高中数学-向量法搞定立体几何论文

向量法搞定立体几何
一、基础知识
111222222
111
121212121212
(,,),(,,),(1)(2)(0)cos a x y z b x y z x y z a b a b x y z a b a b x x y y z z a b a b x x y y z z λθ⇒==⊥⇒⋅⇒++=⋅==++1.设：或（
=）(3)一般情况：
2..法向量的求法
法向量指的是垂直于面的向量。

在用向量解题的过程中，只要遇到面便要求出它的法向量。

求法向量的步骤：
（1） 设此面的法向量为n （x ，y ，z ）
（2） 因为法向量垂直于面内的任意一条直线，所以在此面内任意找到两条相交直线（如：
AB （x 1，y 1，z 1）, BC （x 2，y 2，z 2）
） 则有：11122200
n AB x x y y z z n BC x x y y z z ⎧⋅=++=⎪⎨⋅=++=⎪⎩
（3） 因为上面是建立了两个方程，但是有三个未知量，所以必须设一个量，在设的时候除了求二面角时（下面有介绍）需要来考虑方向，别的情况都可以随便设，通过上面解出的相对关系，确定那两个量，这样，法向量便解出来了。

特殊情况：在此情况下（如图1所示），法向量可以直接设出来，而不用上述的方法求解。

（1）面OAC 的法向量
我们可以直接看出此面的法向量平行于x
法向量为（x ，0，0），其中x 可以随便赋值。

（2）面OAB 的法向量
我们可以直接看出此面的法向量平行于y 法向量为（0，y ，0），其中y 可以随便赋值。

（3）面OBC 的法向量
我们可以直接看出此面的法向量平行于y 轴，所以可以直接设法向量为（0，0，z ），其中z 可以随便赋值 （图1）
例一：已知一个三棱锥，OA 垂直于面OBC ，OB 垂直OC ，且OA=OB=OC=1，如图1所示，求面ABC 的法向量？
解：设ABC 的法向量为(,,)n x y z ， A （0，0，1），B （1，0，0），C （0，1，0） 则：(1,0,1)AB - ，(1,1,0)BC -
x
1112220
n AB x x y y z z x z n BC x x y y z z x y ⎧⋅=++=-=⎪⎨
⋅=++=-+=⎪⎩ 解得：x=z ；y=x ； 令x=1，则有y=z=1；
则（1，1，1）为面ABC 得法向量。

二、学会建立坐标系
1. 对于立方体、长方体、正四棱柱可以直接建立（在此不再强调）。

2. 对于不可以直接建立的立体图，要尽量建立较好求的坐标系
常用方法：找中点（一般在题中会出现等腰三角形或者等边三角形，往往找到底边的中点，顶点与中点相连，此线便垂直于底边了，把此线作为其中的一轴） 比如例二：2006年全国二卷第（19）（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB =BC ，D 、E 分别为BB 1、AC 1的中点. （Ⅰ）证明：ED 为异面直线BB 1与AC 1的公垂线； （Ⅱ）设AA 1=AC =,2AB 求二面角A 1－AD －C 1的大小.
（此图为建立完坐标系的图形） 一般的步骤：1.找到垂直于底面的一条线，作为Z 轴
2.在底面上找两条相互垂直的直线，分别作为X 轴和Y 轴
三、用向量法求解 1.点与点的距离
111222222121212(,,),(,,),
()()()A x y z B x y z AB x x y y z z =-+-+-
2.点到直线的距离
（1）已知直线的方程 y=kx+b,那么点（x 0，y 0）到此直线的距离为：
002
1
y kx b d k --=
+
（2）用面积法求解（原理：面积相等） 图解：求A 到BC 的距离
11
22
AC BE BC AD ⨯⨯=⨯⨯ A
B
C
D
E
n
θAC BE
AD
BC
⨯
=
3.点到面的距离
（1）用体积法求解（原理：体积相等。

适用于体积和面积比较好求的立体）
如前面的例一：已知一个三棱锥，OA 垂直于面OBC，OB垂直OC，且 OA=OB=OC=1，如图所示，求点O到面ABC的距离？
解：根据体积相等，设点O到面ABC的距离为d，AD为BC边的高：
则有
11
33
11
22
ABC
ABC
OA OB OC S d
S BC AD
d
⨯⨯⨯=⨯⨯
=⨯⨯==
==
得：
（2）用向量法求解
如图：求P到面ABCD的距离，设面ABCD的法向量为，O为P在面上的投影点，OP即为P到面ABCD的距离。

A.n的方向向上时
O为点P在面ABCD 上的投影点，故OP便是
点P到面ABCD的距离，则
cos
cos
AP n AP n
AP OP
AP n
OP
n
θ
θ
⋅=
=
⋅
=
通过图我们可以看出
则
B. n的方向向下时
O为点P在面ABCD 上的投影点，故OP便
是点P到面ABCD的距离，则
cos
cos
AP n AP n
AP OP
AP n
AP n
OP
n n
θ
θ
θ
⋅=
=
⋅
⋅
=-=
通过图我们可以明显看出，为钝角
所以-
则
n
x
P
O
θ
θ综上述两种情况，我们可以得出：在求点到面的距离时，先在面内任意找到一点与此点构成向量（如上面A与P构成向量），则不论n的方向如何，其点到面的距离为：
AP n
d
n
⋅
=
4.线与线的夹角
因为线与线的夹角在[0°，90°]，所以其余弦值必为正值
cos
cos
AB BC AB BC
AB BC
AB BC
θ
θ
⋅=
⋅
=
则：
可通过调整其中的一个向量的方向来使的其算的值为负值。

AB BC
AB BC
⋅
）
5.线与面的夹角
因为线与面的夹角在（0°，90°]，所以其的正余弦值必为正值
A.n法向量向上时
cos
cos
AP n AP n
AP n
AP n
θ
θ
⋅=
⋅
=
则：
∵α(所求的角)+θ=90°
∴sinα=cosθ
B.n法向量向下时
cos
cos
AP n AP n
AP n
AP n
θ
θ
⋅=
⋅
=
则：
∵θ=α(所求的角)+ 90°
∴sinα=sin（θ-90°）=-cosθ>0
6.面与面的夹角
这种题是唯一需要确定法向量发现的，老师们可能让大家用观察法来判断此二面角的角度范围（即为锐角还是钝角），但往往有时是判断不对的，现通过定法向量方向来确定二面角。

请观察下面两个图：
n
n
α
P
O
反面 反面 正面 正面 n
m α θ θ α 正面
为了计算时不繁琐，在规定法向量方向的时候，比较想让两个法向量的夹角直接等于所求的二面角，由上面四个图我们可以看到当两个法向量都从面上射出（或射入）时，其两向量所成的角与二面角互补，所以欲使两向量的夹角恰好为二面角，则应一进一出，关于是进还是出，由Z 的正负来确定（如果你设出的向量方向指向斜上方，那么Z 为正值；反之，如果设出的方向为斜下方，那么Z 为负值）。

需要注意面的正反面（所有的进出都是指的从正面进出），这是个难点，先通过下面图说明如何判断正反面。

反面
就像海蚌一样，两个壳夹得角为二面角，其外壳为上述提到的反面，壳内部为正面（如上图所示）。

四.补充
1．如果证明两面平行 那么证其法向量平行即可 2. 如果证明两面垂直 那么证其法向量垂直即可
3. 如果证明线与面平行 那么证线与面得法向量垂直即可
4. 如果证明线与面垂直 那么证线与面法向量平行即可 五.应用实例：
现已2008年全国卷为例：
如图，正四棱柱1111D C B A -ABCD 中，421==AB AA ,点E 在上且EC E C 31=. (Ⅰ)证明：⊥C A 1平面BED ; (Ⅱ)求二面角B -DE -A 1的大小.
m
n
(Ⅰ)以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴， 建立如图所示直角坐标系D xyz -．
依题设，1(220)(020)(021)(204)B C E A ，
，，，，，，，，，，． (021)(220)DE DB ==，，，，，，
1
1(224)(204)AC DA =--=，，，，，． ······················ 3分 （Ⅰ）因为10AC DB =，10AC DE =， 故1A C BD ⊥，1A C DE ⊥． 又DB
DE D =，
所以1A C ⊥平面DBE ． ··························· 6分 （Ⅱ）设向量()x y z =，，n 是平面1DA E 的法向量，则
DE ⊥n ，1DA ⊥n ．
故20y z +=，240x z +=．
（解释：第一问已经证明⊥C A 1平面BED ，所以可以把1AC 作为平面DBE 的法向量，1AC 的Z 值是负值，可以看出1AC 是射入的，则面1A DE 的法向量应该是射出的，可以明显看出射出的法向量n 是向下延伸的，所以取Z 为负值）
令2z =-，则1y =，4x =，(412)=-，，n ． ·················
9分 1AC ，n 等于二面角1A DE B --的平面角， 11114
cos 42
A C A C A C
=
=，n n n ． 所以二面角1A DE B --的大小为arccos
42
． ··············· 12分 希望对大家有所帮助，可以在别的题上试试！。