高考数学试卷(二)

三台县芦溪中学2010级高三复习数学同步练习
——三角函数（二）
班级： 姓名： 总分：
命题人：邓少奎
一、选择题
1．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭
⎫2x －π
2，x ∈R ，则f (x )是( )
A ．最小正周期为π的奇函数
B ．最小正周期为π的偶函数
C ．最小正周期为π2的奇函数
D ．最小正周期为π
2
的偶函数
2．(2011·天津高考)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π
2
时，f (x )取得最大值，则( )
A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数
B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数
C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数
D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数
3．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π12个单位，得到函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫
0<φ<π2的图象，则φ＝( )
A.π3
B.π4
C.π
6
D.π
12
4．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭
⎫ωx ＋π
3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )
A ．关于直线x ＝π3对称
B ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称
C ．关于直线x ＝－π6对称
D ．关于点
⎝⎛⎭⎫π6，0对称 5．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π
2)的图象如图所示，则
当t ＝1
100
秒时，电流强度是( )
A ．－5安
B ．5安
C ．53安
D ．10安 6．函数y ＝2sin x －1的定义域为( )
A.⎣⎡⎦⎤π6，5π6
B.⎣⎡⎦⎤2k π＋π6，2k π＋5π
6(k ∈Z) C.⎝⎛⎭⎫2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z) D.⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋5π6(k ∈Z) 7．下列区间是函数y ＝2|cos x |的单调递减区间的是( )
A ．(0，π) B.⎝⎛⎭⎫－π2，0 C.⎝⎛⎭⎫3π2，2π D.⎝⎛⎭
⎫－π，－π2 8．如图所示，点P 是函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0)的图象的最高点，M 、N 是图象与x 轴的
交点，若PM ·PN
＝0，则ω＝( )
A ．8 B.π8 C.π
4 D ．4
二、填空题
9．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈[0，π
2]时，
f (x )＝sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫
5π3的值为________．
10．给出下列六种图象变换方法：(1)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的1
2；(2)图
象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍；(3)图象向右平移π3个单位；(4)图象向左平移
π
3个单位；(5)图象向右平移2π3个单位；(6)图象向左平移2π
3
个单位．
请用上述变换中的两种变换，将函数y ＝sin x 的图象变换到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫
x 2＋π3的图象，那么这两种变换正确的标号是________(要求按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可)． 三、解答题
11．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )的图象的一条对称轴是直线x ＝π8.
(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调递增区间．
12．已知函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫
12x －π4，(1)用五点法作出函数的图象； (2)说明此图象是由y ＝sin x 的图象经过怎么样的变化得到的；
(3)求此函数的振幅、周期和初相；(4)求此函数图象的对称轴方程、对称中心．
答案
1.解析：∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－cos 2x ，∴T ＝2π
2，且f (x )为偶函数．答案：B
2.解析：∵f (x )的最小正周期为6π，∴ω＝13，∵当x ＝π
2时，f (x )有最大值，
∴13×π2＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，φ＝π3＋2k π，∵－π＜φ≤π，∴φ＝π
3
. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π
3，由此函数图象易得，在区间[－2π，0]上是增函数，而在区间[－
3π，－π]或[3π，5π]上均没单调性，在区间[4π，6π]上是单调增函数．答案：A
3.解析：将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π12个单位，得到函数y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＝sin
⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象，故φ＝2k π＋π6k ∈Z)，又0<φ<π2，所以φ＝π
6
.答案：C
4.解析：由题意知T ＝2πω＝π，则ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，又f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫23π＋π3＝sin π＝0.答案：B
5.解析：由函数图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100.∴T ＝150＝2π
ω，∴ω＝100π.
∴I ＝10sin(100πt ＋φ)．又∵点⎝⎛⎭⎫1300，10在图象上，∴10＝10sin ⎝⎛⎭⎫100π×1300＋φ ∴π3＋φ＝π2，∴φ＝π6，∴I ＝10sin ⎝⎛⎭⎫
100πt ＋π6.
当t ＝1100时，I ＝10sin ⎝⎛⎭
⎫100π×1100＋π
6＝－5.答案：A
6.解析：由2sin x －1≥0得sin x ≥12，所以2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π
6，k ∈Z.
即函数的定义域为⎣⎡2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z)．答案：B
7.解析：作出函数y ＝2|cos x |的图象，结合图象判断．答案：D
8.解析：由PM ·PN
＝0得PM ⊥PN ，又PM ＝PN ，
所以△PMN 为等腰直角三角形，因此MN ＝2y P ＝4，T ＝8＝2πω，得ω＝π
4.
答案：C
9.解析：f ⎝⎛⎭⎫5π3＝f ⎝⎛－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3＝32.答案：3
2
10.解析：y ＝sin x ――→(4) y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3――→(2)
y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3，或y ＝sin x ――→(2) y ＝sin 12x ――→(6) y ＝sin 12⎝⎛⎭⎫x ＋2π3＝sin
⎝⎛⎭⎫x 2＋π3.答案：(4)(2)或(2)(6) 11.解：(1)∵x ＝π8是函数y ＝f (x )的图象的对称轴，∴sin ⎝⎛⎭⎫2×π
8φ＝±
1. ∴π4φ＝k π＋π2，k ∈Z.∴φ＝k π＋π4，k ∈Z.又∵－π<φ<0，∴φ＝－3π
4(2)由(1)知y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －
3π4，由题意得2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π
2
k ∈Z ， ∴k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z.∴函数y ＝sin(2x －3π4)的单调递增区间为⎣⎡⎦
⎤k π＋π8，k π＋5π
8，k ∈Z.
12.解：(1)列表：
(2)“先平移，后伸缩”．
先把y ＝sin x 的图象上所有点向右平移π4个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象；再把y ＝sin
⎝⎛⎭⎫x －π4的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫
12－π4的图象，最后将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到
y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫
12x －π4的图象．
(3)周期T ＝2πω＝2π12
＝4π，振幅A ＝3，初相是－π4
.
(4)令12－π4＝π2＋k π(k ∈Z)，得x ＝2k π＋3
2
k ∈Z)，此为对称轴方程．
令12x －π4＝k π(k ∈Z)，得x ＝π2＋2k π(k ∈Z)．对称中心为⎝⎛⎭⎫2k π＋π
2，0(k ∈Z)．
一、选择题
4．若函数y ＝2cos ωx 在区间[0，2π
3]上递减，且有最小值1，则ω的值可以是( )
A ．2 B.1
2
C ．3 D.1
3
解析：由y ＝2cos ωx 在[0，23π]上是递减的，且有最小值为1，则有f ⎝⎛⎭⎫23π＝1，即2×cos(ω×2
3π)
＝1⇒cos 2π3ω＝1
2
检验各数据，得出B 项符合．
答案：B
3．为把函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图象向左平移π
4
个单位，这时对应于这个图象的解析式( )
A ．y ＝cos 2x
B ．y ＝－sin 2x
C ．y ＝sin(2x －π4)
D ．y ＝sin(2x ＋π
4
)
解析：函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩为原来的一半得到函数y ＝sin 2x 的图象，再把图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝sin ⎝⎛⎭
⎫2x ＋π
2＝cos 2x 的图象．
答案：A
3．已知圆的半径为4，a 、b 、c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为( )
A ．2 2
B ．8 2 C. 2 D.22
解析：∵
a sin A ＝
b sin B ＝
c sin C ＝2R ＝8，∴sin C ＝c 8
. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝116abc ＝1
16×162＝ 2.
答案：C
10．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭
⎫
ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离
为22，则ω＝________.
解析：由已知两相邻最高点和最低点的距离为22，而f (x )max －f (x )min ＝2，由勾股定理可得T
2＝
(22)2－22＝2，∴T ＝4，∴ω＝2πT ＝π
2
. 答案：π
2
11．已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x . (1)求f (x )的最小正周期；
(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤
－
π6，π2上的最大值和最小值． 解：(1)∵f (x )＝2sin(π－x )cos x ＝2sin x cos x ＝sin 2x ∴函数f (x )的最小正周期为π. (2)∵－π6≤x ≤π
2
∴－π3≤2x ≤π，则－3
2
≤sin 2x ≤1.
所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π2上的最大值为1，最小值为－32.。