1994年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案(理)

1994年普通高等学校招生全国统一考试
数学(理工农医类)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题共65分)
一、选择题：本大题共15小题；第(1)—(10)题每小题4分，第(11)—(15)题每小题5分，共65分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
(1) 设全集I ={0，1，2，3，4}，集合A ={0，1，2，3}，集合B ={2，3，4}，则B A ⋃
( )
(A) {0} (B) {0，1}
(C) {0，1，4}
(D) {0，1，2，3，4}
(2) 如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是 ( ) (A) (0，+∞)
(B) (0，2)
(C) (1，+∞)
(D) (0，1)
(3) 极坐标方程⎪⎭
⎫
⎝⎛-=θπρ4cos 所表示的曲线是 ( )
(A) 双曲线
(B) 椭圆
(C) 抛物线
(D) 圆
(4) 设θ是第二象限的角，则必有 ( )
(A) 2
ctg
2
tg
θ
θ
> (B) 2
ctg
2
tg
θ
θ
< (C) 2
cos
2
sin
θ
θ
>
(D) 2
cos
2
sin
θ
θ
<
(5) 某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)．经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成
( )
(A) 511个
(B) 512个
(C) 1023个
(D) 1024个
(6) 在下列函数中，以2
π
为周期的函数是 ( )
(A) y =sin2x +cos4x (B) y =sin2x cos4x (C) y =sin2x +cos2x
(D) y =sin2x cos2x
(7) 已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为
( )
(A) 323 (B) 283 (C) 243 (D) 203
(8) 设F 1和F 2为双曲线4
2
x －y 2=1的两个焦点，点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2=90°，
则△F 1PF 2的面积是
( )
(A) 1
(B)
2
5 (C) 2
(D)
5
(9) 如果复数z 满足│z +i │+│z －i │=2，那么│z +i +1│的最小值是 ( )
(A) 1
(B)
2
(C) 2
(D)
5
(10) 有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担．从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有
( )
(A) 1260种
(B) 2025种
(C) 2520种
(D) 5040种
(11) 对于直线m 、n 和平面α、β，α⊥β的一个充分条件是 ( ) (A) m ⊥n ，m ∥α，n ∥β (B) m ⊥n ，α∩β=m ，n ⊂α (C) m ∥n ，n ⊥β，m ⊂α
(D) m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β
(12) 设函数f (x )=1－21x -(－1≤x ≤0)，则函数y =f －
1(x )的图像是
( )
(13) 已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB =BC =CA =2，则球面面积是
( )
(A)
9
16π (B)
3
8π (C) 4π (D)
9
64π (14) 函数y =arccos(sin x )⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-
323ππ
x 的值域是
( )
(A) ⎪⎭⎫
⎝
⎛656ππ， (B) ⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡650π，
(C) ⎪⎭⎫
⎝
⎛323ππ， (D) ⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡326ππ，
(15) 定义在(－∞，+∞)上的任意函数f (x )都可以表示成一个奇函数g (x )和一个偶函数h (x )之和，如果f (x )=lg(10x +1)，x ∈(－∞，+∞)，那么
( )
(A) g (x )=x ，h (x )=lg(10x +10－
x +2)
(B) g (x )=
21[lg(10x +1)+x ]，h (x )=21
[lg(10x +1)－x ] (C) g (x )=2x ，h (x )=lg(10x +1)－2x
(D) g (x )=－2x ，h (x )=lg(10x +1)+2
x
第Ⅱ卷(非选择题共85分)
二、填空题 (本大题共5小题，共6个空格；每空格4分，共24分．把答案填在题中横线上)
(16) 在(3－x )7的展开式中，x 5的系数是 (用数字作答)
(17) 抛物线y 2=8－4x 的准线方程是 ，圆心在该抛物线的顶点且与其准线相切的圆的方程是
(18) 已知sin θ +cos θ =
5
1
，θ∈(0，π)，则ctg θ的值是_____________ (19) 设圆锥底面圆周上两点A 、B 间的距离为2，圆锥顶点到直线AB 的距离为3，AB 和圆锥的轴的距离为1，则该圆锥的体积为_________
(20) 在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n 次测量分别得到a 1，a 2，…a n ，共n 个数据，我们规定所测量物理量的“最佳近似值” a 是这样一个量：与其他近似值比较，a 与各数据的差的平方和最小．依此规定，从a 1，a 2，…，a n 推出的a =
三、解答题(本大题共5小题，共61分；解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤)
(21) (本小题满分11分) 已知z =1+i ．
(1)设ω=z 2+3z －4，求ω的三角形式；
(2)如果i z z b
az z -=+-++11
2
2，求实数a ，b 的值． (22) (本小题满分12分)
已知函数f (x )=tg x ，x ∈(0，
2π)．若x 1，x 2∈(0，2
π)，且x 1≠x 2，证明21
[f (x 1)+f (x 2)]>f (2
21x x +) (23) (本小题满分12分)
如图，已知A 1B 1C 1－ABC 是正三棱柱，D 是AC 中点． (1)证明AB 1∥平面DBC 1；
(2)假设AB 1⊥BC 1，求以BC 1为棱，DBC 1与CBC 1为面的二面角α的度数．
(24) (本小题满分12分)
已知直线l 过坐标原点，抛物线C 顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上．若点)0,1(-A 和点B (0，8)关于l 的对称点都在C 上，求直线l 和抛物线C 的方程．
(25) (本小题满分14分)
设{a n }是正数组成的数列，其前n 项和为S n ，并且对于所有的自然数n ，a n 与2的等差中项等于S n 与2的等比中项．
(1)写出数列{a n }的前3项；
(2)求数列{a n }的通项公式(写出推证过程)； (3)令()N ∈⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=++n a a a a b n n n n n 11
21，求().lim 21n b b b n n -+++∞→
1994年普通高等学校招生全国统一考试
数学试题(理工农医类)参考解答
一、选择题(本题考查基本知识和基本运算)
1．C 2．D 3．D 4．A 5．B 6．D 7．B 8．A 9．A 10．C 11．C 12．B 13．D 14．B 15．C
二、填空题(本题考查基本知识和基本运算
)
16．－189 17．x =3，(x －2)2+y 2=1 18．43- 19． π3
22 20．()n a a a n
+++ 211
三、解答题
21．本小题考查共轭复数、复数的三角形式等基础知识及运算能力． 解：(1)由z ＝1+i ，有 ω=z 2+3z －4 =(1+i )2+3()i +1－4 =2i +3(1－i )－4=－1－i ，
ω的三角形式是⎪⎭
⎫ ⎝⎛+ππ45sin 45cos 2i ． (2)由z =1+i ，有
()()()()1
111112
222++-+++++=+-++i i b
i a i z z b az z =
()()i
i a b a 2+++
()()i b a a +-+=2 由题设条件知(a +2)－(a +b )i =1－i ． 根据复数相等的定义，得⎩⎨
⎧-=+-=+1
)(1
2b a a
解得⎩
⎨⎧=-=.2,1b a
22．本小题考查三角函数基础知识、三角函数性质及推理能力． 证明：
tg x 1+tg x 2=
2
2
11cos sin cos sin x x x x +
2
12
121cos cos sin cos cos sin x x x x x x +=
()2
121cos cos sin x x x x +=
()()()
212121cos cos sin 2x x x x x x -+++=
∵x 1，x 2∈(0，
2
π
)，x 1≠x 2， ∴2sin(x 1+x 2)>0，cos x 1cos x 2>0，且0<cos (x 1－x 2)<1， 从而有0<cos (x 1+x 2)+cos (x 1－x 2)<1+cos (x 1+x 2)， 由此得tg x 1+tg x 2>()()
2121cos 1sin 2x x x x +++=
，∴21
( tg x 1+tg x 2)>tg 221x x +，
即
21
[f (x 1)+f (x 2)]>f (2
21x x +)
23．本小题考查空间线面关系、正棱柱的性质、空间想象能力和逻辑推理能力．
(1)证明：
∵A 1B 1C 1－ABC 是正三棱柱，∴四边形B 1BCC 1是矩形． 连结B 1C 交BC 1于E ，则B 1E =EC ．连结DE ． 在△AB 1C 中，∵AD =DC ，∴DE ∥AB 1．
又AB 1⊄平面DBC 1，DE ⊂平面DBC 1，∴AB 1∥平面DBC 1．
(2)解：作DF ⊥BC ，垂足为F ，则DF ⊥面B 1BCC 1，连结EF ，则EF 是ED 在平面B 1BCC 1上的射影．
∵AB 1⊥BC 1，
由(1)知AB 1∥DE ，∴DE ⊥BC 1，则BC 1⊥EF ，∴∠DEF 是二面角α的平面角． 设AC =1，则DC =
2
1
．∵△ABC 是正三角形，∴在Rt △DCF 中， DF =DC ·sin C =
4
3
，CF =DC ·cos C =41．取BC 中点G ．∵EB =EC ，∴EG ⊥BC ．
在Rt △BEF 中，
EF 2=BF ·GF ，又BF =BC －FC =
43，GF =4
1，
∴EF 2=43·41，即EF =43
．∴tg ∠DEF =
14
3
43
==EF DF ．∴∠DEF =45°． 故二面角α为45°．
24．本小题考查直线与抛物线的基本概念和性质，解析几何
的基本思想方法以及综合运用知识解决问题的能力．
解法一：依题设抛物线C 的方程可写为
y 2=2px (p >0)，
且x 轴和y 轴不是所求直线，又l 过原点，因而可设l 的方程为
y =kx (k ≠0)．
①
设A '、B '分别是A 、B 关于l 的对称点，因而A 'A ⊥l ，直线A 'A 的方程为
()11
+-
=x k
y ② 由①、②联立解得AA '与l 的交点M 的坐标为⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+-+-1112
2k k k ，． 又M 为AA '的中点，从而点A '的坐标为
x A '=1111122
22+-=+⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+-k k k ， y A '=120122
2+-=+⎪⎭
⎫
⎝⎛+-k k k k ． ③ 同理得点B '的坐标为
x B '=1162+k k ， y B '= ()
1
1
82
2+-k k ． ④ 又A '、B '均在抛物线y 2=2px (p >0)上，由③得
112122
22
2+-⋅=⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+-k k p k k ，由此知k ≠±1， 即 1
242
-=k k p ⑤
同理由④得(
)11621
1
822
22+⋅=⎪⎪
⎭
⎫ ⎝
⎛+-k k p k k ． 即 ()()
k
k k p 11
22
2
2+-=． 从而 1242-k k =()()k
k k 11222
2+-， 整理得 k 2－k －1=0． 解得.2
5
125121-=+=
k k ， 但当251-=
k 时，由③知05
5<-='A x ， 这与A '在抛物线y 2=2px (p >0)上矛盾，故舍去2
5
12-=
k ． 设251+=
k ，则直线l 的方程为x y 25
1+=． 将251+=
k 代入⑤，求得5
5
2=p ． 所以直线方程为
x y 2
5
1+=
． 抛物线方程为
x y 5
5
42=
． 解法二：设点A 、B 关于l 的对称点分别为A '(x 1、y 1)、B '(x 2，y 2)，则
|OA '|=|OA |=1，|OB '|=|OB |=8．
设由x 轴正向到OB '的转角为α，则
x 2=8cos α，y 2=8s in α． ①
因为A '、B '为A 、B 关于直线l 的对称点，而∠BOA 为直角，故∠B 'OA '为直角，因此 x 1=cos ⎪⎭⎫
⎝
⎛-
2πα=sin α，y 1=sin ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-2πα=－cos α， ②
由题意知x 1>0，x 2>0，故α为第一象限角． 因为A '、B '都在抛物线y 2=2px 上，将①、②代入得
cos 2α=2p ·sin α，64sin 2α=2p ·8cos α．
∴8sin 3α=cos 3α， ∴2sin α=cos α， 解得 5
2cos 5
1sin ==
αα，．
将5
2cos 5
1sin ==
αα，代入cos 2α=2p sin α得
5
5
2sin 2cos 2=
=ααp ， ∴抛物线C 的方程为x y 5
5
42
=
． 因为直线l 平分∠B 'OB ，故l 的斜率 ⎪⎭
⎫
⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+
=42221πααπαtg tg k 251sin 1cos 2cos 12sin +=
-=⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
++⎪
⎭⎫ ⎝⎛
+=ααπαπα ∴直线l 的方程为x y 2
1
5+=
． 25．本小题考查等差数列、等比数列、数列极限等基础知识考查逻辑推理能力和分析问题与解决问题的能力．
解：(1)由题意，当n =1时有
1122
2
S a =+，S 1=a 1， ∴
1122
2
a a =+， 解得
a 1=2．
当n =2时有
2222
2
S a =+，S 2=a 1+ a 2，a 1=2代入，整理得 (a 2－2)2=16．
由a 2>0，解得 a 2=6． 当n =3时有
3322
2
S a =+，S 3=a 1+ a 2+ a 3，将a 1=2，a 2=6代入，整理得 (a 3－2)2=64．
由a 3>0，解得 a 3=10． 故该数列的前3项为2，6，10．
(2)解法一：由(1)猜想数列{a n }有通项公式a n =4n －2． 下面用数学归纳法证明数列{ a n }的通项公式是
a n =4n －2 (n ∈N )．
①当n =1时，因为4×1－2=2，又在(1)中已求出a 1=2，所以上述结论成立． ②假设n =k 时结论成立，即有a k =4k －2．由题意，有
k k S a 22
2
=+， 将a k =4k －2代入上式，得2k =
k S 2，解得S k =2k 2．
由题意，有
1122
2
++=+k k S a ，S k +1=S k +a k +1， 将S k =2k 2代入，得2
122⎪⎭
⎫ ⎝⎛++k a =2(a k +1+2k 2)，整理得21+k a －4 a k +1+4－16 k 2
=0．
由a k +1>0，解得a k +1=2+4k ．所以a k +1=2+4k =4(k +1)－2． 这就是说，当n =k +1时，上述结论成立． 根据①、②，上述结论对所有的自然数n 成立． 解法二：由题意，有
()N n S a n n ∈=+22
2，整理得S n =81
(a n +2)2，
由此得 S n +1 =
81
(a n +1+2)2， ∴a n +1= S n +1－S n =8
1
[(a n +1+2)2－(a n +2)2]，
整理得(a n +1+ a n )( a n +1－a n －4)=0，
更多内容见微信公众号或小编微信空间
微信公众号: 数学第六感 ； 微信号: AA-teacher 由题意知 a n +1+a n ≠0，∴a n +1－a n =4．
即数列{ a n }为等差数列，其中a 1=2，公差d =4．∴a n =a 1+(n －1)d =2+4(n －1)， 即通项公式为a n =4n －2．
(3)解：令c n =b n －1，则
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+=++22111n n n n n a a a a c ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=112121121221n n n n 121121+--=
n n ， b 1+b 2+…+b n －n =c 1+c 2+…+c n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛
-1211215131311n n 1
211+-=n ． ∴()11211lim lim 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+++∞→∞→n n b b b n n n。