第11讲 估算与比较-通分与裂项

求近似值或整数部分等需要进行估算的计算题，估算的关键在于确定已知数据具有恰当精度的近似值．与分数和小数比较有关的问题．用通分后再约分，或者裂项后再相消的方法解的长分式计算题．
1.除式12345678910111213÷31211101987654321计算结果的小数点后前三位数字是多少?
【分析与解】对于除法算式，我们将被除数和除数同时扩大或缩小若干倍，所得的商不变，所以可以将被除数和除数的小数点同时向左移动若干位，所得的商不变．
因为要求计算小数点后前三位数字，所以只用保留小数点后前四位数字即可．
12345678910111213÷3121110198765432l
=1234．56789101l1213÷3121．110198765432l
≈1235÷3121
≈0.3957
所以，原除式所得结果的小数点后前三位数字是395．
2．计算下式的值，其中小数部分四舍五入，答案仅保留整数：
33．3332-3.1415926÷0.618
【分析与解】
2
2
10010000
33.3331111.1
39
⎛⎫
≈=≈
⎪
⎝⎭
3．1415926÷0.618≈3.14÷0.62≈5.1．
所以33.3332-3.1415926÷0.618≈1111．1-5.1=1106．即原式的运算结果的整数部分为1106．
3．在11111
1,,,,,
,
23499100
中选出若干个数使它们的和大于3，最少要选多少个数? 【分析与解】 为了使选出的数最少，那么必须尽可能选择较大的数．
有11111
1,,,,,
,
23499100
依次减小，所以我们选择时应从左至右的选择． 有111111111
1 2.9252345678910+++++++++≈
而1111111111
1 3.015234
567891011
++++++++++≈
所以最少选择11个即可使它们的和大于3.
4.数
1
1111
10111219
++++ 的整数部分是几?
【分析与解】 我们可以先算出连10个分数的值1111
10111219
++++ ，然后用所得的结果去除l ，所得的商的整数部分即为所求． 现在问题在于如何在我们所需的精度内简单的求出
1111
10111219
++++ 的值． 因为
111110111219++++ ＜101111
10101010++++
个分数
＝1 即
111110111219++++ ＞101111101919191919
++++ 个分数
＝ 即
111110111219++++ 的值在1019
～l ，那么它的倒数在l ～19
10
之间，显然所求的数的整数部分为1．
评注：本题中的放(扩大)缩(缩小)幅度不易确定，可多次尝试修正使得放缩的结果满足要求．
5．8.01×1.24+8.02 ×1.23+8.03×1.22的整数部分是多少?
【分析与解】8.01×1.24+8.02×1.23+8.03×1.22≈3×8.0×1.2=28.8，与29很接近，所以我们需要进一步的提高近似计算的精度．
(8.01，1.24)，(8.02，1.23)，(8.03，1.22)这三组数的和相等，当每组内的两个数越接近它们的积
越大，所以8.01×1.24在三组数中乘积最大，8.03×1.22在三组数中乘积最小． 所以8.01×1.24+8.02×1.23+8.03×1.22<3×8.01×1.24<3×8.00×1.25=30； 8.01×1.24+8.02×1.23+8.03×1.22>3×8.03×1.22=29.3898． 显然8.01×1.24+8.02×1.23+8.03×1.22的整数部分是29．
6．(1)如果111111110=
222222221A ，444444443
=888888887B ,那么A 与B 中较大的数是哪一个?
(2)请把6565226798
,,,6575326809
这4个数从大到小排列。

【分析与解】 （1）111111111100.5
22222222221222222221A -－＝＝
， 114444444430.5==22888888887888888887B --,有0.50.5
>
222222221888888887, 11
>22
A B -－,所以A B <
即A 与B 中较大的数是B ．
(2)将1与这四个分数依次做差，得1657、1
53、12680、19
,显然有1111<<<2680657539,被减数相
同,差小的数反而大,所以2679656528
>>>2680657539
.
7．
24807<<319
口
在上式的方框内填入一个整数，使两端的不等号成立，那么要填的整数是多少? 【分析与解】 将不等式中的三个数同时除以80，不等号的方向不改变，有
317
<<
310720
口，而3310、7720的倒数分别为3103、7207，而□应该在31072037
之间，即在103.33～102.86之间(在计算循环小数时，将其小数点后保留2位数字)，其中的整数只有103，所以□内所填的整数为103．
8．有8个数，0.51
，23,59,0.51
,2413,4725
是其中6个，如果按从小到大的顺序排列时，第4个数是0.51
，那么按从大到小排列时，第4个数是哪一个数? 【分析与解】
2=0.6
3 ,5=0.59 ,240.510647≈,13=0.5225
显然有0.5106<0.51<0.51<0.52<0.5<0.6
即241352<051<0.51<<<472593
，8个数从小到大排列第4个是0.51
，所以有241352<<<0.51<0.51<<<472593 口口．(“口’’表示未知的那2个数). 所以，这8个数从大到小排列第4个数是0.51
．
9.在下面9个算式中: ①
35520+，②36620+,③37720+,④38820+,⑤39920+，⑥3101020+，⑦311
1120+
，⑧3121220+,⑨313
1320
+,
第几个算式的答数最小，这个答数是多少? 【分析与解】方法一： ①-②=353631-05206205620
⎛⎫⎛⎫
++=->
⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭,即①>②； ②-③=36373106207206720⎛⎫⎛⎫
+-+=->
⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭
，即②>③； ③-④=37383107208207820
⎛⎫⎛⎫+-+=->
⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭，即③>④； ④-⑤=38393108209208920⎛⎫⎛⎫
+-+=-<
⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭
，即④<⑤； ⑤-⑥，⑥-⑦，⑦-⑧，⑧-⑨所得的差依次为
31101120-⨯，31111220-⨯,31
111220
-
⨯均小于0,所以⑤<⑥，⑥<⑦，⑦<⑧，⑧<⑨，那么这些算式中最小的为④，有④为
3831
82040
+=
. 方法二：注意到每组内两个分数的乘积相等，均为
320
． 因为当两个数的乘积相等时，这两个数越接近，和越小．其中第4个算式中38、820
最接近，所以第4个算式最小·
10.下面的4个算式中，哪个式子的得数最大?
①11201719⎛⎫+⨯
⎪⎝⎭②11302429⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭，③11403137⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭；④1
1504147⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭
．
【分析与解】
①113120=2+17191719⎛⎫+⨯+ ⎪⎝⎭,
②1
11130=22429429⎛⎫+⨯++ ⎪⎝⎭
， ③119340=231373137⎛⎫+⨯++
⎪⎝⎭, ④1
19350=241474147⎛⎫+⨯++ ⎪⎝⎭
．
因为
99>315133>3757,所以9393>31375157++,即③>①， 因为99>3136，33>3787,所以9393>31373687++,即③>②，
因为99>3141,33>3747
,所以9393>31374147
++,即③>④．
所以4个算式中，③最大．
11．从所有分母小于10的真分数中，找出一个最接近0.618的分数．
【分析与解】 方法一：我们将分母为1～9的分数中最接近0.618的分数列出为：
112334456
,,,,,,,,,123456789
将它们化成小数与0.618做差，依次为0.382，0.118，0.049，0.132，
0.018，0.049，0.047，0.007，0.049．在计算其中的循环小数时小数点后保留三位数字．
又0.007最小，也就是说
5
8
最接近0.618． 即在所有分母小于10的真分数中，5
8
最接近0.618．
方法二：我们将0.618化为分数有：
于是只用比较311719+,11
429+,
933137+,934147
+的大小.
①3193=17195157++
②1193=4293687++
③9393=31373137
++ ④9393=41474147++
30910.618=
=1915001309+1=
111181191++1
=11111118+
++
1=1111145173++
++
1=111111128145
+++++1=11111111117128
+++
++
+
从前到后，依次舍弃
191309、118191、73118、6573、865、18,而得到近似分数依次为11、12、23、3
5
、58、813．其中，分母小于10的最接近
0.618的分数为58
． 评注：方法一的思维过程很清晰，但是如果对分母限定的范围比较大，如分母在50以内分数，这样方法一就不适用了． 方法二的计算比较繁琐，但是有很好的适用性．这种方法的过程是先将给出的小数或分数化为繁分数，并使繁分数中所有分子为1，然后再依次将最后部分舍去，最后将其还原为普通分数，在题中给定的分母范围内挑出最紧接的那个分数即可．
12．计算：
11111111111122339999⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛⎫+⨯-⨯+⨯-⨯⨯+⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
【分析与解】
11111111111122339999⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯-⨯+⨯-⨯⨯+⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111=1112399⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎣⎦ 1111112399⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⨯-⨯-⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
34
100=2399⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪
⎝⎭ 12
9823
99⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭
1001
=
299
⨯
50=
90
13．计算：111111111357911131517612203042567290
++++++++ 【分析与解】 1
1111111135
7911131517612203042567290
++++++++ 111
11111=(1357911131517)612203042567290⎛⎫++++++++++++++++ ⎪⎝⎭
(117)911111111=
223344556677889910+⨯⎛⎫
++++++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭
1111111111=812334455667⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1111117889910⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
11=81210⎛⎫+- ⎪⎝⎭
2=815
14．计算：11
11111648244880120168224⎛⎫++++++⨯ ⎪⎝⎭
【分析与解】 11
11111648244880120168224⎛⎫++++++⨯
⎪⎝⎭
1111111=64183868108158218288⎛⎫++++++⨯
⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭ 1111111=16483610152128⎛⎫
⨯+
+++++⨯ ⎪⎝
⎭
2222
222=8261220304256⎛⎫⨯++++++
⎪⎝⎭
2222222=812233445566778⎛⎫⨯++++++
⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭ 1111111=8212233445566778⎛⎫⨯⨯++++++
⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭
1111111111111=1612233445566778⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-
+-+-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
1=1618⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭
=14
15．计算:
23410
1----1(12)(12)(123)(123)(1234)(129)(12910)
-
⨯++⨯++++⨯+++++⨯++++
【分析与解】方法一:21
1=1(12)3
-
⨯+
231
1-=1(12)(12)(123)6
-
⨯++⨯++
2341
11(12)(12)(123)(123)(1234)10
-
--=⨯++⨯++++⨯+++
发现1+2=3，1+2+3=6，1+2+3+4=10，…，也就是说当作为最后一个减数分母的最后一个乘数为多少，作为最终结果的单位分数的分母就是多少．
所以，原题中最后一个减数分母的最后一个乘数为1+2+3+4+…+9+10=55，所以最终计算结果为
1
55
． 方法二：
21
11(12)12
=-⨯++
311
(12)(123)12123=-
+⨯+++++ 411
(12)(123)1231234=-
+⨯+++++++,
1011
=(1239)(123910)123912310-
++++⨯+++++++++++++ 11111=111212123123123411123912310⎛⎫⎛⎫⎛⎫
--------
⎪ ⎪ ⎪+++++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎛⎫
- ⎪
+++++++⎝⎭
原式
1
=
12310++++
1=55
方法三：先找出通项的规律为
[][]
12(1)12n
n n +++-⨯++
有
[][]12(1)12n n n +++-⨯++ (1)(1)22
n
n n n n =
-⨯⨯+⨯
4
(1)(1)
n n n =
-⨯⨯+
而
4112(1)(1)(1)(1)n n n n
n n n ⎡⎤=⨯-⎢⎥-⨯⨯+-⨯⨯+⎣⎦
,
以下省略．。