△中,9060ACB B ∠=∠=°
，°,2BC =．点O 是AC 的中点,过点O 的直线l 从与AC 重合的地位开端,绕点O 作逆时针扭转,交AB
边于点D ．过点C 作CE AB ∥交直线l 于点E ,设直线l 的扭转角为α．
（1）①当α=度时,四边形EDBC 是等腰梯形,此时AD 的长为;
②当α=度时,四边形EDBC 是直角梯形,此时AD 的长为; （2）当90α=°时,断定四边形EDBC 是否为菱形,并解释来由． 解（1）①30,1;②60,1.5; ……………………4分 （2）当∠α=900时,四边形EDBC 是菱形. ∵∠α=∠ACB=900,∴BC//ED.
∵CE//AB, ∴四边形EDBC 是平行四边形. ……………………6分 在Rt △ABC 中,∠ACB=900,∠B=600,BC=2,
O
E C
D
A
α l
O
C
A
（备用图）
∴∠A=300. ∴
∴AO=12AC
. ……………………8分
在Rt △AOD 中,∠A=300,∴AD=2. ∴BD=2. ∴BD=BC.
又∵四边形EDBC 是平行四边形,
∴四边形EDBC 是菱形 ……………………10分 7如图,在梯形ABCD 中
,3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动点
M 从B 点动身沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点
C 活动;动点N 同时从C 点动身沿线段C
D 以每秒1个单位长
度的速度向终点D 活动．设活动的时光为t 秒． （1）求BC 的长．
（2）当MN AB ∥时,求t 的值．
（3）试探讨：t 为何值时,MNC △为等腰三角形．
解：（1）如图①,过A .D 分离作AK BC ⊥于K ,DH BC ⊥于H ,则四边形ADHK 是矩形
∴3KH AD ==． 1分
在Rt ABK △中,sin 454
2AK AB =︒==． 2
cos 4542
42BK AB =︒==
2分
在Rt CDH △中,由勾股定理得,
3HC =
= C
M
∴43310BC BK KH HC =++=++=
3分
（2）如图②,过D 作DG AB ∥交BC 于G 点,则四边形ADGB 是平行四边形 ∵MN AB ∥
∴MN DG ∥ ∴3BG AD == ∴1037GC =-=
4分
由题意知,当M .N 活动到t 秒时,102CN t CM t ==-，． ∵DG MN ∥ ∴NMC DGC =∠∠ 又C C =∠∠ ∴MNC GDC △∽△
∴CN CM
CD CG =
5分
即
10257t t -= 解得,
50
17t =
6分
（3）分三种情形评论辩论： ①当NC MC =时,如图③,即102t t =-
∴
103t =
7分 （图①） A
D
C
B K
H
（图②）
A
D
C
B
G M
N
解法一：
由等腰三角形三线合一性质得
()11
102522EC MC t t =
=-=-
在Rt CEN △中,
5cos EC t c NC t -=
= 又在Rt DHC △中,
3
cos 5CH c CD =
=
∴53
5t t
-= 解得
25
8t =
8分
解法二：
∵90C C DHC NEC =∠=∠=︒∠∠， ∴NEC DHC △∽△
∴
NC EC
DC HC = 即553t t -=
∴
258t =
8分
③当MN MC =时,如图⑤,过M 作MF CN ⊥于F 点.11
22FC NC t =
=
解法一：（办法同②中解法一）
1
3
2cos 1025t
FC C MC t ===
-
解得
6017t = 解法二：
（图⑤）
A
D
C
B
H N M
F
∵90C C MFC DHC =∠=∠=︒∠∠， ∴MFC DHC △∽△
∴
FC MC
HC DC = 即110223
5t
t
-= ∴
6017t =
综上所述,当
103t =
.258t =或60
17t =时,MNC △为等腰三角形 9分
8如图1,在等腰梯形ABCD 中,AD BC ∥,E 是AB 的中点,过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，,60B =︒∠. （1）求点E 到BC 的距离;
（2）点P 为线段EF 上的一个动点,过
P 作PM EF ⊥交BC 于点M ,过M 作
MN AB ∥交折线ADC 于点N ,贯穿连接PN ,设EP x =.
①当点N 在线段
AD 上时（如图2）,PMN △的外形是否产生转变？若不变,求出
PMN △的周长;若转变,请解释来由;
②当点N 在线段DC 上时（如图3）,是否消失点P ,使PMN △为等腰三角形？若消失,请求出所有知足请求的x 的值;若不消失,请解释来由. 解（1）如图1,过点E 作EG BC ⊥于点G ． 1分 ∵E 为AB 的中点, ∴1
22BE AB ==．
在Rt EBG △中,60B =︒∠，∴30BEG =︒∠． 2分
A D
E B
F C
图1
图2
A D E
B
F C P
N
M 图3 A D E
B
F
C P
N
M 图1
A D E
B F C
G
∴
1
12BG BE EG =
===，
即点E 到BC
3分
（2）①当点N 在线段AD 上活动时,PMN △的外形不产生转变． ∵PM EF EG EF ⊥⊥，，∴PM EG ∥． ∵EF BC ∥，∴EP GM =
,PM EG == 同理4MN AB ==． 4分
如图2,过点P 作PH MN ⊥于H ,∵MN AB ∥， ∴6030NMC B PMH ==︒=︒∠∠，∠．
∴
12PH PM == ∴
3cos302MH PM =︒=．
则
35422NH MN MH =-=-
=．
在Rt PNH △中
,PN ===
∴PMN △的周长
=4PM PN MN ++=． 6分
②当点N 在线段DC 上活动时,PMN △的外形产生转变,但MNC △恒为等边三角形． 当PM PN =时,如图3,作PR MN ⊥于R ,则MR NR =．
相似①,
3
2MR =．
∴23MN MR ==． 7分
∵MNC △是等边三角形,∴3MC MN ==．
图2
A D E B
F
C
P
N
M
G H
此时,6132x EP GM BC BG MC ===--=--=． 8分
当MP MN =时,如图4,
这时MC MN MP === 此时
,615x EP GM ===-= 当NP NM =时,如图5,30NPM PMN ==︒∠∠． 则120PMN =︒∠，又60MNC =︒∠， ∴180PNM MNC +=︒∠∠．
是以点P 与F 重合,PMC △为直角三角形．
∴tan301MC PM =︒=．
此时,6114x EP GM ===--=． 综上所述,当2x =或4
或
(5时,PMN △为等腰三角形． 10分
9如图①,正方形 ABCD 中,点A.B 的坐标分离为（0,10）,（8,4）,
点C 在第一象限．动点P 在正方形 ABCD 的边上,从点A 动身沿A→B→C→D 匀速活动,
同时动点Q 以雷同速度在x 轴正半轴上活动,当P 点到达D 点时,两点同时停滞活动, 设活动的时光为t 秒．
(1)当P 点在边AB 上活动时,点Q 的横坐标x （长度单位）关于活动时光t （秒）的函数图象如图②所示,请写出点Q 开端活动时的坐标及点P 活动速度; (2)求正方形边长及极点C 的坐标;
(3)在（1）中当t 为何值时,△OPQ 的面积最大,并求此时P 点的坐标;
图3
A D E B
F
C
P
N M
图4
A D E
B
F C
P M
N 图5
A D E
B
F （P ） C
M
N G
G
R
G
(4)假如点P.Q 保持原速度不变,当点P 沿A→B→C→D 匀速活动时,OP 与PQ 可否相等,若能,写出所有相符前提的t 的值;若不克不及,请解释来由．
解：（1）Q （1,0）
1分
点P 活动速度每秒钟1个单
位长度．
2分
（2）过点B 作BF ⊥y
轴
于点F ,BE ⊥x 轴于
点E ,则
BF ＝8,4OF BE ==．
∴1046AF =-=．
在Rt △AFB 中,
22
8610AB =+= 3分 过点C 作CG ⊥x 轴于点G ,与FB 的延伸线交于点H ． ∵90,ABC AB BC ∠=︒=∴△ABF ≌△BCH ． ∴6,8BH AF CH BF ====． ∴8614,8412OG FH CG ==+==+=．
∴所求C 点的坐标为（14,12）． 4分 （3）过点P 作PM ⊥y 轴于点M,PN ⊥x 轴于点N, 则△APM ∽△ABF ．
∴AP AM MP
AB AF BF ==
．
1068t AM MP ∴==． ∴
3455AM t PM t ==，．∴3410,55PN OM t ON PM t
==-==． 设△OPQ 的面积为S （平地契位）
∴
2
13473(10)(1)5251010S t t t t =⨯-+=+-（0≤t ≤10） 5分 解释:未注明自变量的取值规模不扣分．
A
B C
D
E
F G H M N
P
Q O
x
y
∵
3
10a =-
<0 ∴当
47471036
2()10
t =-
=
⨯-
时,△OPQ 的面积最大． 6分
此时P 的坐标为（9415,53
10）．
7分
（4）当
53t =
或295
13t =时, OP 与PQ 相等． 9分
10数学课上,张先生出示了问题：如图1,四边形ABCD 是正方形,点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=,且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F,求证：AE=EF ． 经由思虑,小明展现了一种准确的解题思绪：取AB 的中点M,衔接ME,则AM=EC,易证
AME ECF △≌△,所以AE EF =．
在此基本上,同窗们作了进一步的研讨：
（1）小颖提出：如图2,假如把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B,C 外）的随意率性一点”,其它前提不变,那么结论“AE=EF”仍然成立,你以为小颖的不雅点准确吗？假如准确,写出证实进程;假如不准确,请解释来由;
（2）小华提出：如图3,点E 是BC 的延伸线上（除C 点外）的随意率性一点,其他前提不变,结论“AE=EF”仍然成立．你以为小华的不雅点准确吗？假如准确,写出证实进程;假如不准确,请解释来由．
解：（1）准确．（1分）
证实：在AB 上取一点M ,使AM EC =,衔接ME ．（2分） BM BE ∴=．45BME ∴∠=°,135AME ∴∠=°． CF 是外角等分线, 45DCF ∴∠=°, 135ECF ∴∠=°． AME ECF ∴∠=∠．
A
D
F C
G E B 图1 A
D
F
C G E B 图2 A
D
F
C G E B 图3 A D
F C
G
E
B
M
90AEB BAE ∠+∠=°,90AEB CEF ∠+∠=°,
∴BAE CEF ∠=∠．
AME BCF ∴△≌△（ASA ）．（5分）
AE EF ∴=．（6分）
（2）准确．（7分）
证实：在BA 的延伸线上取一点N ． 使AN CE =,衔接NE ．（8分）
BN BE ∴=． 45N PCE ∴∠=∠=°．
四边形ABCD 是正方形,
AD BE ∴∥． DAE BEA ∴∠=∠．
NAE CEF ∴∠=∠．
ANE ECF ∴△≌△（ASA ）．（10分）
AE EF ∴=．（11分）
11已知一个直角三角形纸片OAB ,个中9024AOB OA OB ∠===°
，，．如图,将该纸片放置在平面直角坐标系中,折叠该纸片,折痕与边OB 交于点C ,与边AB 交于点D ． A
D
F
G
E B
N
解（Ⅰ）如图①,折叠后点B 与点A 重合, 则ACD BCD △≌△. 设点C 的坐标为
()()00m m >，.
则4BC OB OC m =-=-. 于是4AC BC m ==-.
在Rt AOC △中,由勾股定理,得222
AC OC OA =+,
即
()
2
22
42
m m -=+,解得
32m =
.
∴点C 的坐标为302⎛⎫ ⎪
⎝⎭，. 4分
（Ⅱ）如图②,折叠后点B 落在OA 边上的点为B ', 则B CD BCD '△≌△.
由题设OB x OC y '==，,
则4B C BC OB OC y '
==-=-,
在Rt B OC '△中,由勾股定理,得222
B C OC OB ''=+.
()2
22
4y y x ∴-=+,
即21
2
8y x =-+ 6分
由点B '在边OA 上,有02x ≤≤,
∴解析式21
28y x =-+()
02x ≤≤为所求. ∴
当02x ≤≤时,y 随x 的增大而减小,
y ∴的取值规模为3
2
2y ≤≤.
7分
（Ⅲ）如图③,折叠后点B 落在OA 边上的点为B '',且B D OB ''∥. 则OCB CB D ''''∠=∠. 又
CBD CB D OCB CBD ''''∠=∠∴∠=∠，,有CB BA ''∥.
Rt Rt COB BOA ''∴△∽△.
有
OB OC OA OB ''=,得2OC OB ''=. 9分 在Rt B OC ''△中, 设
()
00OB x x ''=>,则
2OC x =.
由（Ⅱ）的结论,得2001
22
8x x =-+,
解得
000808x x x =-±>∴=-+，
∴点C 的坐标为
()016.
10分
12问题解决
如图（1）,将正方形纸片ABCD 折叠,使点B 落在CD 边上一点E
（不与点C ,D 重合）,压平后得到折痕MN ．当12CE CD =
时,求AM
BN 的
值．
类比归纳
在图（1）中,若13CE CD =，则AM BN 的值等于;若14CE CD =，则AM BN 的值等于;若1
CE CD n =
（n
为整数）,则AM
BN 的值等于．（用含n 的式子暗示）
接洽拓广
如图（2）,将矩形纸片ABCD 折叠,使点B 落在CD 边上一点E （不与点C D ，重合）,办法指点：
为了求得AM
BN
的值,可先求BN .AM 的长,无妨设：AB =2 图（1）
A B
C
D
E
F
M
N
压平后得到折痕MN ，设()111AB CE m BC m CD n =>=，，
则AM
BN 的值等于．（用含m n ，的式子
暗示）
解：办法一：如图（1-1）,衔接BM EM BE ，，．
由题设,得四边形ABNM 和四边形FENM 关于直线MN 对称．
∴MN 垂直等分BE ．∴BM EM BN EN ==，． 1分
∵四边形ABCD 是正方形,∴902A D C AB BC CD DA ∠=∠=∠=====°,．
∵1
12CE CE DE CD =∴==，．
设BN x =，则NE x =，2NC x =-．
在Rt CNE △中,222
NE CN CE =+．
∴
()2
2
2
21x x =-+．
解得
54x =
,即5
4BN =． 3分
在Rt ABM △和在Rt DEM △中,
222AM AB BM +=, 222DM DE EM +=,
∴2222AM AB DM DE +=+． 5分
设AM y =，则2DM y =-，∴()2
222221y y +=-+． 解得
14y =，即1
4AM =．
6分 ∴15AM BN
=． 7分 办法二：同办法一,
5
4BN =．
3分 如图（1－2）,过点N 做NG CD ∥，交AD 于点G ,衔接BE ．
N
图（1-1） A B
C
E F
M
第21页，共21页 ∵AD BC ∥，∴四边形GDCN 是平行四边形． ∴NG CD BC ==．
同理,四边形ABNG 也是平行四边形．∴
54AG BN ==． ∵90MN BE EBC BNM ⊥∴∠+∠=，°．
90NG BC MNG BNM EBC MNG ⊥∴∠+∠=∴∠=∠，°，． 在BCE △与NGM △中
90EBC MNG BC NG C NGM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩，，
°．∴BCE NGM EC MG =△≌△，．５分
∵
114AM AG MG AM =--=5，=．4 6分 ∴
15AM BN =． 7分 类比归纳
25（或410）;917;()
2211n n -+
10分
接洽拓广 222221
1n m n n m -++ 12分
N 图（1-2） A B C D E F M G。