九年级中考数学二次函数解答题压轴题提高专题练习及详细答案

九年级中考数学二次函数解答题压轴题提高专题练习及详细答案
一、二次函数
1．已知，m ，n 是一元二次方程x 2+4x +3=0的两个实数根，且|m |＜|n |，抛物线y =x 2+bx +c 的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），如图所示．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线与x 轴的另一个交点为抛物线的顶点为D ，求出点C ，D 的坐标，并判断△BCD 的形状；
（3）点P 是直线BC 上的一个动点（点P 不与点B 和点C 重合），过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点M ，点Q 在直线BC 上，距离点P 为
2个单位长度，设点P 的横坐标为t ，△PMQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式．
【答案】（1）223y x x =--；（2）C （3，0），D （1，﹣4），△BCD 是直角三角形；
（3）2213(03)2213(03)2
2t t t S t t t t ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩＜＜＜或＞ 【解析】
试题分析：（1）先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先解方程求出抛物线与x 轴的交点，再判断出△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，从而得到结论；
（3）先求出QF=1，再分两种情况，当点P 在点M 上方和下方，分别计算即可． 试题解析：解（1）∵2+430x x +=，∴11x =-，23x =-，∵m ，n 是一元二次方程
2+430x x +=的两个实数根，且|m|＜|n|，∴m=﹣1，n=﹣3，∵抛物线223
y x x =--的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），∴10{3b c c -+==-，∴2{3
b c =-=-，∴抛物线解析式为223y x x =--；
（2）令y=0，则2230x x --=，∴11x =-，23x =，∴C （3，0），
∵223y x x =--=2(1)4x --，∴顶点坐标D （1，﹣4），过点D 作DE ⊥y 轴，∵OB=OC=3，∴BE=DE=1，∴△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，∴∠OBC=∠DBE=45°，∴∠CBD=90°，∴△BCD 是直角三角形；
（3）如图，∵B（0，﹣3），C（3，0），∴直线BC解析式为y=x﹣3，∵点P的横坐标为t，PM⊥x轴，∴点M的横坐标为t，∵点P在直线BC上，点M在抛物线上，∴P（t，t﹣3），M（t，223
t t
--），过点Q作QF⊥PM，∴△PQF是等腰直角三角形，
∵PQ=2，∴QF=1．
①当点P在点M上方时，即0
＜t＜3时，PM=t﹣3﹣（223
t t
--）=23
t t
-+，
∴S=1
2
PM×QF=2
1
(3)
2
t t
-+=2
1
3
22
t t
-+，②如图3，当点P在点M下方时，即t＜0或t ＞3时，PM=223
t t
--﹣（t﹣3）=23
t t
-，∴S=
1
2
PM×QF=
1
2
（23
t t
-）=2
13
22
t t
-．综上所述，S=
2
2
13
(03)
22
{
13
(03)
22
t t t
t t t t
或
-+<<
-
．
考点：二次函数综合题；分类讨论．
2．如图，抛物线y=ax2+bx过点B（1，﹣3），对称轴是直线x=2，且抛物线与x轴的正半轴交于点A．
（1）求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当y≤0时，自变量x的取值范围；
（2）在第二象限内的抛物线上有一点P，当PA⊥BA时，求△PAB的面积．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣4x，自变量x的取值范图是0≤x≤4；（2）△PAB的面积=15．
【解析】
【分析】
（1）将函数图象经过的点B坐标代入的函数的解析式中，再和对称轴方程联立求出待定系数a和b；
（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，设P（x，x2-4x），证明△PFA∽△AEB,求出点P的坐标，将△PAB的面积构造成长方形去掉三个三角形的面积．
【详解】
（1）由题意得，
3
2 2
a b
b
a
+-
⎧
⎪
⎨
-⎪
⎩
＝
＝
，
解得
1
4
a
b-
⎧
⎨
⎩
＝
＝
，
∴抛物线的解析式为y=x2-4x，
令y=0，得x2-2x=0，解得x=0或4，
结合图象知，A的坐标为（4，0），
根据图象开口向上，则y≤0时，自变量x的取值范围是0≤x≤4；
（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，
设P（x，x2-4x）,
∵PA⊥BA
∴∠PAF+∠BAE=90°,
∵∠PAF+∠FPA=90°,
∴∠FPA=∠BAE
又∠PFA=∠AEB=90°
∴△PFA∽△AEB,
∴PF AF
AE BE
=，即
244
213
x x x
--
=
-
，
解得，x= −1，x=4（舍去）
∴x2-4x=-5
∴点P的坐标为（-1，-5），
又∵B点坐标为（1，-3），易得到BP直线为y=-4x+1
所以BP与x轴交点为（
1
4
，0）
∴S△PAB=1155315
24
⨯⨯+=
【点睛】
本题是二次函数综合题，求出函数解析式是解题的关键，特别是利用待定系数法将两条直线表达式解出，利用点的坐标求三角形的面积是关键．
3．抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3（a≠0）与直线y ＝kx+c （k≠0）相交于A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点，且抛物线与y 轴交于点C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求出C 、D 两点的坐标
（3）在第四象限抛物线上有一点P ，若△PCD 是以CD 为底边的等腰三角形，求出点P 的坐标．
【答案】（1）y ＝x 2﹣2x ﹣3;（2）C （0，﹣3）,D （0，﹣1）;（3）P （2，﹣2）.
【解析】
【分析】
（1）把A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点坐标代入y ＝ax 2+bx ﹣3可得抛物线解析式． （2）当x ＝0时可求C 点坐标，求出直线AB 解析式，当x ＝0可求D 点坐标． （3）由题意可知P 点纵坐标为﹣2，代入抛物线解析式可求P 点横坐标．
【详解】
解：（1）把A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点坐标代入
y ＝ax 2+bx ﹣3可得 304233a b a b --=⎧⎨+-=-⎩
解得12
a b =⎧⎨=-⎩ ∴y ＝x 2﹣2x ﹣3
（2）把x ＝0代入y ＝x 2﹣2x ﹣3中可得y ＝﹣3∴C （0，﹣3）
设y ＝kx+b ，把A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点坐标代入
023k b k b -+=⎧⎨+=-⎩
解得11
k b =-⎧⎨=-⎩ ∴y ＝﹣x ﹣1
∴D （0，﹣1）
（3）由C （0，﹣3），D （0，﹣1）可知CD 的垂直平分线经过（0，﹣2）
∴P 点纵坐标为﹣2，
∴x2﹣2x﹣3＝﹣2
解得：x＝∵x＞0∴x＝．
∴P（
，﹣2）
【点睛】
本题是二次函数综合题，用待定系数法求二次函数的解析式，把x＝0代入二次函数解析式和一次函数解析式可求图象与y轴交点坐标，知道点P纵坐标带入抛物线解析式可求点P 的横坐标．
4．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是3元，经市场预测，销售单价为40元时，可售出600个；销售单价每涨1元，销售量将减少10个设每个销售单价为x元．（1）写出销售量y（件）和获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系；（2）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？
【答案】（1）y＝﹣10x+1000；w=﹣10x2+1300x﹣30000
（2）商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元．
【解析】
【分析】
（1）利用销售单价每涨1元，销售量将减少10个即可表示出y＝600﹣10（x﹣40），再利用w= y•（x﹣30）即可表示出w与x之间的关系式；（2）先将w＝﹣10x2+1300x﹣30000变成顶点式，找到对称轴，利用函数图像的增减性确定在44≤x≤46范围内当x＝46时有最大值，代入求值即可解题.
【详解】
解：
（1）依题意，易得销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系：y＝600﹣10（x﹣40）＝﹣10x+1000
获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系为：w＝y•（x﹣30）＝（1000﹣
10x）（x﹣30）＝﹣10x2+1300x﹣30000
（2）根据题意得，x≥14时且1000﹣10x≥540，解得：44≤x≤46
w＝﹣10x2+1300x﹣30000＝﹣10（x﹣65）2+12250
∵a＝﹣10＜0，对称轴x＝65
∴当44≤x≤46时，y随x的增大而增大
∴当x＝46时，w最大值＝8640元
即商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元．
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用，难度较大，求解二次函数与利润之间的关系时,需要用代数式表示销售数量和销售单价，熟悉二次函数顶点式的性质是解题关键.
5．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+b（k＜0，b＞0），与x轴交于点A、与y轴交于点B，直线CD与x轴交于点C、与y轴交于点D．若直线CD的解析式为y＝﹣
1k （x
+b ），则称直线CD 为直线AB 的”姊线”，经过点A 、B 、C 的抛物线称为直线AB 的“母线”．
（1）若直线AB 的解析式为：y ＝﹣3x +6，求AB 的”姊线”CD 的解析式为： （直接填空）；
（2）若直线AB 的”母线”解析式为：2142
y x x =-+，求AB 的”姊线”CD 的解析式； （3）如图2，在（2）的条件下，点P 为第二象限”母线”上的动点，连接OP ，交”姊线”CD 于点Q ，设点P 的横坐标为m ，PQ 与OQ 的比值为y ，求y 与m 的函数关系式，并求y 的最大值；
（4）如图3，若AB 的解析式为：y ＝mx +3（m ＜0），AB 的“姊线”为CD ，点G 为AB 的中点，点H 为CD 的中点，连接OH ，若GH ＝5，请直接写出AB 的”母线”的函数解析式．
【答案】（1）1(6)3
y x =+；（2）（2，0）、（0，4）、（﹣4，0）；（3）当m ＝﹣32，y 最大值为338
；（4）y ＝x 2﹣2x ﹣3． 【解析】
【分析】
（1）由k ，b 的值以及”姊线”的定义即可求解；
（2）令x ＝0，得y 值，令y ＝0，得x 值，即可求得点A 、B 、C 的坐标，从而求得直线CD 的表达式；
（3）设点P 的横坐标为m ，则点P （m ，n ），n ＝﹣12
m 2﹣m+4， 从而求得直线OP 的表达式，将直线OP 和CD 表达式联立并解得点Q 坐标，
由此求得P Q y y ，从而求得y ＝﹣12m 2﹣32m+3，故当m ＝﹣32，y 最大值为338
； （4）由直线AB 的解析式可得AB 的“姊线”CD 的表达式y ＝﹣
1m
（x+3），令x ＝0，得 y 值，令y ＝0，得x 值，可得点C 、D 的坐标，由此可得点H 坐标，同理可得点G 坐标， 由勾股定理得：m 值，即可求得点A 、B 、C 的坐标，从而得到 “母线”函数的表达式．
【详解】
（1）由题意得：k ＝﹣3，b ＝6，
则答案为：y ＝13
（x+6）； （2）令x ＝0，则y ＝4，令y ＝0，则x ＝2或﹣4，
点A 、B 、C 的坐标分别为（2，0）、（0，4）、（﹣4，0），
则直线CD 的表达式为：y ＝12（x+4）＝12
x+2； （3）设点P 的横坐标为m ，则点P （m ，n ），n ＝﹣
12m 2﹣m+4， 则直线OP 的表达式为：y ＝n m
x ， 将直线OP 和CD 表达式联立得122
n y x m y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， 解得：点Q （2438m m m --+，222838
m m m m +-+-） 则P Q y y ＝﹣12m 2﹣32
m+4， y ＝1P Q P Q Q y y y PQ OQ y y -==-＝﹣12m 2﹣32
m+3， 当m ＝﹣32，y 最大值为338
； （4）直线CD 的表达式为：y ＝﹣
1m （x+3）， 令x ＝0，则y ＝﹣3m
，令y ＝0，则x ＝﹣3， 故点C 、D 的坐标为（﹣3，0）、（0，﹣
3m ），则点H （﹣32，﹣32m ）， 同理可得：点G （﹣
32m ，32）， 则GH 2＝（32+32m ）2+（32﹣32m
）2
2， 解得：m ＝﹣3（正值已舍去），
则点A 、B 、C 的坐标分别为（1，0）、（0，3）、（﹣3，0），
则“母线”函数的表达式为：y ＝a （x ﹣1）（x+3）＝a （x 2﹣2x ﹣3），
即：﹣3a ＝﹣3，解得：a ＝1，
故：“母线”函数的表达式为：y ＝x 2﹣2x ﹣3．
【点睛】
此题是二次函数综合题目，考查了“姊线”的定义，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，掌握二次函数的有关性质是解答此题的关键.
6．如果一条抛物线y ＝ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，[a ，b ，c ]称为“抛物线系数”．
(1)任意抛物线都有“抛物线三角形”是 (填“真”或“假”)命题；
(2)若一条抛物线系数为[1，0，﹣2]，则其“抛物线三角形”的面积为 ；
(3)若一条抛物线系数为[﹣1，2b ，0]，其“抛物线三角形”是个直角三角形，求该抛物线的解析式；
(4)在(3)的前提下，该抛物线的顶点为A ，与x 轴交于O ，B 两点，在抛物线上是否存在一点P ，过P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，使得△BPQ ∽△OAB ？如果存在，求出P 点坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）假；（2
）3）y ＝－x 2＋2x 或y ＝－x 2－2x ；（4）P （1，1）或P （－1，－3）或P （1，－3）或（－1，1）．
【解析】
分析：（1）当△＞0时，抛物线与x 轴有两个交点，由此可得出结论；
（2）根据“抛物线三角形”定义得到22y x =-，由此可得出结论；
（3）根据“抛物线三角形”定义得到y ＝－x 2＋2bx ，它与x 轴交于点（0，0）和（2b ，0）；
当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形，
由抛物线顶点为（b ，b 2），以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到2122
b b =⨯，解方程即可得到结论； （4）分两种情况讨论：①当抛物线为y ＝－x 2＋2x 时，②当抛物线为y ＝－x 2－2x 时． 详解：（1）当△＞0时，抛物线与x 轴有两个交点，此时抛物线才有“抛物线三角形”，故此命题为假命题；
（2）由题意得：2
2y x =-，令y =0，得：x
=，∴ S
=122⨯=12x x ； （3）依题意：y ＝－x 2＋2bx ，它与x 轴交于点（0，0）和（2b ，0）；
当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形．
∵y ＝－x 2＋2bx =22()x b b --+，∴顶点为（b ，b 2），由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到：2
122
b b =⨯，∴2b b =，解得：b ＝0（舍去）或b ＝±1， ∴y ＝－x 2＋2x 或y ＝－x 2－2x ．
（4）①当抛物线为y ＝－x 2＋2x 时．
∵△AOB 为等腰直角三角形，且△BPQ ∽△OAB ，
∴△BPQ 为等腰直角三角形，设P （a ，－a 2＋2a ），∴Q （（a ，0）， 则｜－a 2＋2a ｜＝｜2－a ｜，即(2)2a a a -=-．
∵a －2≠0，∴1a =，∴a =±1，∴P （1，1）或（－1， －3）．
②当抛物线为y ＝－x 2－2x 时．
∵△AOB 为等腰直角三角形，且△BPQ ∽△OAB ，
∴△BPQ 为等腰直角三角形，设P （a ，－a 2－2a ），∴Q （（a ，0），
则｜－a 2－2a ｜＝｜2+a ｜，即(2)2a a a +=+．
∵a +2≠0，∴1a =，∴a =±1，∴P （1，－3，）或（－1，1）．
综上所述：P （1，1）或P （－1，－3）或P （1，－3，）或（－1，1）．
点睛：本题是二次函数综合题．考查了二次函数的性质以及“抛物线三角形”的定义．解题的关键是弄懂“抛物线三角形”的定义以及分类讨论．
7．如图，对称轴为直线x 1=-的抛物线()2
y ax bx c a 0=++≠与x 轴相交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为（－3，0）．
（1）求点B 的坐标；
（2）已知a 1=，C 为抛物线与y 轴的交点．
①若点P 在抛物线上，且POC BOC S 4S ∆∆=，求点P 的坐标；
②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．
【答案】（1）点B 的坐标为（1，0）.
（2）①点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）.
②线段QD 长度的最大值为
94
. 【解析】
【分析】
（1）由抛物线的对称性直接得点B 的坐标．
（2）①用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得点C 的坐标，得到BOC S ∆，设出点P 的坐标，根据POC BOC S 4S ∆∆=列式求解即可求得点P 的坐标．
②用待定系数法求出直线AC 的解析式，由点Q 在线段AC 上，可设点Q 的坐标为(q,-q-3)，从而由QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，得点D 的坐标为(q,q 2+2q-3)，从而线段QD 等于两点纵坐标之差，列出函数关系式应用二次函数最值原理求解.
【详解】
解：（1）∵A 、B 两点关于对称轴x 1=-对称 ，且A 点的坐标为（－3，0）， ∴点B 的坐标为（1，0）.
（2）①∵抛物线a 1=，对称轴为x 1=-，经过点A （－3，0）， ∴2a 1b 12a 9a 3b c 0
=⎧⎪⎪-=-⎨⎪-+=⎪⎩，解得a 1b 2c 3=⎧⎪=⎨⎪=-⎩. ∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=+-.
∴B 点的坐标为（0，－3）.∴OB=1，OC=3.∴BOC 13S 1322∆=
⨯⨯=. 设点P 的坐标为(p,p 2+2p-3)，则POC 13S 3p p 22∆=
⨯⨯=. ∵POC BOC S 4S ∆∆=，∴
3p 62=，解得p 4=±. 当p 4=时2p 2p 321+-=；当p 4=-时，2p 2p 35+-=，
∴点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）.
②设直线AC 的解析式为y kx b =+，将点A ，C 的坐标代入，得：
3k b 0b 3-+=⎧⎨=-⎩
，解得：k 1b 3=-⎧⎨=-⎩. ∴直线AC 的解析式为y x 3=--.
∵点Q 在线段AC 上，∴设点Q 的坐标为(q,-q-3).
又∵QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，∴点D 的坐标为(q,q 2+2q-3).
∴()
22239QD q 3q 2q 3q 3q q 24⎛⎫=---+-=--=-++ ⎪⎝⎭. ∵a 10<=-，-3302<<-
∴线段QD 长度的最大值为94
.
8．如图，若b 是正数，直线l ：y =b 与y 轴交于点A ；直线a ：y =x ﹣b 与y 轴交于点B ；抛物线L ：y =﹣x 2+bx 的顶点为C ，且L 与x 轴右交点为D ．
（1）若AB =8，求b 的值，并求此时L 的对称轴与a 的交点坐标； （2）当点C 在l 下方时，求点C 与l 距离的最大值；
（3）设x 0≠0，点（x 0，y 1），（x 0，y 2），（x 0，y 3）分别在l ，a 和L 上，且y 3是y 1，y 2的平均数，求点（x 0，0）与点D 间的距离；
（4）在L 和a 所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b =2019和b =2019.5时“美点”的个数． 【答案】（1）b =4，（2，﹣2 ）；（2）1；（3）1
2
；（4）当b =2019时“美点”的个数为4040个，b =2019.5时“美点”的个数为1010个． 【解析】 【分析】
（1）求出A 、B 的坐标，由AB =8，可求出b 的值．从而得到L 的解析式，找出L 的对称轴与a 的交点即可；
（2）通过配方，求出L 的顶点坐标，由于点C 在l 下方，则C 与l 的距离2
4
b b -，配方即
可得出结论；
（3）由題意得y 1+y 2=2y 3，进而有b +x 0﹣b =2（﹣x 02+bx 0）解得x 0的值，求出L 与x 轴右交点为D 的坐标，即可得出结论；
（4）①当b =2019时，抛物线解析式L ：y =﹣x 2+2019x 直线解析式a ：y =x ﹣2019，美点”总计4040个点，②当b =2019.5时，抛物线解析式L ：y =﹣x 2+2019.5x ，直线解析式a ：y =x ﹣2019.5，“美点”共有1010个． 【详解】
（1）当x =0吋，y =x ﹣b =﹣b ，∴B （0，﹣b ）．
∵AB =8，而A （0，b ），∴b ﹣（﹣b ）=8，∴b =4，∴L ：y =﹣x 2+4x ，∴L 的对称轴x =2，当x =2时，y =x ﹣4=﹣2，∴L 的对称轴与a 的交点为（2，﹣2 ）；
（2）y =﹣（x 2b -）224b +，∴L 的顶点C （2b ，2
4
b ）．
∵点C 在l 下方，∴C 与l 的距离b 21
44
b -=-（b ﹣2）2+1≤1，∴点C 与l 距离的最大值为
1；
（3）∵y 3是y 1，y 2的平均数，∴y 1+y 2=2y 3，∴b +x 0﹣b =2（﹣x 02+bx 0），解得：x 0=0或
x 0=b 12
-
． ∵x 0≠0，∴x 0=b 1
2
-，对于L ，当y =0吋，0=﹣x 2+bx ，即0=﹣x （x ﹣b ），解得：x 1=0，x 2=b ．
∵b ＞0，∴右交点D （b ，0），∴点（x 0，0）与点D 间的距离b ﹣（b 12
-
）12=．
（4）①当b =2019时，抛物线解析式L ：y =﹣x 2+2019x ，直线解析式a ：y =x ﹣2019． 联立上述两个解析式可得：x 1=﹣1，x 2=2019，∴可知每一个整数x 的值都对应的一个整数y 值，且﹣1和2019之间（包括﹣1和﹣2019）共有2021个整数；
∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，∴线段和抛物线上各有2021个整数点，∴总计4042个点．
∵这两段图象交点有2个点重复，∴美点”的个数：4042﹣2=4040（个）；
②当b =2019.5时，抛物线解析式L ：y =﹣x 2+2019.5x ，直线解析式a ：y =x ﹣2019.5，联立上述两个解析式可得：x 1=﹣1，x 2=2019.5，∴当x 取整数时，在一次函数y =x ﹣2019.5上，y 取不到整数值，因此在该图象上“美点”为0，在二次函数y =x 2+2019.5x 图象上，当x 为偶数时，函数值y 可取整数，可知﹣1到2019.5之 间有1010个偶数，因此“美点”共有1010个．
故b =2019时“美点”的个数为4040个，b =2019.5时“美点”的个数为1010个． 【点睛】
本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的性质以及待定系数法求函数解析式是解题的关键．
9．如图，（图1，图2），四边形ABCD 是边长为4的正方形，点E 在线段BC 上，∠AEF=90°,且EF 交正方形外角平分线CP 于点F ，交BC 的延长线于点N, FN ⊥BC ． （1）若点E 是BC 的中点（如图1），AE 与EF 相等吗？
（2）点E 在BC 间运动时（如图2），设BE=x ，△ECF 的面积为y ． ①求y 与x 的函数关系式；
②当x 取何值时，y 有最大值，并求出这个最大值.
【答案】（1）AE=EF ；（2）①y=-12
x 2
+2x （0＜x ＜4)，②当x=2,y 最大值=2. 【解析】 【分析】
（1）在AB 上取一点G ，使AG=EC ，连接GE ，利用ASA ，易证得：△AGE ≌△ECF ，则可证得：AE=EF ；
（2）同（1）可证明AE=EF ，利用AAS 证明△ABE ≌△ENF ，根据全等三角形对应边相等可得FN=BE ，再表示出EC ，然后利用三角形的面积公式即可列式表示出△ECF 的面积为y ，然后整理再根据二次函数求解最值问题． 【详解】
（1）如图，在AB 上取AG=EC ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB=BC ，
有∵AG=EC ，∴BG=BE ， 又∵∠B=90°， ∴∠AGE=135°，
又∵∠BCD=90°，CP 平分∠DCN ， ∴∠ECF=135°，
∵∠BAE ＋∠AEB=90°，∠AEB ＋∠FEC=90°， ∴∠BAE=∠FEC ， 在△AGE 和△ECF 中，
AGE ECF AG EC
GAE CEF ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
, ∴△AGE ≌△ECF ， ∴AE=EF ；
(2)①∵由（1）证明可知当E 不是中点时同理可证AE=EF ， ∵∠BAE=∠NEF ，∠B=∠ENF=90°， ∴△ABE ≌△ENF ， ∴FN=BE=x ， ∴S △ECF =1
2
(BC-BE)·FN ， 即y=
1
2
x(4-x ）， ∴y=-
12
x 2
+2x （0＜x ＜4)，
②()
()2
22111y x 2x x 4x x 22222
=-
+=--=--+， 当x=2，y 最大值=2. 【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的最值问题，综合性较强，正确添加辅助线、熟练掌握相关知识是解题的关键．
10．如图，已知A （﹣2，0），B （4，0），抛物线y=ax 2+bx ﹣1过A 、B 两点，并与过A
点的直线y=﹣
1
2
x ﹣1交于点C ． （1）求抛物线解析式及对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使四边形ACPO 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点M 为y 轴右侧抛物线上一点，过点M 作直线AC 的垂线，垂足为N ．问：是否存在这样的点N ，使以点M 、N 、C 为顶点的三角形与△AOC 相似，若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线解析式为：y=211
184
x x --，抛物线对称轴为直线x=1；（2）存在P 点坐标为（1，﹣1
2
）；（3）N 点坐标为（4，﹣3）或（2，﹣1） 【解析】
分析：（1）由待定系数法求解即可；
（2）将四边形周长最小转化为PC+PO 最小即可；
（3）利用相似三角形对应点进行分类讨论，构造图形．设出点N 坐标，表示点M 坐标代入抛物线解析式即可．
详解：（1）把A （-2，0），B （4，0）代入抛物线y=ax 2+bx-1，得
0421
01641a b a b --⎧⎨
+-⎩
＝＝ 解得18
14a b ⎧
⎪⎪⎨
⎪-⎪⎩
＝＝
∴抛物线解析式为：y=1
8x2−
1
4
x−1
∴抛物线对称轴为直线x=-
1
4
1
22
8
b
a
-
=-
⨯
＝1
（2）存在
使四边形ACPO的周长最小，只需PC+PO最小
∴取点C（0，-1）关于直线x=1的对称点C′（2，-1），连C′O与直线x=1的交点即为P 点．
设过点C′、O直线解析式为：y=kx
∴k=-
1
2
∴y=-
1
2
x
则P点坐标为（1，-
1
2
）
（3）当△AOC∽△MNC时，
如图，延长MN交y轴于点D，过点N作NE⊥y轴于点E
∵∠ACO=∠NCD，∠AOC=∠CND=90°
∴∠CDN=∠CAO
由相似，∠CAO=∠CMN
∴∠CDN=∠CMN
∵MN⊥AC
∴M、D关于AN对称，则N为DM中点
设点N坐标为（a，-
1
2
a-1）
由△EDN∽△OAC
∴ED=2a
∴点D坐标为（0，-5
2
a−1）
∵N为DM中点
∴点M坐标为（2a，3
2
a−1）
把M代入y=1
8
x2−
1
4
x−1，解得
a=4
则N点坐标为（4，-3）
当△AOC∽△CNM时，∠CAO=∠NCM
∴CM∥AB则点C关于直线x=1的对称点C′即为点N
由（2）N（2，-1）
∴N点坐标为（4，-3）或（2，-1）
点睛：本题为代数几何综合题，考查了待定系数、两点之间线段最短的数学模型构造、三角形相似．解答时，应用了数形结合和分类讨论的数学思想．
11．（12分）如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m，宽是4
m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=
1
6
-x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到
OB的水平距离为3 m，到地面OA的距离为17
2
m.
（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
【答案】（1）抛物线的函数关系式为y=
1
6
-x2+2x+4，拱顶D到地面OA的距离为10 m；
(2)两排灯的水平距离最小是3．
【解析】
【详解】
试题分析：根据点B和点C在函数图象上，利用待定系数法求出b和c的值，从而得出函
数解析式，根据解析式求出顶点坐标，得出最大值；根据题意得出车最外侧与地面OA的交点为（2,0）（或（10,0）），然后求出当x=2或x=10时y的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过；将y=8代入函数，得出x的值，然后进行做差得出最小值．
试题解析：（1）由题知点
17
(0,4),3,
2
B C
⎛⎫
⎪
⎝⎭
在抛物线上
所以
4
171
93
26
c
b c
=
⎧
⎪
⎨
=
-⨯++
⎪⎩
，解得
2
4
b
c
=
⎧
⎨
=
⎩
，所以2
1
24
6
y x x
=-++
所以，当6
2
b
x
a
=-=时，10
t
y=
≦
答：2
1
24
6
y x x
=-++，拱顶D到地面OA的距离为10米
（2）由题知车最外侧与地面OA的交点为（2,0）（或（10,0））
当x=2或x=10时，
22
6
3
y=>，所以可以通过
（3）令8
y=，即2
1
248
6
x x
-++=，可得212240
x x
-+=，解得
12
623,623
x x
=+=-
12
43
x x
-=
答：两排灯的水平距离最小是43
考点：二次函数的实际应用．
12．如图，已知抛物线的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）。

（1）求直线BC与抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，
求MN的最大值；
（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标。

【答案】（1）
（2）
（3）P的坐标为（－1，12）或（6，5）或（2，－3）或（3，－4）
【解析】
【分析】
（1）由B（5，0），C（0，5），应用待定系数法即可求直线BC与抛物线的解析式。

（2）构造MN关于点M横坐标的函数关系式，应用二次函数最值原理求解。

（3）根据S1=6S2求得BC与PQ的距离h，从而求得PQ由BC平移的距离，根据平移的性质求得PQ的解析式，与抛物线联立，即可求得点P的坐标。

【详解】
解：（1）设直线BC的解析式为，
将B（5，0），C（0，5）代入，得，得。

∴直线BC的解析式为。

将B（5，0），C（0，5）代入，得，得。

∴抛物线的解析式。

（2）∵点M是抛物线在x轴下方图象上的动点，∴设M。

∵点N是直线BC上与点M横坐标相同的点，∴N。

∵当点M在抛物线在x轴下方时，N的纵坐标总大于M的纵坐标。

∴。

∴MN的最大值是。

（3）当MN取得最大值时，N。

∵的对称轴是，B（5，0），∴A（1，0）。

∴AB=4。

∴。

由勾股定理可得，。

设BC与PQ的距离为h，则由S1=6S2得：，即。

如图，过点B作平行四边形CBPQ的高BH，过点H作x轴的垂线交点E ，则
BH=，EH是直线BC沿y轴方向平移的距离。

易得，△BEH是等腰直角三角形，
∴EH=。

∴直线BC沿y轴方向平移6个单位得PQ的解析式：
或。

当时，与联立，得
，解得或。

此时，点P的坐标为（－1，12）或（6，5）。

当时，与联立，得
，解得或。

此时，点P的坐标为（2，－3）或（3，－4）。

综上所述，点P的坐标为（－1，12）或（6，5）或（2，－3）或（3，－4）。

13．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线
（）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．
（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；
（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】（1）A（－1，0），；（2）；（3）P的坐标为（1，）或（1，－4）．
【解析】
试题分析：（1）在中，令y=0，得到，，得到A（－1，0），B（3，0），由直线l经过点A，得到，故，令
，即，由于CD＝4AC，故点D的横坐标
为4，即有，得到，从而得出直线l的函数表达式；
（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，设E（，），则F（，），
EF＝=，S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝＝，故△ACE的面积的最大值为，而△ACE的面积的最大值为，所以
，解得；
（3）令，即，解得，，得到D （4，5a），因为抛物线的对称轴为，设P（1，m），然后分两种情况讨论：①若AD是矩形的一条边，②若AD是矩形的一条对角线．
试题解析：（1）∵=，令y=0，得到，，∴A（－1，0），B（3，0），∵直线l经过点A，∴，，∴，令
，即，∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为4，∴，∴，∴直线l的函数表达式为；
（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，设E（，），则F（，），
EF＝=，
S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝
＝＝，
∴△ACE的面积的最大值为，∵△ACE的面积的最大值为，∴，解得
；
（3）令，即，解得，，∴D（4，5a），∵，∴抛物线的对称轴为，设P（1，m），
①若AD是矩形的一条边，则Q（－4，21a），m＝21a＋5a＝26a，则P（1，26a），∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP＝90°，∴，
∴，即，∵，
∴，∴P1（1，）；
②若AD 是矩形的一条对角线，则线段AD 的中点坐标为（ ，），Q （2，），m ＝，则P （1，8a ），∵四边形APDQ 为矩形，∴∠APD ＝90°，∴
，∴，即
，∵
，∴
，∴P 2（1，－4）．
综上所述，以点A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形能成为矩形，点P 的坐标为（1，）
或（1，－4）．
考点：二次函数综合题．
14．如图，已知抛物线2(0)y ax bx a =+≠过点3,-3) 和3,0)，过点A 作直线AC//x 轴，交y 轴与点C ． （1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上取一点P ，过点P 作直线AC 的垂线，垂足为D ，连接OA ，使得以A ，D ，P 为顶点的三角形与△AOC 相似，求出对应点P 的坐标；
（3）抛物线上是否存在点Q ，使得1
3
AOC AOQ S S ∆∆=?若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）21332y x x =
-；（2）P 点坐标为（3
83,- 4
3）；（3）Q 点坐标（30）或（315） 【解析】 【分析】
（1）把A 与B 坐标代入抛物线解析式求出a 与b 的值，即可确定出解析式；
（2）设P 坐标为2133
,22
x x x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝
⎭
，表示出AD 与PD ，由相似分两种情况得比例求出x 的值，即可确定出P 坐标；
（3）存在，求出已知三角形AOC 边OA 上的高h ，过O 作OM ⊥OA ，截取OM=h,与y 轴交于点N ，分别确定出M 与N 坐标，利用待定系数法求出直线MN 解析式，与抛物线解析式联立求出Q 坐标即可． 【详解】
（1）把3A 3)-和点(33B 0)代入抛物线得：333
27330
a b a b ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩，
解得：12a =
，33
2
b =-， 则抛物线解析式为2133
22
y x x =
-； （2）当P 在直线AD 上方时，
设P 坐标为2133
,2x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，则有3AD x =213332PD x x =+， 当OCA ADP ∆∆∽时，OC CA AD DP =2331333
x x x =
--+， 整理得：239318236x x x -+=-，即23113240x x -+=，
解得：6x =
，即3
x =
或x =
此时P 4)3-；
当OCA PDA ∆∆∽时，OC CA PD AD =
22
=
，
296x x -+=-
2120x -+=，
解得：x =
x =
此时P 6)；
当点()0,0P 时，也满足OCA PDA ∆∆∽； 当P 在直线AD 下方时，同理可得：P
的坐标为10)3-，
综上，P
的坐标为，4)3-
或6)
或10)3-或()0,0；
（3）在Rt AOC ∆中，3OC =
，AC =
根据勾股定理得：OA =
Q 11
··22OC AC OA h =， 3
2
h ∴=
，
132AOC AOQ S S ∆∆==
Q ， AOQ ∴∆边OA 上的高为
9
2
， 过O 作OM OA ⊥，截取9
2
OM =
，过M 作//MN OA ，交y 轴于点N ，如图所示：
在Rt OMN ∆中，29ON OM ==，即()0,9N ， 过M 作MH x ⊥轴，
在Rt OMH ∆中，1924MH OM ==，393OH ==，即93(M ，9)4， 设直线MN 解析式为9y kx =+，
把M 坐标代入得：
99394=+，即3k =39y x =+， 联立得：239
13322y x y x x ⎧=-+⎪
⎨=-
⎪⎩
，
解得：330x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩3
15
x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩(33Q 0)或(23-，15)，
则抛物线上存在点Q ，使得1
3
AOC AOQ S S ∆∆=
，此时点Q 的坐标为(330)或(23-15)．
【点睛】
二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，点到直线的距离公式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
15．空地上有一段长为a 米的旧墙MN ，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD ，已知木栏总长为100米．
（1）已知a=20，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏，且围成的矩形菜园面积为450平方米．如图1，求所利用旧墙AD 的长；
（2）已知0＜α＜50，且空地足够大，如图2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使得所围成的矩形菜园ABCD 的面积最大，并求面积的最大值．
【答案】（1）利用旧墙AD 的长为10米．（2）见解析. 【解析】 【分析】
（1）按题意设出AD ，表示AB 构成方程；
（2）根据旧墙长度a 和AD 长度表示矩形菜园长和宽，注意分类讨论s 与菜园边长之间的数量关系． 【详解】
（1）设AD=x 米，则AB=1002
x
-米 依题意得，
(100)
2
x x -＝450 解得x 1=10，x 2=90 ∵a=20，且x≤a ∴x=90舍去
∴利用旧墙AD 的长为10米．
（2）设AD=x 米，矩形ABCD 的面积为S 平方米 ①如果按图一方案围成矩形菜园，依题意 得：
S=
2(100)1
(50)125022x x x ---+＝，0＜x ＜a ∵0＜a ＜50
∴x ＜a ＜50时，S 随x 的增大而增大
当x=a 时，S 最大=50a-
12
a 2
②如按图2方案围成矩形菜园，依题意得 S=
22(1002)[(25)](25)244x a x a a x ＝+---+++，a≤x ＜50+2
a
当a ＜25+
4a ＜50时，即0＜a ＜1003
时， 则x=25+4a 时，S 最大=（25+4a ）2=2
1000020016
a a ++，
当25+
4a ≤a ，即1003
≤a ＜50时，S 随x 的增大而减小 ∴x=a 时，S 最大=
(1002)2a a a +-=2
1502
a a -，
综合①②，当0＜a ＜1003时，21000020016a a ++-（21502a a -）=2
(3100)16
a -＞0
2
1000020016
a a ++＞21502a a -，此时，按图2方案围成矩形菜园面积最大，最大面积
为2
1000020016
a a ++平方米
当
100
3
≤a ＜50时，两种方案围成的矩形菜园面积最大值相等． ∴当0＜a ＜
100
3
时，围成长和宽均为（25+4a ）米的矩形菜园面积最大，最大面积为
2
1000020016
a a ++平方米；
当
1003
≤a ＜50时，围成长为a 米，宽为（50-2a
）米的矩形菜园面积最大，最大面积为
（2
1502
a a -）平方米．
【点睛】
本题以实际应用为背景，考查了一元二次方程与二次函数最值的讨论，解得时注意分类讨论变量大小关系．。