+x全国模拟试卷郑州市数学卷

2004年3+X全国模拟试卷郑州市数学卷
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么
P(A + BJ -P CA) + P (B)
如果事件A、E相互独立，那么
P (A-B)= P (A) -P(B)
如果事件A*1次实验中发生的概率是F.那么在»次独立重复实验中这个事件惜好发生矗次的概率
P" (k)二UF
正梭锥、整的•面积公武
=討
其中丫r表示底嗇周炊、/表示斛高或母线北。

棧锥*圆雄的体积公養
V^ = ySh
箕中3表示底曲叔，£表示高°
sin a + sin j3 = 2 sin 衣』oos 弓；卩;
sin a - sin/J* 2cos a ^SLD G~O
第I卷(选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的)
1 .已知集合M={a, 0} , N={x | 2x
2 -5x<0 , x € z}，若MA ：：」，贝U a 等于()
5
A . 1
B . 2
C . 1 或2
D . 1 或一
2
2 •一枚硬币连掷三次至少出现一次正面的概率为()
7 3 c11
A B . C .D
8883
3
.已知 f (x)=ax 3 +3x 2
+2,若 f ' (-1)-4，贝U a的值等于()
19o10 c1613
A B . C D .
3333
4 .已知a、b是直线，a、3、是平面，给出下列命题：①a//a,a//3,aA3
=b，则a // b;② a 丄,B 丄，则a // B :③ a X a , b 丄3 , a 丄b,^ ^玄丄^ ;®>a // B , B // , a ± a，则a丄，其中错误的命题的序号是()
A .①
B .②
C .③
D .④
2 2
5 •已知双曲线等—+ ^=1的离心率e<2,则k的取值范围是()
4 k
A . k<0 或k>3
B . -3<k<0
C . -12<k<0
D . -8<k<3
—r —fc- —* —»
6 .若向量a =(COS a , sin a ) , b = (COS 3 , sin 3 )，则a 与b 一定满足()
-I- -I- —»—»——►
A . a与b的夹角等于a - 3
B . ( a + b)丄(a- b)
C . a // b
D . a 丄b
7 .下列命题中，使命题M是命题N成立的充要条件的一组命题是()
2 2
A . M：a>b; N: ac >bc
B . M a>b, c>d, N：a-d>b-c
C . M ： a>b>0, c>d>0, N ： ac>bd
D . M ： |a-b|=|a|+|b| , N ab wO
8 .如果一个圆锥中有三条母线两两所成的角均为
60°,那么这个圆锥的侧面展开图的圆
心角等于()
2、3
------------------- JI 3
9 .圆x 2+y 2 -4x-2y+c=0与y 轴交于A 、B 两点，圆心为P,若.APB=90 ,则c 的值为()
A . 8
B
.3
C
1 3 D .-3
10.数列
21,41, 3 9 6 1，… 27 ,2
n 1
3n ， •的
前
n 项和为 S n ，则n
■S 2的值等于
()
n
A . 1
B .0
C . 2
D
1
11.
设 f (x)=l+5x-IOx 2
+lOx 3-5x 4 +x 5，则，f (x)的反函数的解析式是 ()
A . f 」(x)=1+ 5 x
B . f 」(x)=1+ 5 X-2
C . f 」(x)=-1+ 5. x-2
D . f 」(x)=1- 5.X -2 12.
拟定从甲地到乙地通话 m 分钟的电话费由， f (m)=1.06(O. 5 •
[m]+1)(元)决定，其中
m>O [m]是大于或等于 m 的最小整数，(如[3]=3 , [3.8]=4 , [3.1]=4)，则从甲地到乙地通 话时间为5.5分钟的电话费为
()
A . 3.71 元
B . 3.97 元
C . 4.24 元
D . 4.77 元
第H 卷(非选择题，共90分)
二、 填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上 )
13 .某高校的某一专业从
8名优秀毕业生中选派 5名支援中国西部开发建设， 某人必须被
选派的种数是 __________________ .
3
14 .设抛物线y 2=4x 的一条弦AB 以P(- , 1)为中点，则该弦所在直线的斜率为 ______________ .
2
15 .已知两异面直线
a 、
b 所成的角为一，直线l 分别与a 、b 所成的角都是二，则二的
3
取值范围是 _______________________ .
16 .某地区重视环境保护，绿色植被面积呈上升趋势，经调查，从 1989年到1998年这
10年间每两年上升 2%, 1997年和1998年这两年种植植被
815X 104 m 2 ,当地政府决定今
后四年内仍按这一比例发展下去，那么从1999年到2002年种植植被面积为 ________ (保留整数). 三、 解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字证明，证明过程或演算步骤
)
A .二 B
,3 3
17.(本小题满分12分)
2 + x
已知函数f (x) : log a(0<a<1).
2 — x
(I) 试判断函数f (x)的奇偶性; -4 - / 8
(n )解不等式 f (x) > log a 3x.
18. (本小题满分12分)
2 江
5
已知△ ABC 中，.A 、. B 、. C 的对边分别是 a 、b 、c ,若C0& (…+A)+cosA=，
2
4
b+c= 3a ，求 A 、B 、C 的大小.
19.
(本小题满分12分，n 甲、n 乙两题请任选一
题
)
2 在三棱锥 P-ABC 中，PA=a, AB=AC=/2a , N PABN PAC=45 , cos Z BPC=
3
(I)D 是AB 上任意一点(D 与A 、B 不重合)，DE I PB 于E ,求证 AP//平面 DEC (n 甲)在(I)中，若D 是AB 的中点，求平面 PAC 与平面DEC 所成二面角的余弦值.
(n 乙)在(I)中，若D 是AB 的中点，求cos< CD , BE >.
20.(本小题满分12分)
某生产流水线.由于改进了设备，预计第一年产量的增长率为 率是前一年的一半.设原来的产量是a. 160%，以后每年的增长
(I)
写出改进设备后的第一年， 第二年，第三年的产量，并写出第n 年与第n-1年(n >2,
n € N)的产量之间的关系式；
(n )由于设备不断老化，估计每年将损失年产量的
5%，如此下去，以后每年的产量是
否始终是逐年提高？若是，请给予证明；若不是；请说明从第几年起，产量将比上一年减少
如图，在 Rt △ ABC 中，N BAC=90，A(- ，1)、B( J2，1)，S^ABC 二忑(平方 单位)，动点P 在曲线E(y >1 )上运动•若曲线 E 过点C 且满足|PA|+|PB|的值为常数
(I)求曲线E 的方程：
(n )设直线l 的斜率为1,若直线I 与曲线E 有两个不同的交点 P 、Q,求线段PQ 的中点M 的 轨迹方程.
22.(本小题满分14分)
设函数f (x)=x- —，g(x)=2- —+
的定义域是
4 x
1
f (x)+g(x)有最小值m 且m>2+\ 7，求a 的取值范围. a
2004年3+X全国模拟试卷郑州数学卷参考答案
题号l234567891011 12答案C A B B C B D C D A B C
提示：L 2/-5j：<0=>0<x<p由疋2得工汀2,因为M(W趴所以】€"或2€皿，所以口= 1或厂2,故选G
2*用间接和至少岀现十次的辭"1七待Q =^f = |-故选。

J, / (±)二的？+ 3/+Rf (x) =3o? + 6野由f (T) =4fl3a (-l)2+ 6x (-1)= 忖4二岁故选Bo 4.4 p丄儿则MR或住刖相直所以②不正為ftlBo
5.j + = l可化为”咅二1表示双曲线祕5离心率g_^4+J ^<2=»t>-12>
所以・12<心故选：
6.因为00^+血召=曲卩+3；和=1,则由向量加减袪的几何竟义知(S+?) 1 故选
7.易排除A,乩C,事实匕|「火⑴+卜沪加+⑻当且仪当Z异号时等号成立, 所以制是耳的
充要条件，故选0
8•设圆链的母线檢为X底面圆半径为八则依题意有：底面囁的内接正三角形边长等干酵的母线氐Mr=^^I=V3r t所以圆駄面展开图的圆心角等于牛參二寥右故选心
' v3r 3
4 !H的方程可代为：G-2)1+ (厂= 令“0有($-1)2"弋(c<l)斗尸1士71'C1 ' AB I - 11 +
Vl~c- (1 - vT^c) ! = 2 -/1 ~c’ 崔R心APB 中t: AP| =
由勾股定理-IAPP+侮r ⑷出即2 (/F7)2=(2 vTJF令
C=-3r故选必
血S厂2* + 4寺+靖+…也*
-(2 + 4 + 6 + **■ + 2n) +{* + * +右+ "+ 占
+£ ]" =' +" + 宁="+ ”「盘+ £ 所以輒卜
1 3
卡卜9茶点卜1，故选扎
11.特值法：因为/(0) =1P所以厂| (!) =0.选乩
12.f (5 J) =1.D6X (0.5x [5,5] +1) =L06x (0.5X6+1) *24 (元)”故选心
二、13. 35； 14, 2； 15.y» y I 16- 1679万平方米。

»S： 13.由干某人必须就选駅则其余4人要从剰下的？人中选乳共有PA35种选派方法。

*他Vi-V, 4
1 nyi-y讦4 (可亠巧)n 二―一，囲为
P仕1)为馥AB的中点，所以川+ y广2,于昱该孩所在直线的斜率等于軒寺齐2。

15. O:异面直线所成的角的取值范褫仏y]o
16•从1999 ¥到2002年种植植被页积为：815只(1 + 2%) +815x (1 + 2%)^1 679万平方米°
14.设A (x n列),B (x2i d 由
三J7倚：(I) V / (-jr)=蚯占士二煽家二-log d / (x),盘吕＞0,即*2＜工＜2,
(I)ft (~2, 2)内是奇函扎
(0)依题意，得瓯吕^》瓯3触
:g＜h
护＞0,
Z P
Jr＞0,解乙得彳《F WI O
戸5
12 r
捷轧本题主要考査跚的奇偶也不等式的解法等知优考査基本运算能加
18•解;由co^^y +
A)+CO6A=*,得sii?A + cosA = *0
-\4cc62A-4cosA + l-0Q..cosA = y Q
TA是A ABC的内角,
，*■ A = y, 8+ C = yKo 由正孩定理，asinB +
sinC-/3sinA = |0
5分6分
12分
1分3分
5分
8^
4分 6井
8分
10分
75
AC
AC
6
9井
又D 是的中点* DE/7AP.则E 是PB 的中点，从而PE =令
0, 0)D
CD = AD
3“厂 ?分
PB 2 ^AP 2 + AB 2- 2AP A^^ZPAB 匸彳+ 2/ - 2a 仏'倉
0), AB-(|
三点的坐标分别为A (0, s Oh B
£是卩£的中点，且BE = jBF
沪养O 亍或C =『
握示：本题考査三角基本公式、正弦定屢、运用萤式进行三肃恒等变形的基本技能和基本运算能力 19. (I )证明；在^PAB 中，AP=ci. AB=ds ZPAB = 45\
:、AP 2 + PB 3-2a 2 = AB 2o
A^APB 是直偿三角形*且AP 丄PB 。

X AP. DE 都在平面PAB 内，且DE 丄Pfi,
:.AP//DK,做 A 尸〃乎面 DEC*
(H)在 ^FAC 中，同(I )理.得 API PC,而 PCAPB-P,
；.API 平面 PBC 0 R 平面PAC 与平面DEC 有一公共点C 「且肿〃平面DEC,设平面PAC(］平面DEC 期 cet t 且
AP//1.
二』丄平面PBC 于6
二兀丄匚CE 丄人从而ZFCE^为所求二面角F-f-E 的平面倩◎ 在 RgPAC 中，ZPAC = 45\ 故 PA^PC = fi,屁理 PBy
故所求二面常的余弦值为号f
(II 乙)如图，建立空间直角坐标系。

由已魁•得A"
从4
CD-BE
eos<CD. =
-A
ICDHBEI
2机号千 B 、C 是^ABC 的內悄 B'C 75 ◎ 45 \
l 7 T fl r
D 是AB 的中点，DE#AP “ 21
援示：本题主要考査线线、线面关系，二面角、余弦定理及向■数董积的坐标表示，考査推理论证能力、 基
本运算能力。

20.
解HI)设第加年的产童为％，则
a^a (1 + 160%),
ai = a (1 + 160%) (1 + 80%),
a 3 = a (1 + 160%) (1 + 80%) (1 + 40% },
叫岬…尸欝，计豁。

•5 =斗一1(1 +詰7乂 16曲)=%_丄1十寺乂十；)
(叮依题意，釘(1 + *只+ ) <1-5%)C
若以后每年的产■遂年减少*即術<叭-1，也即(l + yx —r;) (1-5%) <U
但 2J >y, 2'<y t 且心2」€N*
:、当 « -4>2F 即 n>6 时* 故从第6年起，产■比上一年减少。

援示：本題主要考査数列、不等式筹知识，考査运用数学知识解决实际问题的能力。

21. (I ) «： V|ABf=272, SnABC = ylACldABl-72*
A |AC| = U fi)BC|z = iAC|2+ IABI 1,从而丨BCI =3° XIPAI + IPB|= |AC| + !BC|=4>2^2J
二尸点在以A 、B 为焦点，半长轴为a = 2,半需距为c =72,半短勒为b=42的橢圆 E (y 鼻1)上。

化曲线E 的方程为召+ 咛上=1 ©21｝。

(K )设直线l'y- x + m t 代人E 的方程，消工，可狷3『“ 2 (rn + 2) > + m 2'2 = 0o 令/ (>) = 3?-2 (m+2)
方程f (>) =0t 有两个不小于1,且不相等的实根时，有
5+2)2-12 (d ・2) >0, / (0 - m 1-2m- 3^0, l<5y^<l+72,
没PQ 的中点为M (s y). P 、Q 两点的坐标分别为P (x H y 》，Q (帀，E ， .'*y =也，£'二岂尹金y < 1 + 将 m = 3y - 2 代人 y = x + m 得 y = ~ y x + 1 (壬冬了<1+普卜即为M 点的轨迹方程。

12分
提示：本題主要考査楠圆基本知识、直线与椭圆的关系等.考査分析问題、解决冋题的能力: 22* 解：TF (龙)=(x)十岸(工)、
BPF&）二午与+址丄2：
4Q x
:•函数f （比g （1）定义域为Q0,
•倆数F （工）的定义域为Q0。

3
分
%<0时，T<0, J 「l<0, z>o,则 F （J ）<2,与 F （X ）稣>2+為風
5
分
右分
2当0<口《+时，=^>0, 4^1<0,會数F仃）在j>0±是増函St BI IF （工）' m,
当I<I0时，有F仃）<F U）二讯与F （j）2桝矛氐7
分
3当滋4时・晋①4「1>0,函数F （工）在QQ上是减函数，即F （珀
-m.当龙>曲
亂有F（I）<F （z0）二加与F （工）矛盾心9
分
#54,此时护>0,4「叽
•••F （x）$2岳号+ 2 = 2严耳戶1 + 2。

当且仅当帑“吁，即" 輕乎% F⑴取解小值心輕晋日+ 2。

12分当»>2+^,有2輕可曰+ 2>2+仇
即（4-%4「1）斗髀*心14分提示：本题考査函数、不等式等知识，考査分析问题解决冋砒能力，分类讨论的思轧。