湖南省常德一中2016-2017学年高一下学期期中数学试卷Word版含解析

2016-2017学年湖南省常德一中高一（下）期中数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1．sin390°的值为（）
A．B．C．D．
2．已知向量=（1，2），=（x，﹣4），若∥，则•等于（）
A．﹣10 B．﹣6 C．0 D．6
3．设四边形ABCD中，有=且||=||，则这个四边形是（）
A．平行四边形B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形
4．已知tan（α+β）=3，tan（α﹣β）=5，则tan（2α）的值为（）
A．B．C．D．
5．将分针拨慢5分钟，则分钟转过的弧度数是（）
A．B．﹣C．D．
6．要得到函数y=cos2x的图象，只需将y=cos（2x+）的图象（）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
7．向量=（﹣2，﹣1），=（λ，1），若与夹角为钝角，则λ取值范围是（）
A．（，2）∪（2，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣，+∞） D．（﹣∞，﹣）
8．函数的图象（）
A．关于原点对称 B．关于点（﹣，0）对称
C．关于y轴对称 D．关于直线x=对称
9．已知O，N，P在所在△ABC的平面内，且=，且
，则O，N，P分别是△ABC的（）
A．重心外心垂心 B．重心外心内心
C．外心重心垂心 D．外心重心内心
10．函数y=的定义域是（）
A．B．
C．D．
11．函数的部分图象如图所示，
如果，且f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）=（）
A．B．C．D．1
12．使函数y=sin（2x+θ）+cos（2x+θ）为奇函数，且在上是减函数的θ一个值为（）
A．B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知sinα+cosβ=，sinβ﹣cosα=，则sin（α﹣β）= ．
14．与向量=（3，4）垂直的单位向量为．
15．已知函数f（x）=sin2x+kcos2x的一条对称轴方程为，则k= ．
16．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°．如图所示，点C在以O为
圆心的圆弧上变动．若，其中x，y∈R，试求x+y的最大值．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．已知tanx=2，
（1）求的值．
（2）求2sin2x﹣sinxcosx+cos2x的值．
18．已知||=4，||=3，（2﹣3）•（2+）=61，
（1）求•的值；
（2）求与的夹角θ；
（3）求|+|．
19．如图，以Ox为始边作角α与β（0＜β＜α＜π），它们的终边分别与单位圆相交于点
P，Q，已知点P的坐标为．
（1）求的值；
（2）若，求sin（α+β）．
20．已知=（sinωx，cosωx），=（sinωx+2cosωx，cosωx），x∈R，ω＞0，记f（x）
=且该函数的最小正周期为．
（1）求ω的值；
（2）求函数f（x）的最大值，并且求使f（x）取得最大值的x的集合．
21．已知角A，B，C为△ABC的三个内角，其对边分别为a，b，c，若=（﹣cos，sin），
=（cos，sin），a=2，且•=．
（1）若△ABC的面积S=，求b+c的值．
（2）求b+c的取值范围．
22．已知向量=（cosα，sinα），=（cosx，sinx），=（sinx+2sinα，cosx+2cosα），其中0＜α＜x＜π．
（1）若，求函数f（x）=•的最小值及相应x的值；
（2）若与的夹角为，且⊥，求tan2α的值．
2016-2017学年湖南省常德一中高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1．sin390°的值为（）
A．B．C．D．
【考点】GO：运用诱导公式化简求值．
【分析】390°=360°+30°，直接利用诱导公式转化为锐角的三角函数，即可得到结论
【解答】解：利用诱导公式可得：sin390°=sin=sin30°=
故选D．
2．已知向量=（1，2），=（x，﹣4），若∥，则•等于（）
A．﹣10 B．﹣6 C．0 D．6
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】根据∥，可得﹣4﹣2x=0，解得x=﹣2，则•=x﹣8，运算求得结果．
【解答】解：∵向量=（1，2），=（x，﹣4），∥，∴﹣4﹣2x=0，∴x=﹣2．
则•=x﹣8=﹣2﹣8=﹣10，
故选 A．
3．设四边形ABCD中，有=且||=||，则这个四边形是（）A．平行四边形B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形
【考点】93：向量的模；96：平行向量与共线向量．
【分析】根据向量平行（共线）的定义，若两个向量平行（共线）则表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合．两个向量的模相等则表示两个向量的有向线段长度相等．由此不难判断四边形ABCD的形状．
【解答】解：∵ =，
∴DC∥AB，且DC≠AB．
又||=||，
∴四边形为等腰梯形．
故选C
4．已知tan（α+β）=3，tan（α﹣β）=5，则tan（2α）的值为（）
A．B．C．D．
【考点】GR：两角和与差的正切函数．
【分析】由关系式2α=（α+β）+（α﹣β）及两角和的正切公式代入已知即可求值．
【解答】解：∵tan（α+β）=3，tan（α﹣β）=5，
∴tan（2α）=tan=
= =﹣，
故选：A．
5．将分针拨慢5分钟，则分钟转过的弧度数是（）
A．B．﹣ C．D．
【考点】G6：弧度制的应用．
【分析】利用分针转一周为60分钟，转过的角度为2π，得到10分针是一周的六分之一，进而可得答案．
【解答】解：∵分针转一周为60分钟，转过的角度为2π
将分针拨慢是逆时针旋转
∴钟表拨慢分钟，则分针所转过的弧度数为×2π=
故选：C．
6．要得到函数y=cos2x的图象，只需将y=cos（2x+）的图象（）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】我们可以选设出平移量为A，根据函数图象平移变换法则“左加右减”，我们可以根据平移前后函数的解析式，构造关于A的方程，解方程即可求出答案．
【解答】解：设将y=cos（2x+）的图象，向右平移A个单位长度后，得到函数y=cos2x 的图象
则cos=cos（2x）
易得A=
故选B
7．向量=（﹣2，﹣1），=（λ，1），若与夹角为钝角，则λ取值范围是（）
A．（，2）∪（2，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣，+∞）D．（﹣∞，﹣）【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】由于与夹角为钝角，可知=﹣2λ﹣1＜0，且与夹角不为平角，解出即可．
【解答】解：∵与夹角为钝角，∴ =﹣2λ﹣1＜0，解得λ，
当λ=2时，与夹角为平角，不符合题意．
因此（，2）∪（2，+∞）．
故选：A．
8．函数的图象（）
A．关于原点对称 B．关于点（﹣，0）对称
C．关于y轴对称 D．关于直线x=对称
【考点】H6：正弦函数的对称性．
【分析】将题中角：看成一个整体，利用正弦函数y=sinx的对称性解决问题．【解答】解：∵正弦函数y=sinx的图象如下：
其对称中心必在与x轴的交点处，
∴当x=﹣时，函数值为0．
∴图象关于点（﹣，0）对称．
故选B．
9．已知O，N，P在所在△ABC的平面内，且
=，且
，则O，N，P分别是△ABC的（）A．重心外心垂心 B．重心外心内心
C．外心重心垂心 D．外心重心内心
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】将条件分别化简，然后分别根据外心，重心，垂心和内心的定义，判断结论．将条件分别化简，然后分别根据外心，重心，垂心和内心的定义，判断结论．
【解答】解：因为且|=||=||，所以0到顶点A，B，C的距离相等，所以O为△ABC的外心．
由得（﹣）=0，即
•，所以AC⊥PB．
同理可证AB⊥PC，所以P为△ABC的垂心．
若++=0，则+=﹣，取AB的中点E，则
+=2=，所以2|NE|=|CN|，
所以N是△ABC的重心．
故选：C．
10．函数y=的定义域是（）
A．
B．
C．
D．
【考点】33：函数的定义域及其求法．
【分析】直接求无理式的范围，解三角不等式即可．
【解答】解：由2cosx+1≥0得，∴
，k∈Z．
故选D．
11．函数
的部分图象如图所示，如果
，且f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）=（）
A．B．C．D．1
【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．再由条件利用正弦函数的图象的对称性，求得f（x1+x2）的值．
【解答】解：根据函数
的部分图象，可得A=1，
==+，∴ω=2，
结合五点法作图可得2•（﹣）+φ=0，∴φ=，f（x）=sin（2x+）．
如果，且f（x1）=f（x2），结合2x+
∈（0，π），可得=，
∴x1+x2 =，∴f（x1+x2）=f（）=sin（+）=，
故选：C．
12．使函数y=sin（2x+θ）+cos（2x+θ）为奇函数，且在上是减函数的θ一个值为（）
A．B． C． D．
【考点】H3：正弦函数的奇偶性；H5：正弦函数的单调性．
【分析】利用两角和正弦公式化简函数的解析式为2sin（2x+θ+），由于它是奇函数，
故θ+=kπ，k∈z，由此排除C；
再逐一检验其它3个选项，可得结论．
【解答】解：∵函数
=2sin
（2x+θ+）是奇函数，
故θ+=kπ，k∈Z，θ=kπ﹣，故排除C．
若θ=，f（x）=2sin（2x+），不满足f（x）为奇函数，故排除A．
若θ=，f（x）=2sin（2x+π）=﹣2sin2x是奇函数；在上，2x∈，
满足f（x）在上是减函数，故B满足条件．
若θ=，f（x）=2sin（2x+2π）=2sin2x是奇函数；在上，2x∈，
f（x）在上是增函数，不满足在上是减函数，故排除D，
故选：B．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知sinα+cosβ=，sinβ﹣cosα=，则sin（α﹣β）= ﹣．
【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；GG：同角三角函数间的基本关系．
【分析】把已知的两等式左右两边平方，利用完全平方公式展开后，分别记作①和②，然后将①+②，左边利用同角三角函数间的基本关系及两角和与差的正弦函数公式化简，右边计算，整理后即可求出sin（α﹣β）的值．
【解答】解：∵sinα+cosβ=，sinβ﹣cosα=，
∴（sinα+cosβ）2=，（sinβ﹣cosα）2=，
即sin2α+2sinαcosβ+cos2β=①，sin2β﹣2sinβcosα+cos2α=②，
①+②得：sin2α+2sinαcosβ+cos2β+sin2β﹣2sinβcosα+cos2α
=（sin2α+cos2α）+（cos2β+sin2β）+2（sinαcosβ﹣sinβcosα）
=1+1+2sin（α﹣β）=2+2sin（α﹣β）=，
则sin（α﹣β）=﹣．
故答案为：﹣
14．与向量=（3，4）垂直的单位向量为 =（，﹣）或（﹣，） ．
【考点】95：单位向量；9T ：数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【分析】设向量的坐标为=（a ，b ），根据题意，
是单位向量，且与向量
=（3，4）垂
直，则有
，解可得a ，b 的值，进而可得答案．
【解答】解：设这个向量为=（a ，b ），
根据题意，有
，
解得：，或，
故答案为： =（，﹣）或（﹣，）．
15．已知函数f （x ）=sin2x+kcos2x 的一条对称轴方程为
，则k= ．
【考点】GL ：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．
【分析】利用辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin （ωx+φ）的形式，根据对称轴方程即可求出k 的值．
【解答】解：函数f （x ）=sin2x+kcos2x=，其中
tan θ=k ．
∵是其中对称轴，
∴2×，
∴θ=
，k ∈Z ．
那么：k=tan θ=tan （）=
．
故答案为：．
16．给定两个长度为1的平面向量和
，它们的夹角为120°．如图所示，点C 在以
O 为圆心的圆弧
上变动．若
，其中x ，y ∈R ，试求x+y 的最
大值．
【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．
【分析】建立坐标系，得出点的坐标，进而可得向量的坐标，化已知问题为三角函数的最值求解，可得答案．
【解答】解：由题意，以O为原点，OA为x轴的正向，建立如图所示的坐标系，
设C（cosθ，sinθ），0≤θ≤，…
可得A（1，0），B（﹣，），…
由得，x﹣y=cosθ， y=sinθ，…
∴y=sinθ，∴x+y=cosθ+sinθ=2sin（θ+），…
∴x+y的最大值是2．…
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．已知tanx=2，
（1）求的值．
（2）求2sin2x﹣sinxcosx+cos2x的值．
【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．
【分析】（1）表达式的分子、分母同除cosx，得到tanx的表达式，即可求出结果．
（2）利用sin2x+cos2x=1，在表达式的分母增加“1”，然后分子、分母同除cos2x，得到tanx 的表达式，即可求出结果．
【解答】解：（1）
（2）
=
18．已知||=4，||=3，（2﹣3）•（2+）=61，
（1）求•的值；
（2）求与的夹角θ；
（3）求|+|．
【考点】9Q：数量积的坐标表达式；93：向量的模；9S：数量积表示两个向量的夹角．
【分析】（1）利用向量的运算律：平方差公式将等式展开求出
（2）利用向量的数量积公式求出两向量的夹角余弦，进一步求出夹角．
（3）利用向量模的平方等于向量的平方，再利用向量的完全平方公式展开求出模．
【解答】解：（1）由得
（2）设与的夹角为θ，则
又0°≤θ≤180°∴θ=120°
（3）
19．如图，以Ox为始边作角α与β（0＜β＜α＜π），它们的终边分别与单位圆相交于点
P，Q，已知点P的坐标为．
（1）求的值；
（2）若，求sin（α+β）．
【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．
【分析】（1）根据三角函数定义得到角的三角函数值，把要求的式子化简用二倍角公式，切化弦，约分整理代入数值求解．
（2）以向量的数量积为0为条件，得到垂直关系，在角上表现为差是90°用诱导公式求解．
【解答】解：（1）由三角函数定义得，，
∴原式
=
；
（2）∵，∴
∴，∴
∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=．
20．已知=（sinωx，cosωx），=（sinωx+2cosωx，cosωx），x∈R，ω＞0，记f（x）
=且该函数的最小正周期为．
（1）求ω的值；
（2）求函数f（x）的最大值，并且求使f（x）取得最大值的x的集合．
【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；9R：平面向量数量积的运算．
【分析】（1）根据f（x）=，利用向量数量积的运算，可得f（x）的解析式，该函
数f（x）的最小正周期为．可得ω的值．
（2）根据三角函数的性质可得函数f（x）的最大值，以及f（x）取得最大值的x的集合．
【解答】解：（1）由题意，f（x）=，
即f（x）=sinωx•（sinωx+2cosωx）+cos2ωx=sin2ωx+1．
∵函数f（x）的最小正周期为．即
∴ω=4．
∴f（x）=sin8x+1．
（2）∵y=sin8x的最大值为1，此时8x=，k∈Z．
可得：x=，k∈Z．
∴函数f（x）的最大值为：1+1=2．
f（x）取得最大值的x的集合为{x|x=，k∈Z}．
21．已知角A，B，C为△ABC的三个内角，其对边分别为a，b，c，若=（﹣cos，sin），
=（cos，sin），a=2，且•=．
（1）若△ABC的面积S=，求b+c的值．
（2）求b+c的取值范围．
【考点】HX：解三角形．
【分析】（1）利用两个向量的数量积公式求出﹣cosA=，又A∈（0，π），可得A的值，由三角形面积及余弦定理求得 b+c的值．
（2）由正弦定理求得b+c=4sin（B+），根据B+的范围求出sin（B+）的范围，即可得到b+c的取值范围．
【解答】解：（1）∵=（﹣cos，sin），=（cos，sin），
且=（﹣cos，sin）•（cos，sin）=﹣cos2+sin2=﹣cosA=，
即﹣cosA=，又A∈（0，π），∴A=…．又由S△ABC=bcsinA=，所以bc=4．
由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cos=b2+c2+bc，∴16=（b+c）2，故 b+c=4．…
（2）由正弦定理得： ====4，又B+C=π
﹣A=，
∴b+c=4sinB+4sinC=4sinB+4sin（﹣B）=4sin（B+），
∵0＜B＜，则＜B+＜，则＜sin（B+）≤1，
即b+c的取值范围是（2，4]．…
22．已知向量=（cosα，sinα），=（cosx，sinx），=（sinx+2sinα，cosx+2cosα），其中0＜α＜x＜π．
（1）若，求函数f（x）=•的最小值及相应x的值；
（2）若与的夹角为，且⊥，求tan2α的值．
【考点】9J：平面向量的坐标运算．
【分析】（1）根据向量点乘表示出函数f（x）的解析式后令t=sinx+cosx转化为二次函数解题．
（2）根据向量a与b的夹角为确定，再由a⊥c可知向量a点乘向
量c等于0整理可得sin（x+α）+2sin2α=0，再将代入即可得到答案．
【解答】解：（1）∵=（cosx，sinx），
=（sinx+2sinα，cosx+2cosα），，
∴f（x）
=•=cosxsinx+2cosxsinα+sinxcosx+2sinxcosα=
．
令t=sinx+cosx（0＜x＜π），则t=，
则2sinxcosx=t2﹣1，且﹣1＜t＜．
则，﹣1＜t＜
．
∴时，，此时．
由于＜x＜π，故．
所以函数f（x）的最小值为，相应x的值为；
（2）∵与的夹角为，
∴
．
∵0＜α＜x＜π，∴0＜x﹣α＜π，∴．
∵⊥，∴cosα（sinx+2sinα）+sinα（cosx+2cosα）=0．
∴sin（x+α）+2sin2α=0，．
∴，
∴．
2017年6月13日。