高中数学第一章导数及其应用(部分)1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念

3．已知函数 f(x)＝2x2－4 的图象上两点 A，B，且 xA＝1，xB＝1.1，
则函数 f(x)从 A 点到 B 点的平均变化率为
()
A．4
B．4x
C．4.2
D．4.02
答案：C
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4．在 f′(x0)＝lim Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0中，Δx 不可能为
Δx 趋于 0 的距离要多近有多近，即|Δx－0|可以小于给定
的任意小的正数，且始终 Δx≠0.
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3．导数的概念
定义式 记法
lim
x0
ΔΔxy＝
lim
Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
f′(x0) 或 y′|x＝x0
实质
函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数就是 y＝f(x) 在 x＝x0 处的 瞬时变化率
[0,0＋Δt]，即[0，Δt]，
∴Δs＝s(Δt)－s(0)＝[3Δt－(Δt)2]－(3×0－02)＝3Δt－(Δt)2，
ΔΔst＝3Δt－ΔtΔt2＝3－Δt，
lim
t 0
ΔΔst＝
lim
t 0
(3－Δt)＝3.

∴12/9/物2021体的初速度为 3.
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(2)取一时间段[2,2＋Δt]，
∴Δs＝s(2＋Δt)－s(2)
＝[3(2＋Δt)－(2＋Δt)2]－(3×2－22)
＝－Δt－(Δt)2，
ΔΔst＝－Δt－ΔtΔt2＝－1－Δt，
lim
Δt→0
ΔΔst ＝Δlitm→0
(－1－Δt)＝－1，
∴当 t＝2 时，物体的瞬时速度为－1.
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[类题通法]
2．已知 f′(1)＝－2，求lim Δx→0
f1－2ΔΔxx－f1的值．
解： lim Δx→0
f1－2Δx－f1 Δx
＝(－2)× lim Δx→0
f1－2Δx－f1 －2Δx
＝(－2)×(－2)
＝4.
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内容(nèiróng)总结
f′(x0)＝
lim
x
fxx－－fx0x0.
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三、基本技能·素养(sùyǎng)培优
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数值与 Δx 值的正、负无关．( √ )
(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理
所以lim Δt→0
ΔΔst＝lΔitm→0
2g＋12gΔt＝2g，
所以物体在 12/9/2021
t＝2
s
时的瞬时速度为
20
m/s.
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考点三 求函数在某点处的导数
[典例] (1)函数 f(x)＝2＋13x在 x＝1 处的导数为________．
(2)已知函数 f(x)在 x＝x0 处的导数为 4，则Δlixm→0fx0＋2ΔΔxx－fx0
A．大于 0
B．小于 0
C．等于 0
D．大于 0 或小于 0
答案：C
()
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考 点 一 求 函 数 的 平 均 变 化 率 [典例] 求函数 f(x)＝x2 在 x＝1,2,3 附近的平均变化率， 取 Δx 的值为13，哪一点附近的平均变化率最大？
[解] 在 x＝1 附近的平均变化率为 k1＝f1＋ΔΔxx－f1＝1＋ΔΔxx2－1＝2＋Δx； 在 x＝2 附近的平均变化率为 12/9/2k0221＝f2＋ΔΔxx－f2＝2＋ΔΔxx2－22＝4＋Δx；
量．
(×)
(3)在导数的定义中，Δx，Δy 都不可能为零．
(× )
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2．函数 y＝f(x)，自变量 x 由 x0 改变到 x0＋Δx 时，函数的改变量
Δy 为
()
A．f(x0＋Δx) C．f(x0)·Δx 答案：D
B．f(x0)＋Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)
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[针对训练]
已知函数 f(x)＝x＋1x，分别计算 f(x)在区间[1,2]和[3,5]上的
平均变化率， 并比较在两个区间上变化的快慢． 解：自变量 x 从 1 变化到 2 时，函数 f(x)的平均变化率为 ΔΔxy＝f22－－f11＝12. 自变量 x 从 3 变化到 5 时，函数 f(x)的平均变化率为 ΔΔxy＝f55－－f33＝1145.由于12<1145，
[类题通法]
求平均变化率的步骤
(1)先计算函数值的改变量 Δy＝f(x1)－f(x0)． (2)再计算自变量的改变量 Δx＝x1－x0. (3)求平均变化率ΔΔxy＝fxx11－－fx0x0.
[注意] Δx，Δy 的值可正，可负，但 Δx≠0，Δy 可为零，
若函数 f(x)为常值函数，则 Δy＝0.
(3)如何用定义求函数在某一点处的导数？
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二、归纳(guīnà)总结·核心必记
1．函数 y＝f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率
(1)定义式：ΔΔxy＝
fx2－fx1 x2－x1
.
(2)实质： 函数值 的改变量与 自变量 的改变量之比．
(3)意义：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢 ．
[针对训练] 1．求函数 y＝x－1x在 x＝1 处的导数．
解：因为 Δy＝(1＋Δx)－1＋1Δx－1－1＝Δx＋1＋ΔxΔx， 所以ΔΔxy＝Δx＋Δ1x＋ΔxΔx＝1＋1＋1Δx. 当 Δx→0 时，ΔΔxy→2， 所以函数 y＝x－1x在 x＝1 处的导数为 2.
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1.1 变化率与导数(dǎo shù)
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2．函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率
定义式
lim
x0
ΔΔxy＝
lim
x0
fx0＋Δx－fx0 Δx
瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于 0 时， 实质 平均变化率 趋近的值
作用
刻画函数在某一点 处变化的快慢
[规律总结] “Δx 无限趋近于 0”的含义
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在 x＝3 附近的平均变化率为 k3＝f3＋ΔΔxx－f3＝3＋ΔΔxx2－32＝6＋Δx； 若 Δx＝13，则 k1＝2＋13＝73，k2＝4＋13＝133，k3＝6＋13＝139， 由于 k1＜k2＜k3， 故在 x＝3 附近的平均变化率最大．
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[针对训练] 一物体做初速度为 0 的自由落体运动，运动方程为 s＝12gt2
(g＝10 m/s2，位移单位：m，时间单位：s)，求物体在 t＝
2 s 时的瞬时速度．
解：因为 Δs＝12g(2＋Δt)2－12g×22＝2gΔt＋12g(Δt)2，
所以ΔΔst＝2gΔt＋Δ12tgΔt2＝2g＋12gΔt，
＝________. [解析] (1)因为ΔΔxy＝f1＋ΔΔxx－f1
＝2＋311＋ΔΔxx－2＋13×1＝5－5＋Δ3xΔ3Δxx＝55＋－33Δx，
所以 f′(1)＝lim
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Δx→0
ΔΔxy＝Δlixm→0
55＋－33Δx＝－235.
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(2) lim Δx→0
1．求运动物体瞬时速度的三个步骤 (1)求时间改变量 Δt 和位移改变量 Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)； (2)求平均速度 v ＝ΔΔst； (3)求瞬时速度，当 Δt 无限趋近于 0 时，ΔΔst无限趋近于常数 v，即为瞬时速度． 2．求ΔΔxy(当 Δx 无限趋近于 0 时)的极限的方法 (1)在极限表达式中，可把 Δx 作为一个数来参与运算； (2)求出ΔΔxy的表达式后，Δx 无限趋近于 0 就是令 Δx＝0， 求出结果即可．
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[类题通法]
2．瞬时变化率的变形形式
lim
Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0＝Δlixm→0
fx0－Δx－fx0 －Δx
＝ lim Δx→0
fx0＋nnΔΔxx－fx0＝Δlixm→0
fx0＋Δx－fx0－Δx 2Δx
＝f′(x0)．
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所以函数
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f(x)＝x＋1x在[1,2]的平均变化比在[3,5]的平均变化慢.
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考点二 求瞬时速度
[典例] 一做直线运动的物体，其位移 s 与时间 t 的关系
是 s(t)＝3t－t2.
(1)求此物体的初速度；
(2)求此物体在 t＝2 时的瞬时速度． [解] (1)当 t＝0 时的速度为初速度．在 0 时刻取一时间段
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[点睛] 函数 f(x)在 x0 处的导数
(1)当 Δx≠0 时，比值ΔΔxy的极限存在，则 f(x)在点 x0 处
可导；若ΔΔxy的极限不存在，则 f(x)在点 x0 处不可导或无导数．
(2)在点 x＝x0 处的导数的定义可变形为 f′(x0)＝
Δlxim→0fx0－－ΔxΔ－ x fx0或
(4)平均变化率的几何意义：
设 A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线 y＝f(x)
上任意不同的两点，函数 y＝f(x)的平均变化
率
Δy Δx
＝
fx2－fx1 x2－x1
＝
fx1＋Δx－fx1 Δx
为
割
线
AB 的斜率，如图所示． 12/9/2021
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[提醒] Δx 是变量 x2 在 x1 处的改变量，且 x2 是 x1 附近的任意一点，即 Δx＝x2－x1≠0，但 Δx 可以为正， 也可以为负．
1.1 变化率与导数(dǎo shù)
1．1.1&1.1.2 变化率问题 导数的概念
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一、预习(yùxí)教材·问题导入
预习课本 P2～6，思考并完成下列问题
(1)平均变化率的定义是什么？平均变化率的几何意义是什么？
(2)瞬时变化率的定义是怎样的？如何求瞬时变化率？
fx0＋2Δx－fx0 Δx
＝ lim Δx→0
fx0＋22ΔΔxx－fx0×2
＝2lim Δx→0
fx0＋2Δx－fx0 2Δx
＝2f′(x0) ＝2×4
＝8. [答案]
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(1)－235
(2)8
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[类题通法]
1．用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤
简称：一差、二比、三极限．