人教版数学高一必修一同步训练 指数函数(二)

3.1.2 指数函数(二)
一、基础过关
1．⎝⎛⎭⎫1323，34，⎝⎛⎭⎫13－2的大小关系为
( )
A.⎝⎛⎭⎫1323<⎝⎛⎭⎫13－2<34
B.⎝⎛⎭⎫1323<34<⎝⎛⎭⎫13－2
C.⎝⎛⎭⎫13－2<⎝⎛⎭⎫1323<34
D.⎝⎛⎭⎫13－2<34<⎝⎛⎭⎫1323 2．若(12)2a ＋1<(12)3－
2a ，则实数a 的取值范围是
( )
A ．(1，＋∞)
B ．(1
2
，＋∞)
C ．(－∞，1)
D ．(－∞，1
2
)
3．函数y ＝a x 在上的最大值与最小值的和为3，则函数y ＝2ax －1在上的最大值是
( )
A ．6
B ．1
C ．3
D.32
4．已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )的图象如右图所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象是
( )
5．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．
6．函数y ＝1－3x (x ∈)的值域是________．
7．比较下列各组中两个数的大小： (1)0.63.5和0.63.7； (2)(2)－
1.2和(2)－1.4
；
(3)(32)13和(32)23
； (4)π－
2和(13
)－1.3.
8．函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间上的最大值比最小值大a
2，求a 的值．
二、能力提升
9．已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －
x ＋2(a >0，且a ≠1)．若 g (2)＝a ，则f (2)等于
( )
A ．2
B.15
4
C.17
4 D ．a 2 10．设13<(13)b <(1
3
)a <1，则
( )
A ．a a <a b <b a
B ．a a <b a <a b
C ．a b <a a <b a
D ．a b <b a <a a
11．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－2－
x ，则不等式f (x )<－12的解
集是________________．
12．已知f (x )＝a a 2－1(a x －a －
x )(a >0且a ≠1)，讨论f (x )的单调性．
三、探究与拓展
13．已知定义域为R 的函数f (x )＝b －2x
2x ＋a
是奇函数．
(1)求a ，b 的值；
(2)用定义证明f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．
(3)若对于任意t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的范围．
答案
1．A 2．B 3．C 4．A 5．19 6．
7．解 (1)考察函数y ＝0.6x . 因为0<0.6<1，
所以函数y ＝0.6x 在实数集R 上是单调递减函数． 又因为3.5<3.7，所以0.63.5>0.63.7. (2)考察函数y ＝(2)x . 因为2>1，
所以函数y ＝(2)x 在实数集R 上是单调递增函数． 又因为－1.2>－1.4，所以(2)－1.2>(2)－1.4.
(3)考察函数y ＝(3
2
)x .
因为3
2
>1，
所以函数y ＝(3
2)x 在实数集R 上是单调递增函数．
又因为13<23，所以(32)13<(32)23
.
(4)∵π－2＝(1π)2<1，(1
3)－1.3＝31.3>1，
∴π－2<(1
3)－1.3.
8．解 (1)若a >1，则f (x )在上递增，
∴a 2－a ＝a
2，
即a ＝3
2或a ＝0(舍去)．
(2)若0<a <1，则f (x )在上递减，
∴a －a 2＝a 2，即a ＝1
2
或a ＝0(舍去)．
综上所述，所求a 的值为12或3
2.
9．B 10．C 11．(－∞，－1)
12．解 ∵f (x )＝a a 2－1(a x －1
a x )，
∴函数定义域为R ，
设x 1，x 2∈(－∞，＋∞)且x 1<x 2，
f (x 1)－f (x 2)＝a a 2－1
(ax 1－1ax 1－ax 2＋1
ax 2)
＝
a a 2－1
(ax 1－ax 2＋1ax 2－1ax 1) ＝a
a 2－1
(ax 1－ax 2＋ax 1－ax 2ax 1ax 2)
＝a a 2－1
(ax 1－ax 2)(1＋1ax 1ax 2)．
∵1＋1ax 1ax 2>0，∴当a >1时，ax 1<ax 2，a
a 2－1>0，
∴f (x 1)－f (x 2)<0，f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )为增函数， 当0<a <1时，ax 1>ax 2，
a
a 2－1
<0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )为增函数，
综上，f (x )在R 上为增函数． 13．解 (1)∵f (x )为R 上的奇函数， ∴f (0)＝0，b ＝1.
又f (－1)＝－f (1)，得a ＝1. (2)任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则 f (x 1)－f (x 2)＝1－2x 12x 1＋1－1－2x 2
2x 2＋1
＝(1－2x 1)(2x 2＋1)－(1－2x 2)(2x 1＋1)(2x 1＋1)(2x 2＋1)
＝2(2x 2－2x 1)
(2x 1＋1)(2x 2＋1)， ∵x 1<x 2，∴2x 2－2x 1>0，
又(2x 1＋1)(2x 2＋1)>0，f (x 1)－f (x 2)>0. ∴f (x )为R 上的减函数．
(3)∵t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立， ∴f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )．
∵f (x )是奇函数，∴f (t 2－2t )<f (k －2t 2)，由于f (x )为减函数， ∴t 2－2t >k －2t 2.
即k <3t 2－2t 恒成立，而3t 2－2t ＝3(t －13)2－13≥－13，∴k <－1
3.。