专题06 解三角形与平面向量结合(解析版)

专题06 解三角形与平面向量结合
常见考点
考点一 结合向量坐标运算
典例1．在①(sin sin )()(sin sin )a A C b c B C -=-+，②2cos()3
b C a
c π
-=+， ③向量
(1cos )m B C =+与(,)n c b =-，且m n ⊥，三个条件中选一个填在下面试题的横线上，并加以解析. 在ABC 中，,,a b c 分别是内角,,A B C 所对的边，且________. （1）求角B 的大小;
（2）若ABC 是钝角三角形，且b =a c +的取值范围. 【答案】 （1）3
B π
=
（2） 【分析】
（1）选择第一个条件利用角化边，利用余弦定理解决，选择后两个条件都会边化角，用正弦定理解决；（2）利用正弦定理，将a c +用只含有一个角的三角函数表示即可. （1）
若选条件①，根据正弦定理得()()()a a c b c b c ，222a c ac b ， 由余弦定理可得，
2221cos 22
a c
b B a
c +-== ，又(0,)B π∈，则3B π=；
若选条件②，由正弦定理得，1
3
2sin (cos sin )sin sin 22
B C
C A C ，则
sin cos sin sin()sin B C B C B C C +=++sin sin cos sin B C C B C =+，(0,)C π∈，则
sin 0C ≠cos 1B B -=，则1sin()6
2
B π
-=，结合(0,)B π∈可得3
B π
=
；
若选条件③，m n ⊥，则0
(1cos )3sin m n c B b C ，由正弦定理得，
sin (1cos )
3sin sin 0C B B C
，(0,)C π∈，则sin 0C ≠cos 1B B -=，则1
sin()6
2
B π-=，
结合(0,)B π∈可得3
B π
=.
（2）
由正弦定理，sin sin sin
3
a c A C ==
2sin ,2sin a A c C ==，又
ABC 是钝角三角形，不妨设A 是钝
角，又23A C π+=
，于是223
A ππ<<，则有25366A πππ
<+<，13
sin()
(,)6
22
A
π
，于是22sin 2sin 2sin 2sin(
)3sin )36
a c A C A A A A A ππ
+=
+=+-==+∈即a c +∈. 变式1-1．在①2cos a B c =；②向量(),m a b c =-，(),n a b c b =-
+，m n ⊥；③tan tan A B +=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行求解．
问题：在ABC 中，a ，b
，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，已知a =3c =，D 为AC 边的中点，若______，求BD 的长度．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】答案不唯一，具体见解析. 【分析】
选①，由正弦定理边化角，由余弦定理求出cos C ，再借助余弦定理计算作答. 选②，由向量关系结合余弦定理求出角C ，再由正弦定理求角A 即可计算作答. 选③，切化弦求出角C ，由正弦定理求出角A ，再借助余弦定理计算作答. 【详解】
若选①：在ABC 中，因2cos a B c =，由正弦定理得2sin cos sin A B C =，
而()sin sin C A B =+，即有2sin cos sin cos cos sin A B A B A B =+，整理得()sin 0A B -=，
又A B ππ-<-<，则
0A B -=，即A B =，有b a ==2221
cos 22
a b c C ab +-
=
=-， 在BCD △
中，由余弦定理
2
2
2
2124BD C =+-=
⎝⎭
， 所以BD =
若选②：由m n ⊥，得0m n ⋅=，即()()()0a a b b c c b -+-+=，整理得2220a ab c b --+=， 在
ABC 中，由余弦定理得：2221
cos 22
a b c C ab +-=
=，而0C π<<，则
3C π=， 由正弦定理得3sin
3
π
=
，即1sin 2A =，由a =3c =可得：03
A C π<<=， 则6
A π
=
，有2π
π=--
=B A C ，因此有b D 为斜边AC 中点，
所以2
b
BD =
=
若选③：依题意，
sin cos cos sin cos cos A B A B A B +=
()sin A B C +=， 在ABC 中，()sin sin C A B =+，于是得
tan C =23
C π
=
，
由正弦定理得：32sin 3
=
π，解得1sin 2A =，由a =3c =可得：203
A C π<<=，则有6A π=，
从而有π
π6
B A C
，即b a ==
在BCD △中，由余弦定理得：2
2
22124BD C =+-=⎝⎭
，
所以BD =
变式1-2．已知ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a b c 、、，向量(4,1),
m =-2
(cos ,cos 2)2A n A =，且7
2
m n ⋅= . （1）求角A 的大小；
（2）若a =ABC 的面积的最大值. 【答案】
（1）3
π
（2【分析】
(1)先根据向量数量积的坐标运算列出方程，再用余弦的二倍角公式求出cos A ，即可求出角A 的大小；
（2）先结合余弦定理，用基本不等式求出bc 的最大值，最后套用面积公式即可. （1）
因为向量(4,1),m =-2
(cos
,cos 2)2A n A =，且72
m n ⋅=， 所以2
74cos
cos 222A A -= ，即72cos 2cos 22A A +-= 解得1
cos 2
A =， 又因为A 是三角形的内角，所以3
A π=
（2）
因为3
A π=
，a =2222cos a b c bc A =+-，
所以 223b c bc =+-，
所以3bc ≥，即3bc ≤，当且仅当b c =时取等号，
1
sin 2
ABC
S
bc A =，
当3bc =时，max
132ABC S =
⨯=
所以ABC 变式1-3．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量(cos(),sin())m A B A B =--，(cos ,sin )n B B =-，且3
5
m n ⋅=-.
（1）求sin A 的值；
（2）若a =5b =，求角B 的大小及向量BA 在BC 方向上的投影向量的模. 【答案】 （1）45
（2 【分析】
（1）利用三角恒等变换得出角A 的余弦值，再由平方关系求出A 的正弦值； （2）利用正余弦定理求出边c ，进而求出投影向量的模. （1）
解：由3
5
m n ⋅=-得
3
cos()cos sin()sin 5
A B B A B B ---=-
∴3cos()5A B B -+=-，即3cos 5
A =-
0A π<<
∴4sin 5A == （2）
解：由正弦定理
sin sin a b
A B
=，4sin 5A =
，a =5b =
∴4
5sin sin b A B a ⨯
===
a b >
∴A B >
∴4
B π
=
由余弦定理得：232256c c =++ 解得：1c =或7c =-（舍去）
则向量BA 在BC 方向上的投影向量的模为：
cos cos 122
B c B BA =⨯=⨯=
考点二 结合向量线性运算与数量积
典例2．在ABC .中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos cos b c C
a A
-=，3a =. （1）求角A ；
（2）若点D 在边AC 上，且12
33
BD BA BC =+，求BCD △面积的最大值. 【答案】
（1）3
π
（2【分析】
（1）利用正弦定理将
2cos cos b c C
a A
-=，化为2sin cos sin B A B =，由此即可求出结果； （2）由题意可知
13
CD CA =，进而可得13BCD ABC S S ==△△，再根据余弦定理和基本不等式可得
bc 的最大值，进而求出结果.
（1）
解：因为
2cos cos b c C
a A
-=，所以()2cos cos b c A a C -=， 所以()2sin cos sin cos cos sin sin sin B A A C A C A C B =+=+=， 因为sin 0B >，所以1cos 2
A =，因为()0,πA ∈，所以π3
A =. （2） 解：因为1233BD BA BC =
+，所以1
3
CD CA =；
所以11
sin 3
6
BCD ABC S S bc A ===
△△， 因为2222cos a b c bc A =+-，所以229b c bc bc =+-≥，当且仅当b c =时，等号成立，
所以BCD S =
≤
△BCD △
变式2-1．在ABC ∆中，若边,,a b c 对应的角分别为,,A B C ，且sin cos c C c A -． （1）求角A 的大小；
（2）若3,1c b ==，2BD DC =，求AD 的长度． 【答案】 （1）3
A π=
（2【分析】
（1）由正弦定理将边化角，再利用辅助角公式得到1
sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝
⎭
，即可求出A ；
（2）依题意可得12
33
AD AB AC =+，再根据平面向量数量积的运算律求出AD ，即可得解； （1）
解：因为sin cos c C c A =-，由正弦定理可得sin sin sin cos C A C C A =-
在ABC ，sin 0C >cos 1A A -=
∴2sin 16
A π⎛⎫-= ⎪⎝
⎭
，即1sin 62A π⎛
⎫-= ⎪⎝⎭
又()0,A π∈，∴5,
666
A πππ
⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭
∴6
6
A ππ
-=，∴3
A π=
（2）
解：∵AD AB BD =+且2BD DC =，
∴
212
333
AD AB BC AB AC =+=+， ∴2
2
2212144193131cos 339
9939AD AB AC π⎛⎫=+=⨯+⨯+⨯⨯⨯=
⎪⎝⎭ ∴19AD =
变式2-2．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos sin b C a B =， （1）求角B 的大小；
（2）若点D 在边AC 上，且AD =2DC ，BD =2，求ABC 面积的最大值． 【答案】 （1）120B =︒
（2【分析】
（1）由已知结合正弦定理得sin cos sin sin B C A C B =+
，而sin sin()A B C =+代入化简可得
tan B =B 的大小，
（2）由点D 在边AC 上，且AD =2DC ，可得2
3BD BA AD BA AC =+=+1233BA BC =+，平方化简后
可得224236a c ac +-=，再利用基本不等式可得18ac ≤，从而可求出面积的最大值 （1）
因为cos sin b C a B =，
所以由正弦定理得sin cos sin sin B C A C B =,
所以sin cos sin()sin B C B C C B =+，
所以sin cos sin cos cos sin sin B C B C B C C B =+，
所以cos sin sin 0B C C B =，
因为sin 0C ≠，所以tan B = 因为0180B ︒<<︒，所以120B =︒
（2）
因为点D 在边AC 上，且AD =2DC ， 所以23
BD BA AD BA AC =+=+
()
212
333
BA BC BA BA BC =+
-=+， 所以2
2
221214
4339
99BD BA BC BA BA BC BC ⎛⎫=+=+⋅+ ⎪⎝⎭,
所以2
2
14244cos
9939
c ac a π=++，即224236a c ac +-=， 因为2244a c ac +≥，所以4236ac ac -≤，即18ac ≤，当且仅当2a c =时取等号，
所以ABC 面积为1212sin
18sin 2
323ac ππ≤⨯=
2a c =，即3,6a c ==时取等号，
所以ABC 变式2-3．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且a c >.已知2BA BC ⋅=，1cos 3
B =，在下列条件①②③中选择能使三角形存在的一个条件，补充在下列的问题䦿，并求解.①2211a c +=；②
3b =；③AB 边上的高等于2.
（1）a 和c 的值； （2）()cos B C -的值. 选择___________.
（若选择多个符合题意的条件分别作答，按第一个计分.） 【答案】
（1）选条件②，3,2a c ==； （2）
2327
. 【分析】
(1)由给定条件求出ac =6，选择条件①，借助均值不等式判断无解；选择条件②，借助余弦定理计算即可；选择条件③，求出a ，不符合题意.
(2)由(1)求出cos B ，结合三角形内角和定理、三角恒等变形计算作答. （1）
在ABC 中，因2BA BC ⋅=，1cos 3
B =，则1cos 23
ac B ac ==，解得6ac =，
选择条件①，因0,0a c >>，则22
11
22
a c ac +≤
=，而1162>，即三角形不存在； 选择条件②，由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，即22
19263
a c =+-⨯⨯，整理得2213a c +=，
而a c >，解得3,2a c ==；
选择条件③，由1
cos 3
B =得sin B =2sin a B ==6c a ==>，与a c >矛盾，即三角形不存在，
所以选择条件②，3,2a c ==. （2）
由(1)知，3,2a c ==，3b =，则ABC 是等腰三角形，即有2C B π=-， 因此，()cos cos(3)cos(2)cos2cos sin 2sin B C B B B B B B B π-=-=-+=-+
22(2cos 1)cos 2sin cos B B B B =--+331123
3cos 4cos 34()3327
B B =-=⨯-⨯=，
所以()cos B C -的值23
27
.
巩固练习
练习一 结合向量坐标运算
1．在①2sin tan a B b A =，②1cos cos c a B A b b
-=-， ③向量()m a =与(cos ,sin )n A B =平行，三个条件中选一个填在下面试题的横线上，并加以解析. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，已知___________. （1）求A 的大小;
（2）若3ABC a S ==△，b c +的值. 【答案】
（1）3
π
（2）【分析】
（1）若选①，主要考察正弦定理；若选②，主要考察余弦定理；若选③，主要考察正弦定理与向量平行充要条件；
（2）由三角形面积公式得到b 、c 两边关系，再结合余弦定理解之即可. （1）
选条件①：2sin tan a B b A =，由正弦定理可知sin sin a B b A = 则tan 2sin 2sin b A =a B=b A ，即tan 2sin A =A 又在△ ABC 中，0A π<<，即sin 0A >， 故1
cos 2
A =，又0A π<<，故3
A π=
选条件②：1cos cos c a B A b b
-=- 根据余弦定理，上式可化为
22222222
22=
222c b a a c b b c a a b b b ac bc bc
-+-+--=⨯- 整理得2
2
2
b c a bc +-=，则2221
cos 222
b c a bc A bc bc +-=
== 又在△ ABC 中，0A π<<，故有 3
A π=
选条件③：向量()m a =与(cos ,sin )n A B =平行.
由 m n ∥，可得sin cos a B A =,
由正弦定理可知sin sin a B b A =，则有sin cos b A A =
即tan A =△ ABC 中，0A π<<，故有 3
A π=
（2）
由ABC S =
△11sin 22bc A ==，则3bc = 又在△ ABC 中，2222cos a b c bc A =+-, 即22229()3()9b c bc b c bc b c =+-=+-=+-
则2()18b c +=，故b c +=
2．在①
cos cos cos +=+a b c A B C ，②向量(,)m a c b =+与(,)n c a b c =--，且m n ⊥， ③cos a A =，三个条件中选一个填在下面试题的横线上，并加以解析. 在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为
,,a b c ，已知______.
（1）求角A 的大小;
（2）若ABC 的面积为1
8
abc ，求ABC 周长的取值范围.
（1）3
A π=
（2） 【分析】
（1）若选条件①或③，需要使用正弦定理进行边化角来处理，选择条件②用余弦定理即可；（2）先由面积的条件算出a ，此后利用余弦定理和基本不等式解决. （1）
若选条件①，根据正弦定理得,
sin sin sin cos cos cos A B C
A B C
+=+，整理得，sin cos sin cos sin cos sin cos A B A C B A C A +=+，即
sin cos sin cos sin cos sin cos A B B A C A A C -=-，也即sin()sin()A B C A -=-，由于,,A B C 是三角形内角，
只可能是A B C A -=-，即2A B C A π=+=-，3
A π=
；
若选条件②，则有0()()()m n c a c a b b c ，整理得222b c a bc +-=，由余弦定理得
2221
cos 22
b c a A bc +-=
=
，又(0,)A π∈，则3
A π=
；
若选条件③，由正弦定理，sin cos A A ==tan A =(0,)A π∈，则3A π=.
（2）
1
1
sin 28
ABC
S
bc A abc ，故4sin 4sin 233
a A π
，由三角形三边关系，b c a +>=
2a b c a ++>=2
222cos
3
b
c bc a π
，即2()12
3b c bc ，由基
本不等式可得，
2
2
3()()
1234
b
c b
c bc
，故2()48b c +≤，即b c +≤
b c ==43
63a
b
c
a
，综上可得，周长的取值范围是：.
3．在①向量(3,)m b a =与(cos ,sin )n A B =，且3m n c ⋅=，②
2cos cos c a A
b B
-=， ③sin sin 2b A a B =，三个条件中选一个填在下面试题的横线上，并加以解析. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为
,,a b c ，且___________.
（1）求角B 的大小;
（2）若,,a b c 成等差数列，且ABC ∆的周长为ABC ∆的面积.
（1）3
B π
=
（2【分析】
（1）若选条件①，利用向量的数量积公式、正弦定理以及三角恒等变换，可得
sin sin cos A B A B =，由此即可求出tan B ，进而求出角B 的大小；若选条件②，根据正弦定理
和三角恒等变换，得2sin cos sin C B C =，由此即可求出cos B ，进而求出角B 的大小；若选条件③，根据正弦定理和二倍角公式，得sin sin 2sin sin cos B A A B B =，由此即可求出cos B ，进而求出角B 的大小；
（2）由题意可知2a c b +=，再根据ABC ∆的周长为b = a c +=理，即可求出ac ，再根据1sin 2
ABC S ac B ∆=，即可求出结果. （1）
解：若选条件①，则有3cos sin m n b A a B ⋅=+=，
cos sin sin B A A B C +=，
∴()sin sin cos cos A B A B B A A B +=，
∵sin 0A ≠，∴sin B B =，∴tan B ∵0B π<<，∴3
B π
=
.
若选条件②，根据正弦定理得
2sin sin cos sin cos C A A
B B
-=，
2sin cos sin cos sin cos C B A B B A -=，
∴()2sin cos sin cos sin cos sin sin C B A B B A A B C =+=+=， ∵sin 0C ≠，∴1
cos 2
B =， ∵0B π<<，∴3
B π
=
.
若选条件③，根据正弦定理得sin sin sin sin 22sin sin cos B A A B A B B ==， ∵sin sin 0B A ≠，∴1cos 2
B =， ∵0B π<<，∴3
B π
=
.
（2）
解：∵,,a b c 成等差数列，∴2a c b +=，
又∵ABC 的周长为3a b c b ++==
∴b = a c +=
由余弦定理知()2
222222cos 3b a c ac B a c ac a c ac =+-=+-=+-， 解得7ac =，
∴11sin 72
2
ABC S ac B ∆==⨯. 4．在平面直角坐标系中xOy 中，ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B 为钝角，已知向量(),tan m a A =-，()1,n b =，且0m n ⋅=. （1）证明：π2
B A =+；
（2）1a =，b =ABC 的面积. 【答案】
（1）证明见解析；
（2 【分析】
（1）利用平面向量数量积的坐标表示，再结合正弦定理化边为角，同角三角函数基本关系、诱导公式即可求证；
（2）由0m n ⋅=可求得tan A 的值，进而可得角A ，再由（1）中结论可求得角B ，由三角形的内角和可得角C ，再由三角形的面积公式即可求解. （1）
向量(),tan m a A =-，()1,n b =，所以tan 0m n a b A ⋅=-=， 在ABC 中，由正弦定理
2sin sin a b
R A B
==（R 表示ABC 外接圆的半径）
所以2sin a R A =，2sin b R B =， 所以2sin 2si in co n s 0s R A R B A
A
⋅
-=， 因为sin 0A ≠，所以πcos sin 2
sin B A A ⎛⎫=± ⎝
=⎪⎭
，
因为B 为钝角，所以π2
B A =+. （2）
因为1a =，b =
所以tan 10m n a b A A ⋅=-=-=，可得tan A 因为0πA <<，所以π6
A =， 由（1）知：π2π2
3B A =+=
，可得π2πππ636C =--=，
所以ABC 的面积为111sin 1222ab C =⨯=
练习二 结合向量线性运算与数量积
5．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c cos )sin a b C c B -=. （1）求角B 的大小；
（2）若3,2a c ==，D 为边BC 上一点，1
5
CD DB =，求cos2ADC ∠的值. 【答案】 （1）3
B π
=
（2）17
- 【分析】
（1）由正弦定理化边为角，再利用三角恒等变换化简可求出tan B
（2）由余弦定理求出AD ，再由正弦定理求得sin BDA ∠=，即可求出. （1）
cos )sin a b C c B -=sin cos c B C -=，
sin sin cos -=A C B B C ，
cos cos sin sin cos B C C B C B B C -=，
cos sin sin 0C B C B -=，
因为sin 0C >，所以sin B B =，即tan B =
因为(0,)B π∈，所以3
B π
=；
（2）
因为1
3,5a CD DB ==，所以15,22
CD DB ==，
ABD △中，由余弦定理得，2
22551212222224AD ⎛⎫
=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭
，所以AD =
由正弦定理得
sin sin AD AB B BDA =∠，∴sin BDA ∠=， 故2
1cos 2cos(22)cos 212sin 7
ADC BDA BDA BDA π∠=-∠=∠=-∠=-.
6．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知22cos a b c B -=⋅. （1）求角C 的大小；
（2）若2a =，点D 在边AB 上，且2AD DB =，CD =b . 【答案】
（1）3
π
（2）2-【分析】
（1）利用正弦定理结合三角恒等变换即可求解； （2）利用平面向量的基本运算即可求出b 的值. （1）
解：因为22cos a b c B -=⋅，
由正弦定理得：2sin sin 2sin cos A B C B -=⋅① 又sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+ 所以①式可化为：2sin cos sin 0B C B -= 因为sin 0B ≠，所以1cos 2
C = 又因为C 是三角形内角，所以3
C π
=
（2）
解：因为2AD DB =， 所以()
2CD CA CB CD -=-
则12
33CD CA CB =+
所以
222144999CD CA CB CA CB =++⋅
由（1）知3
C π
=，又2a =，CD =
所以214834cos 9
9
9
3
b b π
=+⨯+⋅
即：24110b b +-=
解得2b =-2b =-
所以2b =-7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1cos 2
b a C
c =+． （1）求角A ；
（2）若3AB AC ⋅=，求a 的最小值． 【答案】 （1）π3
A =
（2【分析】
（1）利用正弦定理边化角，再利用三角形内角和定理将sin sin cos cos sin B A C A C =+，推导出
1
cos sin sin 2
A C C =，由此求出角A .
（2）由已知条件推导出6bc =，从而由余弦定理得出222a b c bc =+-，最后利用基本不等式求出a 的最小值. （1）
△ABC 中，cos 2c b a C -=，由正弦定理知，1sin sin cos sin 2
B A
C C -=， ∵πA B C ++=，∴[]sin sin π()B A C =-+ sin cos cos sin A C A C =+， ∴1sin cos cos sin sin cos sin 2A C A C A C C +-=，∴1cos sin sin 2
A C C =， ∴1cos 2
A =，
又∵0πA << , ∴π
3
A =； （2）
由（1）及3AB AC ⋅=得6bc =，
所以222222cos 6a b c bc A b c bc bc =+-=+-≥=,
当且仅当b c =时取等号，所以a . 8．从①sin sin D A =；②3ABC
BCD
S S
=；③4DB DC ⋅=-这三个条件中任选一个，补充在下面的问
题中，并完成解答.
已知点D 在ABC 内，cos cos ,6,4,2A D AB AC BD CD >====，若___________，求ABC 的面积. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】【分析】
选择①，根据sin sin D A =可得A D π+=，再根据余弦定理得
222222cos 2cos BC DB DC DB DC D AB AC AB AC A =+-⋅⋅=+-⋅⋅，求出cos A ，即可求得角A ，再根据三
角形的面积公式即可得解. 选择②，根据3ABC
BCD
S
S
=可得sin sin D A =，从而可得A D π+=，再根据余弦定理得
222222cos 2cos BC DB DC DB DC D AB AC AB AC A =+-⋅⋅=+-⋅⋅，求出cos A ，即可求得角A ，再根据三
角形的面积公式即可得解.
选择③，根据4DB DC ⋅=-可求得cos D ，再利用余弦定理求得BC ，再利用余弦定理可求的角 A ，再根据三角形的面积公式即可得解. 【详解】 解：选择①，
因为点D 在ABC 内，sin sin D A =，cos cos A D >， 所以A D π+=，所以cos cos D A =-，
由余弦定理得222222cos 2cos BC DB DC DB DC D AB AC AB AC A =+-⋅⋅=+-⋅⋅， 即16416cos 361648cos A A ++=+-，解得1
cos 2
A =， 又()0,A π∈，所以3
A π=，
所以1
sin 2
ABC
S
AB AC A =
⋅⋅= 选择②， 因为3ABC
BCD S
S
=，所以
11sin 3sin 2
2
AB AC A DB DC D ⋅⋅=⨯⋅⋅，
所以sin sin D A =，
又因为点D 在ABC 内，cos cos A D >， 所以所以A D π+=，所以cos cos D A =-，
由余弦定理得222222cos 2cos BC DB DC DB DC D AB AC AB AC A =+-⋅⋅=+-⋅⋅， 即16416cos 361648cos A A ++=+-，解得1cos 2
A =， 又()0,A π∈，所以3
A π=，
所以1
sin 2
ABC
S
AB AC A =
⋅⋅= 选择③，
因为s 4co DB DC DB D DC =⋅⋅=-，所以1cos 2
D =-，
在BCD △中 ，222
12cos 164242282
BC DB DC DB DC D ⎛⎫=+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭
，
在
ABC 中，2223616281
cos 22642
AB AC BC A AB AC +-+-=
==⋅⨯⨯， 又()0,A π∈，所以3
A π=，
所以1
sin 2
ABC
S
AB AC A =
⋅⋅=。