江苏省2020届高三数学二轮专题训练 解答题(40)

江苏省2020届高三数学二轮专题训练：解答题（40）
本大题共6小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1．(本题满分14分)
已知二次函数f (x )=x 2
+mx+n 对任意x ∈R ，都有f (－x ) = f (2＋x )成立，设向量 →a = ( sinx , 2 ) ，→b = (2sinx , 12)，→c = ( cos 2x , 1 )，→
d =(1,2)，
（Ⅰ）求函数f (x )的单调区间；
（Ⅱ）当x ∈[0,π]时，求不等式f (→a ·→b )＞f (→c ·→
d )的解集.
2．(本题满分14分)
在如图的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE EB ⊥,//AD EF ，//EF BC ， 24BC AD ==，3EF =，2AE BE ==，G 是BC 的中点． (Ⅰ) 求证：//AB 平面DEG ； (Ⅱ) 求证：BD EG ⊥；
(Ⅲ)求多面体ADBEG 的体积.
3．(本题满分14分)
已知双曲线2
212
x y -=的两焦点为12,F F ，P 为动点，若124PF PF +=． （Ⅰ）求动点P 的轨迹E 方程；
（Ⅱ）若12(2,0),(2,0),(1,0)A A M -，设直线l 过点M ，且与轨迹E 交于R 、Q 两点，直线1A R 与2A Q 交于点S ．试问：当直线l 在变化时，点S 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条定直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由．
A D F
E B G C
A 1 2
4．(本题满分16分)
如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m ，圆心为O ，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离)(OB 即为2m ，在圆环上设置三个等分点A 1，A 2，A 3。

点C 为OB 上一点（不包含端点O 、B ），同时点C 与点A 1，A 2，A 3，B 均用细绳相连接，且细绳CA 1，CA 2，CA 3的长度相等。

设细绳的总长为y
（1）设∠CA 1O = θ (rad )，将y 表示成θ的函数关系式；
（2）请你设计θ，当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y 最小，并指明此时 BC 应为多长。

5．(本题满分16分)
已知，数列{}
n a 有p a a a ==21,（常数0>p ），对任意的正整数n n a a a S n +++=Λ21,，并有n S 满足2
)
(1a a n S n n -=。

（1）求a 的值；
（2）试确定数列{}
n a 是不是等差数列，若是，求出其通项公式。

若不是，说明理由； （3）令2
1
12+++++=
n n n n n S S S S p ，是否存在正整数M ，使不等式122n p p p n M +++-≤L 恒成立，若存在，求出M 的最小值，若不存在，说明理由。

6．(本小题满分16分) 已知函数()x
x
x f ln =
(1)求()x f 的单调区间；
(2)若关于x 的不等式mx x <ln 对一切[]()02,>∈a a a x 都成立，求m 范围；
(3)某同学发现：总存在正实数(),,b a b a <使a
b
b a =，试问：他的判断是否正确；
若正确，请写出a 的范围；不正确说明理由．
1．解；（1）设f (x )图象上的两点为A(－x ,y 1）、B(2＋x , y 2），因为(－x )＋(2＋x )
2=1
f (－x ) = f (2＋x )，所以y 1= y 2
由x 的任意性得f (x )的图象关于直线x =1对称，
∴x ≥1时，f (x )是增函数 ；x ≤1时，f (x )是减函数。

（2）∵→a ·→b =（sinx ，2）·（2sinx , 12
）=2sin 2
x ＋1≥1，
→
c ·→
d =（cos 2x ，1）·(1,2)=cos 2x ＋2≥1，
∵f (x )在是[1，+∞）上为增函数，∴f (→a ·→b )＞f (→c ·→d )⇔f (2sin 2
x ＋1)＞ f (cos 2x ＋2)
⇔ 2sin 2x ＋1＞cos 2x ＋2⇔1－cos 2x ＋1＞cos 2x ＋2
⇔ cos 2x ＜0⇔2k π＋2
π
＜2x ＜2k π＋23π,k ∈z ⇔k π＋4π＜x ＜k π＋43π, k ∈z ∵0≤x ≤π ∴4
π
＜x ＜43π 综上所述，不等式f (→a ·→b )＞f (→c ·→
d )的解集是：{ x |4
π＜x ＜43π } 。

2．解：(Ⅰ)证明：∵//,//AD EF EF BC ，∴//AD BC . 又∵2BC AD =,G 是BC 的中点， ∴//AD BG ，
∴四边形ADGB 是平行四边形，∴ //AB DG .
∵AB ⊄平面DEG ，DG ⊂平面DEG ，∴//AB 平面DEG . (Ⅱ)证明：∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，∴EF AE ⊥，
又,AE EB EB EF E ⊥=I ，,EB EF ⊂平面BCFE ，∴AE ⊥平面BCFE . 过D 作//DH AE 交EF 于H ，则DH ⊥平面BCFE . ∵EG ⊂平面BCFE ， ∴DH EG ⊥.
∵//,//AD EF DH AE ，∴四边形AEHD 平行四边形，∴2EH AD ==， ∴2EH BG ==，又//,EH BG EH BE ⊥， ∴四边形BGHE 为正方形，∴BH EG ⊥，
又,BH DH H BH =⊂I 平面BHD ，DH ⊂平面BHD ,∴EG ⊥平面BHD . ∵BD ⊂平面BHD , ∴BD EG ⊥.
(Ⅲ) ∵EF ⊥平面AEB ，//AD EF ，∴⊥EF 平面AEB ，
由（2）知四边形BGHE 为正方形，∴BC BE ⊥.
∴BEC D AEB D ADBEG V V V --+=AE S AD S BCE ABE ⋅+⋅=
∆∆31313
8
3434=+=， 3．解法一：
（Ⅰ）由题意知：1(F F ，又∵124PF PF +=，∴动点(,)P x y 必在以12,F F 为焦点，
长轴长为4的椭圆，∴a 2=
，又∵c =222b a c 1=-=．
∴椭圆C 的方程为2
22x y 14
+=．
（Ⅱ）由题意，可设直线l 为：1x my =+．
① 取m 0,=
得R ,Q 1,⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭
，直线1A R
的方程是y 直线2A Q
的方程是y =
交点为(1S .
若R 1,,Q ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭
，由对称性可知交点为(2S 4,. 若点S 在同一条直线上，则直线只能为:x 4=l ．
②以下证明对于任意的m,直线1A R 与直线2A Q 的交点S 均在直线:x 4=l 上．
事实上，由22
x y 1
4x my 1⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，得()22my 14y 4,++=即()
22m 4y 2my 30++-=，
记()()1122R x ,y ,Q x ,y ，则121222
2m 3
y y ,y y m 4m 4--+==++． 设1A R 与l 交于点00S (4,y ),由011y y ,42x 2=++得1
016y y .x 2
=+
设2A Q 与l 交于点00S (4,y ),''由022y y ,42x 2'=--得2
022y y .x 2
'=-
12
00126y 2y y y x 2x 2
'-=-
+-Q ()()
()()
1221126y my 12y my 3x 2x 2--+=
+-()
()()
1212124my y 6y y x 2x 2-+=
+-
()()
22
1212m 12m
m 4m 40x 2x 2---++=
=+-，
∴00y y '=，即0S 与0S '重合，
这说明，当m 变化时，点S 恒在定直线:x 4=l 上．
解法二：
（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）取m 0,=
得R ,Q 1,⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，直线1A R
的方程是y =+直线2A Q 的
方程是y =
交点为(1S . 取m 1,=得()83R ,,Q 0,155⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，直线1A R 的方程是11y x ,63=+直线2A Q 的方程是
1
y x 1,2
=-交点为()2S 4,1.∴若交点S 在同一条直线上，则直线只能为:x 4=l ．
以下证明对于任意的m,直线1A R 与直线2A Q 的交点S 均在直线:x 4=l 上．
事实上，由22
x y 1
4x my 1⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，得()22my 14y 4,++=即()
22m 4y 2my 30++-=，
记()()1122R x ,y ,Q x ,y ，则121222
2m 3
y y ,y y m 4m 4
--+==++． 1A R 的方程是()11y y x 2,x 2=++2A Q 的方程是()22y
y x 2,x 2=--
消去y,得()()12
12y y x 2x 2x 2x 2
+=-+-…………………………………… ①
以下用分析法证明x 4=时，①式恒成立。

要证明①式恒成立，只需证明12
126y 2y ,x 2x 2
=+-
即证()()12213y my 1y my 3,-=+即证()12122my y 3y y .=+……………… ②
∵()1212226m 6m
2my y 3y y 0,m 4m 4
---+=-=++∴②式恒成立． 这说明，当m 变化时，点S 恒在定直线:x 4=l 上．
解法三：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）由22
x y 1
4x my 1⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，得()22my 14y 4,++=
即()
22m 4y 2my 30++-=． 记()()1122R x ,y ,Q x ,y ，则121222
2m 3
y y ,y y m 4m 4
--+=
=++． 1A R 的方程是()11y y x 2,x 2=++2A Q 的方程是()22y
y x 2,x 2
=--
A 1
2
由()()11
22y y x 2,x 2y y x 2,x 2⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩
得()()1212y y x 2x 2,x 2x 2+=-+-
即()()()()21122112y x 2y x 2x 2y x 2y x 2++-=⋅+--()()()()21122112y my 3y my 12y my 3y my 1++-=⋅+--1221
21
2my y 3y y 23y y +-=⋅
+ 1122
11232m 2m 3y y m 4m 4242m 3y y m 4--⎛⎫
+-- ⎪++⎝⎭=⋅
=-⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭
g ． 这说明，当m 变化时，点S 恒在定直线:x 4=l 上．
4. （Ⅰ）解：在Rt △COA 1中，
θ
cos 2
1=
CA ，θtan 2=CO ， ………2分 θθ
tan 22cos 2
331-+⋅=+=CB CA y =
2cos )sin 3(2+-θθ（4
0π
θ<<）……7分
（Ⅱ）θ
θθθθθ222
/
cos 1
sin 32cos )sin )(sin 3(cos 2
-=----=y ，
令0='y ，则3
1
sin =θ ………………12分 当31sin >θ时，0>'y ；3
1
sin <θ时，0<'y ，
∵θsin =y 在]4
,
0[π
上是增函数
∴当角θ满足3
1
sin =
θ时，y 最小，最小为224+；此时BC 222-=m …16分
5.解：（1）由已知，得a a a a s ==-⋅=112
)
(1， ∴0=a （2）由01=a 得,2n n na S =
则2
)1(1
1+++=n n a n S ， ∴n n n n na a n S S -+=-++11)1()(2，即n n n na a n a -+=++11)1(2，
于是有n n na a n =-+1)1(，并且有12)1(+++=n n a n na ，
∴,)1()1(112n n n n na a n a n na -+=--+++即)()(112n n n n a a n a a n -=-+++， 而n 是正整数，则对任意N n ∈都有n n n n a a a a -=-+++112， ∴数列{}n a 是等差数列，其通项公式是p n a n )1(-=。

（3）∵(2)(1)(1)(1)22222(1)(2)(1)2222
n n n n p n np
n n p S p n np n n p n n +++-=∴=+=+-
++++ ∴n p p p p n 2321-++++Λ222222
(2)(2)(2)213242
n n n =+-++-+++--+L
2
2
1212+-
+-+=n n ； 由n 是正整数可得3221<-+++n p p p n Λ，故存在最小的正整数M=3，使不等式
122n p p p n M +++-≤L 恒成立。

6．（1）定义域()0,+∞ ()2
1ln 0x
f x x -'=
≥ ∴ln 1x ≤ ∴()f x 在(]0,e 递增，[),e +∞递减 （2）由题ln x
m x
>
○1()max 2ln 22e a a f x a ⎧≤⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ○2()max ln a e a f x a ≥⎧⎪⎨=⎪⎩ ○
3()max 21e
a e f x e ⎧<<⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴2e a ≤时，ln 22e m a >
a e ≥时，ln a
m e > 2
e
a e <<时，1m e
>。