高考数学复习点拨：例谈三角函数隐含周期性问题

例谈三角函数隐含周期性问题
周期性是三角函数特有的一种性质，是研究三角函数图象及性质的重要工具，尤其一些问题中所隐含的周期性更成为解题的关键所在，本文给出几例，供大家参考.
例1 直线y a =（a 为常数）与正切曲线tan (0)y x ωωω=>为常数，且相交的相邻两点间的距离是 （ ）
A .π
B .2πω
C . πω
D .与a 值有关 解：由正切曲线的图象可知，直线y a =（a 为常数）与正切曲线tan (0)y x ωωω=>为常数，且相交的相邻两点间的距离恰好就是函数tan (0)y x ωω=>的最小正周期，为T πω=
，答案选C . 例2 设函数()4sin()25
x f x ππ=+，若对任意x ∈R ，都有12()()()f x f x f x ≤≤成立，则12||x x -的最小值是 .
解：由正弦曲线的图象可知，1()f x 、2()f x 分别是函数()4sin()2
5
x f x ππ=+的最小值、最大值，12||x x -的最小值就是相邻最小值、最大值横坐标之间的距离，等于函数的12
个周期，故12||x x -的最小值112222
2T ππ==⋅=. 例3 设点P 是函数()cos f x x ω=图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴的最小值是4
π，则ω= . 解：由余弦曲线的图象可知，函数()sin f x x ω=图象C 的一个对称中心到图象C 的对称轴的最小值就等于14个周期，即11244||4T ππω=⋅=，得2ω=±. 例3 为了使函数sin (0)y x ωω=>在区间[]0,1上至少出现50次最大值，则ω的最小值是 .
解：∵函数sin (0)y x ωω=>在区间[]0,1上至少出现50次最大值，
∴在区间[]0,1上至少含有149
4个周期.
∴1
197249144T πω=⋅≤，得1972ωπ≥，故ω的最小值是1972
π. 点评：函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+≠≠、cos()(0,0)y A x A ωϕω=+≠≠的周期公式是2||T πω=，函数tan()(0,0)y A x A ωϕω=+≠≠的周期公式||
T πω=.对于一些没有直接指出三角函数最小正周期的问题，关键是正确理解题意，通过数形结合，准确找出隐含的最小正周期的个数，将问题化归为我们熟悉的正弦函数、余弦函数及正切函数的最小正周期问题加以解决.因此，正确理解题意进行等价转化是解题的关键.。