2019年浙教版重点高中自主招生数学模拟试题11

2019年浙教版重点高中自主招生数学模拟试卷
一、选择题（共6小题，每小题6分，满分36分）
1．一个布袋中装有10个相同的球，其中9个红球，1个黄球，从中任意摸取一个，那么（）A．一定摸到红球B．一定摸到黄球
C．不可能摸到黄球D．很有可能摸到红球
2．为解决四个村庄用电问题，政府投资在已建电厂与这四个村庄之间架设输电线路．现已知这四个村庄及电厂之间的距离如图所示（距离单位：公里），则能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是（）
A．19.5 B．20.5 C．21.5 D．25.5
3．若等腰△ABC的三边长都是方程x2﹣6x+8=0的根，则△ABC的周长是（）
A．10或8 B．1O C．12或6 D．6或10或12
4．设P1、P2、P3、P4是不等于零的有理数，q1、q2、q3、q4是无理数，则下列四个数①p12+q12，②（P2+q2）2，③（P3+q3）q3，④P4（P4+q4）中必为无理数的有（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
5．甲，乙，丙，丁，戊与小强六位同学参加乒乓球比赛，每两人都要比赛一场，到现在为止，甲已经赛了5场，乙已经赛了4场，丙已经赛了3场，丁已经赛了2场，戊已经赛了1场，小强已经赛了（）
A．1场B．2场C．3场D．4场
6．将自然数1至6分别写在一个正方体的6个面上，然后把任意相邻两个面上的数之和写在这两个面的公共棱上．则在这个正方体中所有棱上的数的最小值和最大值分别是（）A．7，9 B．6，9 C．7，10 D．6，10
二、填空题（共6小题，满分35分）
7．（6分）设A（x1，y1），B（x2，y2）为函数图象上的两点，且x1＜0＜x2，y1
＞y2，则实数k的取值范围是．
8．（5分）已知是一个三位数，且，则=．
9．（6分）已知|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|=4，则实数x的取值范围是
10．（6分）如图，⊙O外接于边长为2的正方形ABCD，P为弧AD上一点，且AP=1，则
=．
11．（6分）如图所示，有一电路连着三个开关，每个开关闭合的可能性均为，若不考虑元件的故障因素，则电灯点亮的可能性为．
12．（6分）如图所示，已知Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，D、E、F分别是三边AB、BC、AC上的点，则DE+EF+FD的最小值为．
三、解答题（共5小题，满分78分）
13．（15分）已知四个互不相等的实数x1，x2，x3，x4，其中x1＜x2，x3＜x4．
（1）请列举x1，x2，x3，x4从小到大排列的所有可能情况；
（2）已知a为实数，函数y=x2﹣4x+a与x轴交于（x1，0），（x2，0）两点，函数y=x2+ax﹣4与x轴交于（x3，0），（x4，0）两点．若这四个交点从左到右依次标为A，B，C，D，且AB=BC=CD，求a的值．
14．（15分）如图所示，AD∥BC，梯形ABCD的面积是180，E是AB的中点，F是BC边上的点，且AF∥CD，AF分别交ED，BD于G，H，设，m是整数．
（1）若m=2，求△GHD的面积；
（2）若△GHD的面积为整数，求m的值．
15．（15分）n个数围成一圈，每次操作把其中某一个数换成这个数依次加上相邻的两个数后所得的和，或者换成这个数依次减去与它相邻的两个数后所得的差．例如：
（1）能否通过若干次操作完成图中的变换？请说明理由．
（2）能否通过若干次操作完成图中的变换请说明理由．
（3）能否通过若干次操作完成图中的变换？请说明理由．
16．（15分）如图所示，在△ABC中，已知D是BC边上的点，O为△ABD的外接圆圆心，△ACD的外接圆与△AOB的外接圆相交于A，E两点．求证：OE⊥EC．
17．（18分）已知方程x3﹣（1+2•3m）x2+（5n+2•3m）x﹣5n=0．（1）若n=m=0，求方程的根；
（2）找出一组正整数n，m，使得方程的三个根均为整数；
（3）证明：只有一组正整数n，m，使得方程的三个根均为整数．
参考答案与试题解析
1．解：红球共有9个，比较多，从中任意摸取一个，概率为0.9，所以很有可能摸到红球．故选D．
2．解：如图，最短总长度应该是：电厂到A，再从A到B、D，然后从D到C，
5+4+6+5.5=20.5km．
故选B．
3．解：解方程x2﹣6x+8=0得x1=4，x2=2，
当4为腰，2为底时，4﹣2＜4＜4+2，能构成等腰三角形，周长为4+2+4=10；
当2为腰，4为底时，4﹣2=2不能构成三角形；
当等腰三角形的三边分别都为4，或者都为2时，构成等边三角形，周长分别为6，12．
故△ABC的周长是6或10或12．故选D．
4．解：①p12+q12中当P1=1，q1=，原式=3，是有理数；
②当P2=1，q2=﹣1时，（P2+q2）2=2，是有理数；
③（P3+q3）q3中当P3=2，q3=﹣1时，（P3+q3）q3=1，是有理数；
④P4（P4+q4）中无论取何值原式都是无理数．
故选B．
5．解：由于每两人比赛一场，因此每个人最多比5场．
甲已经赛了5场，则说明甲和其他5人都比了一场；
由此可知：
甲与小强比了一场，戊只和甲赛了一场；
乙赛了4场，除去和甲赛的一场外，还和其他三人各赛一场，因此这三人必为：丙、丁和小强；
丁赛了2场，由上面两个人的比赛情况可知：丁只与甲、乙进行了比赛；
丙赛了3场，除去和甲、丁的两场比赛，还剩下一场，而丁和戊都没有和丙比赛，因此丙剩下的一场比赛必为和小强的比赛．
因此小强赛了三场，且对手为甲、乙、丙．
故选C．
6．证明：
①根据题意，相邻两面上的数相加，正方体每个面都有4个相邻面，
所以：每个面的数字都是加4遍；
1、2、3、4、5、6这6个数的和为21；
所以：不论数字怎么摆放，12条棱12个数字的和恒等于：4×21=84
这6个数任取2个相加，只有9个不重复的数字：3，4，5，6，7，8，9，10，11
所以：根据“抽屉原理”，12条棱的数字至少重复3个．
即：棱上不同和数的个数最多9个！
②9个和数3，4，5，6，7，8，9，10，11分解：
3=1+2
4=1+3
5=1+4=2+3[可重复1次]
6=1+5=2+4[可重复1次]
7=1+6=2+5=3+4[可重复2次]
8=2+6=3+5[可重复1次]
9=3+6=4+5[可重复1次]
10=4+6
11=5+6
如果所有重复的情况都出现，这些重复的数字的和为：
2*（5+6+8+9）+3*7=56+21=77
12个和数字的和恒为84，剩余一个和数=84﹣77=7，而7已经被重复了2次，不可能再出现．所以这种情况不成立．
所以最多只能重复5次．
即：棱上和数最少7个．
故选A．
7．解：∵k为常数，函数形式为反比例函数，x1＜0＜x2，y1＞y2，
函数图象只能在二四象限．那么k2﹣1＜0，k2＜1，
∴﹣1＜k＜1．
故答案为﹣1＜k＜1．
8．解：根据题意得：，
解得，
则=432．
故本题答案为：432．
9．解：①当x＜1时，原式=1﹣x+2﹣x+3﹣x+4﹣x=10﹣3x；
②当1≤x＜2时，原式=x﹣1+2﹣x+3﹣x+4﹣x=8﹣2x；
③当2≤x＜3时，原式=x﹣1+x﹣2+3﹣x+4﹣x=4；
④当3≤x＜4时，原式=x﹣1+x﹣2+x﹣3+4﹣x=2x﹣8；
⑤当x≥4时，原式=x﹣1+x﹣2+x﹣3+x﹣4=3x﹣10．
故若原式=4，则属于第三种情况，
又x=3时也满足|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|=4．
所以x的取值范围是2≤x≤3．
10．解：过点A作AN⊥PB于N，连接AC，BD，
则AC=2，AN=PN=，
则BN=，
PB=PN+BN=，
△APC中，AP=1，AC=2，PC=，
∴（PA+PC）÷PB=（1+）÷=．
故答案为：．
11．解：由于每个开关闭合的可能性均为，则共有8种情况；
1、K1关、K2关、K3开；
2、K1关、K2关、K3关；
3、K1关、K2开、K3开；
4、K1关、K2开、K3关；
5、K1开、K2开、关K3；
6、K1开、K2关、K3关；
7、K1开、K2开、K3开；
8、K1开、K2开、K3关．
只有5、7、8电灯可点亮，可能性为．
12．解：如图，由勾股定理知，AC=5，
作出△ABC关于AB对称的△ABG，△ABC关于AC对称的△ACH，则点E关于AB的对称点为S，
关于AC的对称点为W，
当S，D，F，W在同一直线上，且点S与点E重合在点B，
点W在点H时，DE+EF+FD有最小值，根
据三角形的面积公式可求得AC边上的高为，
故DE+EF+FD的最小值=2×=．
13．解：（1）x1＜x2＜x3＜x4，x1＜x3＜x2＜x4，x1＜x3＜x4＜x2，x3＜x4＜x1＜x2，x3＜x1＜x4＜x2，x3＜x1＜x2＜x4；
（2）上述6种情况中第3，6种情况不可能出现．否则，两个函数的对称轴相同，则a=﹣4，从而x1=x3，x2=x4，这与题意不符，
在其他4种情况中，都有|x2﹣x1|=|x4﹣x3|，因此有，即a=0或﹣4（舍去），经检验a=0满足题意．
14．解：（1）∵AF∥CD，
∴四边形AFCD为平行四边形，
∴，
∴F是BC的中点，
∴H为BD中点，
又∵E是AB的中点，故G为△ABD的重心，因此．（3分）
∴，，．（6分）
（2）作BK∥AF交ED于K，
则△KEB≌△GEA，
∴AG=KB，
∴．（9分）
∴S△ABD：S△BCD=1：m，
∴．，
．（12分）
即为整数，因为180=22×32×5，所以m+1=2，3或6．
经验证，m+1=3或6，即m=2或5．（15分）
15．解：（1）
（2）不能．因为不管如何操作，变换后的4个数仍然除4余2，不可能出现0．
（3）不能．如果3个奇数2个偶数的圈能变出5个奇数，由于这个操作的过程是可逆的，则5个奇数的圈通过有限次操作后能变成3个奇数2个偶数，但不管如何操作，5个奇数的圈变换后仍然是5个奇数，故要求的变换不能实现．
16．证明：如图，在上取点F，连接AF，BF，AO，BO，AD，AE，BE，则
∵A，D，B，F共圆，A，D，E，C共圆
∴∠AEC=∠ADC=∠F=∠AOB
∵AO=BO
∴
∴∠AEO=∠BEO=∠AEB
∴∠CEO=∠AEC+∠AEO=（∠AOB+∠AEB）=90°
∴OE⊥EC．
17．解：（1）若n=m=0，则方程化为x3﹣3x2+3x﹣1=0，即（x﹣1）3=0．所以x1=x2=x3=1．
（2）方程化为（x﹣1）（x2﹣2•3m x+5n）=0
设方程x2﹣2•3m x+5n=0的两个解为x1，x2．
则．
当m=n=1时，方程的三个根均为整数；
（3）设9m﹣5n=k2（其中k为整数）
所以9m﹣k2=5n，即（3m﹣k）（3m+k）=5n，
不妨设（其中i+j=n，i，j为非负整数），
因此：2•3m=5j（5j﹣i+1），
又∵5不能整除2•3m，
∴i=0，因此有2•3m=5n+1，
要使三根均为整数，则只有一组正整数m=n=1，此时x1=x2=1，x3=5．。