湖北省武汉东西湖区七校联考2019-2020学年中考数学模拟试卷

湖北省武汉东西湖区七校联考2019-2020学年中考数学模拟试卷
一、选择题
1．在△ABC 中，AB=10，AC=2BC 边上的高AD=6，则另一边BC 等于（ ）
A ．10
B ．8
C ．6或10
D ．8或10
2．已知反比例函数2y -
x
=，点A （a-b ，2），B （a-c ，3）在这个函数图象上，下列对于a ，b ，c 的大小判断正确的是（ ）
A ．a ＜b ＜c
B ．a ＜c ＜b
C ．c ＜b ＜a
D ．b ＜c ＜a 3．若△ABC 的每条边长增加各自的50%得△A'B'C'，若△ABC 的面积为4，则△A'B'C'的面积是（ ）
A.9
B.6
C.5
D.2
4．欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其扣，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．因曰：‘我亦无他，唯手熟尔．’”可见技能都能透过反复苦练而达至熟能生巧之境的．若铜钱是直径为4cm 的圆，中间有边长为1cm 的正方形孔，你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为（ ）
A.13
B.14
C.1π
D.14π
5．小明记录了昆明市年月份某一周每天的最高气温，如表： 最高气温
A.，
B.，
C.，
D.，
6．平方根和立方根都是本身的数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．±1
D ．0和±1 7．函数243y x x =---图象的顶点坐标是( ).
A ．（2，-1）
B ．（2，1）
C ．（-2，-1）
D ．（-2，1） 8．下列计算正确的是（ ）
A ．2﹣2＝﹣4
B ＝2
C ．2a 3+3a 2＝5a 5
D ．（a 5）2＝a 7
9．如图，4张如图1的长为a ，宽为b （a ＞b ）长方形纸片，按图2的方式放置，阴影部分的面积为S 1，空白部分的面积为S 2，若S 2＝2S 1，则a ，b 满足（ ）
A.a ＝32b
B.a ＝2b
C.a ＝52b
D.a ＝3b
10．如图，点M ，N 分别是正五边形ABCDE 的边BC ，CD 上的点，且BM ＝CN ，AM 交BN 于点P ，则∠APN 的度数为( )
A ．60°
B ．120°
C ．72°
D ．108°
11．已知a,b,c ∈R,且c≠0,则下列命题正确的是( )
A ．如果a>b,那么
a b c c > B ．如果ac<bc ，那么a<b C ．如果a>b,那么
11a b > D ．如果ac 2<bc 2，那么a<b 12．函数1(0)y x x =>与4(0)y x x
=>的图象如图所示，点C 是y 轴上的任意一点，直线AB 平行于y 轴，分别与两个函数图象交于点A 、B ，连结AC 、BC ．当AB 从左向右平移时，△ABC 的面积（ ）
A ．不变
B ．逐渐减小
C ．逐渐增大
D ．先增大后减小
二、填空题 13．抛物线y=（2x ﹣1）2+t 与x 轴的两个交点之间的距离为4，则t 的值是_____．
14．如图，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 于F ，AB=6，BC=8．若S △ABC =28，则DE= ．
15．n 边形的内角和等于540°，则n=_____．
16．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°,∠B ＝50°,△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△A′B′C，点B′恰好落在线段AB 上，AC 、A′B′相交于O ，则∠COA′的度数为_________．
17．我州矮寨特大悬索桥是目前世界上跨峡谷最长的钢桁梁悬索桥．这座连接吉首、茶峒两岸高山，横跨峡谷的悬索桥，破解五大世界难题，于2011年底通车，预计投资1650000000元，将这个数用科学记数法可表示为_____元（保留三个有效数字）．
18．已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为9cm，PA、PB为圆锥的两条相对的母线，AB为底面直径，C 为母线PB的中点，在圆锥的侧面上，从A到C的最短距离是_____cm．
三、解答题
19．用同样图案的正方形地砖（图1），可以铺成如图2的正方形和正八边形镶嵌效果的地面图案（地砖与地砖拼接线忽略不计）．已知正方形地砖的边长为a，效果图中的正八边形的边长为20cm．
（1）求a的值；
（2）我们还可以在正方形地砖上画出与图1不同的图案，使它能拼出符合条件的图2镶嵌效果图，请你按这个要求，在图3中画出2种与图1不同的地砖图案，并且所画的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
20．某数学小组到人民英雄纪念碑站岗执勤，并在活动后实地测量了纪念碑的高度，方法如下：如图，首先在测量点A处用高为1.5m的测角仪AC测得人民英雄纪念碑MN项部M的仰角为37°，然后在测量点B处用同样的测角仪BD测得人民英雄纪念碑MN顶部M的仰角为45°，最后测量出A，B两点间的距离为15m，并且N，B，A三点在一条直线上，连接CD并延长交MN于点E．请你利用他们的测量结果，计算人民英雄纪念碑MN的高度．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan35°≈0.75）
21．已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O，D为⊙O上一点，BD＝CB，DO的延长线交BC的延长线于点E．
(1)求证：BD是⊙O的切线；
(2)若DE＝8，EC＝4，求AB的长．
22．如图1，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点．点A 在x 轴的正半轴上，点A 的坐标为（10，
0）．一条抛物线214y x bx c =++经过O ，A ，B 三点，直线AB 的表达式为152
y x =+，且与抛物线的对称轴交于点Q ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，在A ，B 两点之间的抛物线上有一动点P ，连结AP ，BP ，设点P 的横坐标为m ，△ABP 的面积S ，求出面积S 取得最大值时点P 的坐标；
（3）如图3，将△OAB 沿射线BA 方向平移得到△DEF ，在平移过程中，以A ，D ，Q 为顶点的三角形能否成为等腰三角形？如果能，请直接写出此时点E 的坐标（点O 除外）；如果不能，请说明理由．
23．如图，ABC ∆的顶点是方格纸中的三个格点，请按要求完成下列作图，①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹.
（1）在图1中画出AB 边上的中线CD ；
（2）在图2中画出ABEF Y ，使得ABEF ABC S S ∆=.
24．有一块含30°角的直角三角板OMN ，其中∠MON ＝90°，∠NMO ＝30°，ON ＝，将这块直角三角板按如图所示位置摆放．等边△ABC 的顶点B 与点O 重合，BC 边落在OM 上，点A 恰好落在斜边MN 上，将等边△ABC 从图1的位置沿OM 方向以每秒1个单位长度的速度平移，边AB ，AC 分别与斜边MN 交于点E ，F （如图2所示），设△ABC 平移的时间为t （s ）（0＜t ＜6）．
（1）等边△ABC 的边长为 ；
（2）在运动过程中，当 时，MN 垂直平分AB ；
（3）当0＜t ＜6时，求直角三角板OMN 与等边△ABC 重叠部分的面积S 与时间t 之间的函数关系式．
25．设a ，b 是任意两个不等实数，我们规定满足不等式a≤x≤b 的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a ，b]．对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y 满足：当m≤x≤n 时，有m≤y≤n，我们就称此函数闭区间[m ，n]上的“闭函数”．如函数y ＝﹣x+4．当x ＝1时，y ＝3；当x ＝3时，y ＝1，即当1≤x≤3时，有1≤y≤3，所以说函数y ＝﹣x+4是闭区间[1，3]上的“闭函数”
（1）反比例函数2019y x
=是闭区间[1，2019]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由．
（2）若二次函数y＝x2﹣2x﹣k是闭区间[1，2]上的“闭函数”，求k的值；
（3）若一次函数y＝kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式（用含m，n的代数式表示）．
【参考答案】***
一、选择题
13．-16
14．4
15．5
16．60°
17．65×109
18．
三、解答题
19．（1）20；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据正方形和正八边形的性质及勾股定理作答；
（2）根据平面图形镶嵌的条件及轴对称图形，中心对称图形的定义作答．
【详解】
解：（1）2022020
a=+=，
（2）
【点睛】
本题难度较大,结合轴对称图形,中心对称图形考查了平面图形镶嵌的图案,同时考查了正方形和正八边形的性质及勾股定理.
20．人民英雄纪念碑MN的高度约为36.5米．
【解析】
【分析】
在Rt△MED中，由∠MDE＝45°知ME＝DE，据此设ME＝DE＝x，则EC＝x+15，在Rt△MEC中，由ME＝EC•tan∠MCE知x≈0.7（x+15），解之求得x的值，根据MN＝ME+EN可得答案．
【详解】
由题意得四边形ABDC、ACEN是矩形，
∴EN＝AC＝1.5，AB＝CD＝15，
在Rt△MED中，∠MED＝90°，∠MDE＝45°，
∴ME＝DE，
设ME＝DE＝x，则EC＝x+15，
在Rt△MEC中，∠MEC＝90°，∠MCE＝35°，
∵ME＝EC•tan∠MCE，
∴x≈0.7（x+15），
解得：x≈35，
∴ME≈35，
∴MN＝ME+EN≈36.5，
答：人民英雄纪念碑MN的高度约为36.5米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形中的仰俯角问题，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并利用解直角三角形的知识解题．
21．(1)证明见解析；(2)AB＝.
【解析】
【分析】
（1）连接OB，只要证明OD⊥BD，利用全等三角形的性质即可证明；
（2）设⊙O的半径为r．在Rt△OCE中，根据OE2＝EC2＋OC2，可得（8−r）2＝r2＋42，推出r＝3，由tan
∠E＝OC BD
CE DE
=，可得BD＝BC＝6，再利用勾股定理即可解决问题．
【详解】
解：(1)连接OB．
∵CB＝BD，BO＝BO，OC＝OD，
∴△OCB≌△OCD(SSS)，
∴∠OCB＝∠ODB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ODB＝90°，
∴OD⊥BD，
又∵OD是⊙O的半径，
∴BD是⊙O的切线．
(2)设⊙O的半径为r．
在Rt△OCE中，∵OE2＝EC2+OC2，∴(8﹣r)2＝r2+42，
∴r＝3，
∴AC＝6，
∵∠ODB＝∠OCE＝90°，
∴tan∠E＝OC BD CE DE
=，
∴3
48
BD =，
∴BD＝6，
∴BC＝6，
在Rt△ABC中，AB==
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．
22．（1）21542
y x x =-+；（2）当S 取得最大值16时，点P 的坐标为（6，6）；（3）以A ，D ，Q 为顶点的三角形能成为等腰三角形，点E 坐标为：E 1（21，12-
），E 2（15，52-），E 3（311124
,-），E 4（16，﹣3）． 【解析】
【分析】
（1）将点A 的坐标（10，0）．O （0，0）代入抛物线214y x bx c =
++，解出b ，c ，再代回，即可得抛物线的解析式；
（2）先将直线与抛物线解析式联立，解出点B 坐标，再设出点P 和点G 坐标，用相关点的横纵坐标表示线段长河高，从而可得面积的表达式，再从函数角度即可得解；
（3）利用勾股定理分别表示出AD 2，AQ 2，QD 2，再分AD ＝AQ ，AD ＝QD ，AQ ＝QD ，分别来求解，从而得点D 坐标，再将其横坐标加10，纵坐标不变即可得点E 的坐标．
【详解】
解：（1）∵抛物线214
y x bx c =++经过O ，A ，B 三点，点A 的坐标为（10，0）．O （0，0）， ∴210101040b c c
⎧=-⨯++⎪⎨⎪=⎩ ∴520
b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，
∴抛物线的表达式为：y ＝﹣14x 2+52
x ． （2）由21542152
y x x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩得﹣14x 2+52x ＝152x -+， ∴x ＝2或x ＝10，
∴点B （2，4）．
如图2，作PC ⊥x 轴于C 点，交AB 于点G ，
∵动点P 在抛物线上，直线AB 的表达式为152y x =-
+， ∴设P （m ，﹣
14m 2+52m ），G （m ，152m -+）， ∴PG ＝﹣
14m 2+3m ﹣5， ∴S ＝
12PG （x A ﹣x G ）+12PG （x G ﹣x B ）＝12（﹣14m 2+3m ﹣5）（10﹣2）＝﹣m 2+12m ﹣20＝﹣（m ﹣6）2+16，
∴当m ＝6时，S 最大＝16，
∴P （6，6）
答：当S 取得最大值时点P 的坐标为（6，6）．
（3）∵抛物线的对称轴为x ＝5，点Q 在直线152y x =-
+上， ∴Q 点坐标为（5，52
），D 点在过O 点且平行于AB 的直线y ＝12x 上，设D （a ，12a -）， ∴AD 2＝（10﹣a ）2+14a 2，AQ 2＝25+254＝1254，QD 2＝（a ﹣5）2+215()22
a -- ①当AD ＝AQ 时，（10﹣a ）2+
14a 2＝1254，解得a 1＝11，a 2＝5， ∴D 1（11，12-
），D 2（5，﹣52）； ∴E 1（21，12-），E 2（15，-52
）； ②当AD ＝QD 时，（10﹣a ）2+
14a 2＝（a ﹣5）2+215()22a --，解得a ＝112， ∴D 3（112，114-），E 3（312，114
-）； ③当AQ ＝QD 时，1254＝（a ﹣5）2+215()22
a --，解得a ＝6， ∴D 4（6，﹣3），E 4（16，﹣3） 综上所述，以A ，D ，Q 为顶点的三角形能成为等腰三角形，点E 坐标为：E 1（21，12-
），E 2（15，52-），E 3（312，114
-），E 4（16，﹣3）．
【点睛】
本题属于二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求解析式、直线与抛物线所形成的三角形面积的最大值问题、图形平移形成等腰三角形后相关点的坐标等问题，综合性比较强，难度较大．
23．（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用矩形的性质得出AB 的中点，进而得出答案．
（2）利用矩形的性质得出AC 、BC 的中点，连接并延长，使延长线段与连接这两个中点的线段相等.
【详解】
（1）如图所示：CD 即为所求
.
（2）
【点睛】
本题考查应用设计与作图，正确借助矩形性质和网格分析是解题关键．
24．（1）3；（2）3；（3
）22(03)(36)
t S t +<=-<<…. 【解析】
【分析】 （1）根据，∠OMN ＝30°和△ABC 为等边三角形，求证△OAM 为直角三角形，然后即可得出答案．
（2）易知当点C 与M 重合时直线MN 平分线段AB ，此时OB ＝3，由此即可解决问题；
（3）分两种情形分别求解：当0＜t≤3时，作CD ⊥FM 于D ．根据S ＝S △MEB ﹣2S △MDC ，计算即可．②当3＜t ＜6时，S ＝S △MEB ．
【详解】
解：（1）在Rt △MON 中，∵∠MON ＝90°，ON ＝
M ＝30°
∴OM
＝6，
∵△ABC 为等边三角形
∴∠AOC ＝60°，
∴∠OAM ＝90°
∴OA ⊥MN ，即△OAM 为直角三角形，
∴OA ＝12OM ＝12
×6＝3． 故答案为3．
（2）易知当点C 与M 重合时直线MN 平分线段AB ，此时OB ＝3，所以t ＝3．
故答案为3．
（3）易知：OM＝6，MN＝
，S△OMN＝
1
2
×6＝
∵∠M＝30°，∠MBA＝60°，
∴∠BEM＝90°．
①当0＜t≤3时，作CD⊥FM于D．
∵∠ACB＝60°，∠M＝30°，∠FCB＝∠M+∠CFM，∴∠CFM＝∠M＝30°，
∴CF＝CM，
∵CD⊥FM，
∴DF＝DM，
∴S△CMF＝2S△CDM，
∵△MEB∽△MON，
∴
2
MEB
MON
S BM
S MB
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，
∴S△MEB
2+
∵△MDC∽△MON，
∴
2
MDC
MON
S MC
S MN
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，
∴S△MDC
2+
∴S＝S△MEB﹣2S△MDC
＝﹣2
84
+．
②当3＜t＜6时，S＝S△MEB
＝2
822
-+，
综上所述，S
＝
2
2
(03)
(36)
t
t
+<
<<
…
．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了平移变换，等边三角形的性质和判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
25．（1）是；（2）k的值是﹣2；（3）y＝﹣x+m+n．
【解析】
【分析】
（1）根据反比例函数
2019
y
x
=的单调区间进行判断；
（2）由于二次函数y=x2-2x-k的图象开口向上，对称轴为x=1，所以二次函数y=x2-2x-k在闭区间[1，2]内，y随x的增大而增大．当x=1时，y=1，所以k=-2．当x=2时，y=2，所以k=-2．即图象过点（1，1）和（2，2），所以当1≤x≤2时，有1≤y≤2，符合闭函数的定义，所以k=-2．
（3）根据新定义运算法则，分两种情况：k＞0，k＜0，列出关于系数k、b的方程组，通过解该方程组
即可求得系数k、b的值，即可解答．
【详解】
解：（1）反比例函数
2019
y
x
=是闭区间[1，2019]上的“闭函数”，
理由：∵当x＝1时，y＝2019，当x＝2019时，y＝1，
∴反比例函数
2019
y
x
=是闭区间[1，2019]上的“闭函数”；
（2）∵二次函数y＝x2﹣2x﹣k＝（x﹣1）2﹣1﹣k，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，
∵二次函数y＝x2﹣2x﹣k是闭区间[1，2]上的“闭函数”，
∴当x＝1时，12﹣2×1﹣k＝1，得k＝﹣2，
即k的值是﹣2；
（3）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，
∴当k＞0时，
km b m kn b n
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
得
k1
b0
=
⎧
⎨
=
⎩
，
即此函数的解析式为y＝x；
当k＜0时，
km b n kn b m
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
得
k1
b m n
=-
⎧
⎨
=+
⎩
，
即此函数的解析式为y＝﹣x+m+n．
【点睛】
本题考查的是反比例函数的性质，解题的关键是弄清楚“闭函数”的定义．解题时，也要注意“分类讨论”数学思想的应用．。