弹性力学：平板弯曲问题 (2) 薄板弯曲经典解法

16q0
6
Dmn
m2 a2
n2 b2
2
(m 1,3,5, ; n 1,3,5, )
代入式（10.22）,即得挠度的表达式 (受均布载荷)
m x n y
w 16q0
sin sin
a
b
D 6 m1,3,5,n1,3,5,
mn
m2 a2
n2 b2
2
（10.24）
由此可以用公式（10.11）求得内力的表达式。
y
2
w
t2 4
z 2
（10.5）
其中，D称为板的抗弯刚度，其表达式为
D Et3
12(1 2 )
（10.6）
最后，次要应力分量σZ,可根据z方向的平衡方程求得。
z xz yz
z
x y
将式（10.5）代入上式得
x
z
6D t3
4
w
t2 4
z 2
积分上式得
z
6D t3
4
w
t2 4
在边界上
w n 0
D 4 w q
将式(10.18)代入式(10.8)得
D
24 m a4
16 m a2b2
24m
b4
q
解得m并代入式(10.18)得
w
q
x a
2 2
y2 b2
2 1
8D
3 a4
2 a2b2
3 b4
这就是夹支边椭圆薄板在均布载荷作用下的挠度 表达式。
有了挠度表达式，就可以求的内力。
y2 b2
2
1
（10.18）
o
a
y 图10.6 椭圆板
x
b
显然，上式满足挠度为零的边界条件。此外，
在边界上，挠度的法线导数也应为零。现验证如 下：在边界上有
w x
4mx a2
x a
2 2
y2 b2
1
0
w y
4my b2
x a
2 2
y2 b2
1
0
在注意到：w w x w y
n x n y n
薄板弯曲的基本方程
（1）、位移函数
根据直法线（1），并结合几何方程有
z
w z
0
w w(x, y)
v z w , u w
y
x
可见，薄板小挠度弯曲被简化为中面的弯曲问 题。只要中面挠度w确定，任何点的位移都确定。
⑴、几何方程与应变分量
薄板内不等于零的应变分量有如下三个
x
u x
z
2w x 2
ab
mx nx
a m x b n y
0
0 q0 sin a sin b dxdy q0 0 sin
dx sin
a
0
dy b
q0ab 1 cosm 1 cosn
2mn
于是由式（10.23）得到，
Amn
4q0 1 cosm (1 cosn )
6
Dmn
m2 a2
n2 b2
或
Amn
FQx
xy
Mx
y
yx xy xz x yz
dy
dx
图10-2 薄板的内力
在x为常数的横截面上，
t2
t2
t2
Mx
t
2
x zdz
,
Mxy
t
2
xyzdz
,
FQx
t
2
xz zdz
在y为常数的横截面上，
（10.9）
t2
t2
t2
My
t
2
y zdz
,
M yx
t
2
yxzdz
,
FQy
a m x ix 0, i m
0 sin a sin a dx a 2, i m
a 0
q sin
i x
a
dx
a 2
n1
Cin
sin
n
b
y
再将上式中的两边都乘以sin jy 然后对y从0到b积分，并注意到
b a m y jy 0, j m
0 sin b sin b dy b 2, j m
如图10.4所示，边界上的
扭矩可以变换为等效的横向剪
力，与原来的横向剪力归并为
一个条件，即
z
Vy
FQy
M yx x
这样，自由边的边界条件为
My
yb
0, Vy
yb
FQy
M yx x
yb
0
z
注意到式（10.11）,上式成为
2w y2
2w x2
yb
0,
3w
y
3
(2
)
3w x2y
yb
0
z
dx
m2 a2
n2 b2
2 Amn sin
m x sin
a
n y
b
q
（10.21）
现将横向荷载展成重三角级数
m x n y
q
Cmn sin
m1 n1
a
sin
b
（10.22）
m x n y
q
Cmn sin
m1 n1
a
sin
b
为了求Cmn,
将式（10.22）的两边都乘以
sin i y a
然后对x从0到a积分，并注意到 (正弦函数的正交性)
（3）、板中面只发生弯曲变形，没有面内伸缩。
以上三项假定的核心是基尔霍夫直法线 假设。如图10-1所示，作用在板上的荷载垂 直于板面时，薄板发生弯曲变形，当薄板弯 曲时，中面所弯成的曲面，称为弹性曲面， 而中面内各点在垂直于中面方向的位移，称 为挠度w。
薄板弯曲问题采用位移法求解，基本思路 是确定位移函数的形式，使其满足位移表示的 平衡方程，然后再满足位移分量表示的应力边 界条件即得问题解答。基于以上基本假设，可 由空间问题的微分方程推导出薄板弯曲问题的 基本方程。
薄板弯曲问题的经典解法
第10章 薄板弯曲问题
在弹性力学中， 将两个平行面和垂 直于该平面的柱面 所围城的物体称为 平板，简称为板， y 如图10-1所示。
o q(x, y)
t2 t2
x b
z 图10-1 薄板的弯曲
两个平行的表面间垂直距离t称为板的板厚， 而平分厚度t的平面称为板的中面。当板的厚度t 远小于中面的最小尺寸b（如小于b/8至b/5）, 这个板称为薄板，否则称为中厚板。
x
Mxz I
,
y
Myz I
,
xy
M xy z I
xz
6FQx t3
t2 4
z2
,
yx
6FQy t3
t2 4
z2
（10.12）
在计算薄板的内力时，主要是计算弯矩和 扭矩，横向剪力一般都无须计算。挤压应力 更是次要应力。
边界条件
现以图10.3所示的矩形薄 O 板为例，说明各种边界的边
C
x
a
界条件。假定该板的OA边固 b
z
z3 3
f3 (x, y)
在薄板的下面，有边界条件
z zt 0 2
（a） （b）
将式（a）代入式（b），求出 f3 (x, y) 后再代入式（a）得
z
6D t3
4
w
t2 4
z
t 2
1 3
z
3
t3 8
(5)、薄板的挠曲微分方程
在薄板的上边界有
z z t q 2
将式(10.7)代入式(c)得
四边简支矩形薄板的重三角级数解 (纳维叶解法)
0
C
x
a
b
A
B
y
10.7 简支板
设四边简支矩形薄板（图10.7）受横向荷载q作用，其边界 条件为
w 0, x0
w 0, y0
2w x 2
0;
x0
2w 0 ; y 2
y0
w 0, xa
w 0, yb
2w x 2
0
x0
2w 0 y 2
y0
（10.19）
E
1
2
2w x 2
2w y 2
y
E
1 2
y x
E
1
2
2w y 2
2w x 2
xy
Ez
1
2w xy
（10.3）
（4）、平衡方程与次要应力
次要应力即 z , zx , zy 是平衡所必须的，且可根据平衡条件来确定。
x
x
xy
y
xz
z
0
xy
x
y
y
yz
z
0
将式(10.3)代入上式得
a 0
b ix
q sin sin
0
a
jydxdy
b
ab 4 Cij
a b ix jy
ab
0
q sin
0
a
sin
b
dxdy
4 Cij
将上式中的任意正整数i,j换写成m、n,并从中解出Cmn
代回式（10.22）得
q
m1
n1
Cmn
sin
m a
x
sin
n b
y
q 4
a
b q sin m x sin ny dxdy sin m x sin ny
y
v y
z
2w y 2
xy
u y
v x
2z
2
w
xy
（10.2）
2w x2
、
2w y 2
分别表示了薄板弹性曲面在x方向和y方向的曲率
（3）、本构关系与主要应力
由假设（2）,即在本构关系中不考虑次要应力 z , zx , zy
即薄板弯曲问题的本构方程与平面应力问题的完全相同
x
E
1
2
x y
Navier(纳维叶)取挠度表达式为重三角级数
w
m1
n1
Amn
sin
m
a
x
sin
n
b
y
（10.20）
其中m和n是正整数。代入式（10.19），可见全
部边界条件都能满足。因而问题归结为确定其中的
系数Amn。为此，将式（10.20）代入挠曲微分方程
（10.8）得
D 4 w q
4
D
m1
n1
x
M yxdx
M
yx
M yx x
dx
dx
dx
x
M yx
M
yx
M yx x
dx
dx x
M yx§10-4 薄板弯曲应用举例
10.4.1 周边固定的椭圆板
设周边固定的椭圆板（图10.6）受均布荷载q 作用，其边界方程为
x2 y2 1 a2 b2
试取挠度为
w
m
x a
2 2
ab m1 n1 0 0
a
b
a
b
代回式（10.21）比较系数得
4
D
m1
n1
m2 a2
n2 b2
2
Amn sin
m x sin a
n y b
q
a b m x n y
4
Amn 0
0 q sin a sin b dxdy
4
abD
m2 a2
n2 b2
2
（10.23）
当薄板受均布荷载时上式中的积分成为，
D 4 w q
（10.7） （c） （10.8a）
即
4w x 4
2
4w x 2 y
2
4w y 4
q D
（10.8b）
方程（10.8）称为薄板的弹性曲面微分方程或 挠曲微分方程。它是薄板弯曲问题的基本方程。 从薄板中取出微元体进行平衡分析，同样可推导 出该方程式。
纵上所述，薄板弯曲问题归结为：在给定的薄 板侧面的边界条件下求解挠曲微分方程。求得挠 度w后，然后就可以按公式（10-3）、（10-5）和 （10-7）求应力分量。
薄板横截面上的内力和边界条件
薄板内力
在绝大多数的情况下， 都很难使得应力分量在薄 板的侧面边界上精确地满 足应力边界条件，而只能 应用圣维南原理，即由这 些应力分量组成的内力整 体地满足边界条件。 因 此，首先来考察这些应力 分量和组成内力的关系。
qdxdy
t 2
tz 2 dz
My
FQy M
M
yx
t
2
yz zdz
（10.10）
将式（10.3）和（10.5）代入式（10.9），（10.10）得
Mx
D
2w x2
2w y 2
,
My
D
2w y 2
2w x2
M
xy
D(1
)
2w xy
（10.11）
FQx
D
x
2w x2
2w y 2
,
FQy
D
y
2w x2
2w y 2
将式（10.3）和（10.5）与（10.11）进行比较， 可以得到用内力矩表示的薄板应力
D
2w y 2
2w x 2
y0
M
y
在整个边界上
w 0,
2w x2
0
故上式成为
w 0, y0
D 2w y 2
y0
My
如果外加弯矩 M y 0
w 0, 2w 0
y0
y 2 y0
（10.14b）
(3)、自由边（静力边界条件）
M y yb 0, M yx yb 0, FQy yb 0
然而，根据微分方程理论，弹性曲面的四 阶偏微分方程，在每条边界上只可能满足两 个边界条件。早在1850年Kichhoff建立前 述薄板弯曲的近似理论时，就通过变分法证 明了每边两个边界条件足以确定方程(10.8) 的解，而扭矩和横向剪力须合成为一个边界 条件。
定，OC边简支，AB边和BC
A
B
边自由。
y
（1）、固定边（几何边界条件）
图10-3 矩形薄板
w 0, w 0
x0
x x0
（10.13）
（2）、简支边（混合边界条件）, 沿着简支边OC，薄板 的挠度等于零。如果有分布弯矩作用，则
w 0, y0
M y y0 M y
注意到式（10.11），有
w 0, y0
薄板的小挠度弯曲理论，普遍采用以下三个计
算假定：
（1）、变形前垂直于中面的任一直线线段，变形 后仍为直线，并垂直于变形后的弹性曲面，且长度 不变。这就是Kichhoff的直法线假设；
（2）、垂直于板中面方向的应力分量σz、τzx 、 τzy较小，它们引起的形变可以略去不计，但它们本 身却是维持平衡所必须的，不能不计。
（10.4）
xz
z
Ez
1 2
3w x 3
3w xy 2
1
Ez
2
x
2w
yz
z
Ez
1 2
3w y 3
3w yx 2
1
Ez
2
y
2w
上式对z进行积分，注意到如下边界条件
xz z t 0, 2
yz z t 0 2
可得