(全国通用版)新2020-2020版高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.2

3.2.2 复数代数形式的乘除运算
学习目标 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.理解共轭复数的概念．
知识点一复数的乘法及其运算律
思考怎样进行复数的乘法运算？
答案两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．
梳理(1)复数的乘法法则
设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i是任意两个复数，那么它们的积
(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
(2)复数乘法的运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律z1z2＝z2z1
结合律(z1z2)z3＝z1(z2z3)
乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
知识点二共轭复数
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，z的共轭复数用z 表示．即z＝a＋b i，则z＝a－b i.
知识点三复数的除法法则
思考类比根式除法的分母有理化，比如1＋3
3－2
＝
(1＋3)(3＋2)
(3－2)(3＋2)
，你能写出复数的除法法则
吗？
答案设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(c＋d i≠0)，
则z1
z2
＝
a＋b i
c＋d i
＝
ac＋bd
c2＋d2
＋
bc－ad
c2＋d2
i.
1．复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，再加减．( √)
2．两个共轭复数的和与积是实数．( √ )
3．若z 1，z 2∈C ，且z 2
1＋z 2
2＝0，则z 1＝z 2＝0.( × )
类型一 复数代数形式的乘除运算 例1 计算：
(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－1
2＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i (1＋i)； (2)(1＋2i )2
＋3(1－i )2＋i ；
(3)(1－4i )(1＋i )＋2＋4i 3＋4i .
考点 复数的乘除法运算法则 题点 乘除法的运算法则
解 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－1
2＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i (1＋i)
＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－34＋⎝
⎛⎭⎪⎫34－14i (1＋i)
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－32＋12i (1＋i) ＝⎝
⎛⎭⎪⎫－
32－12＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－32i ＝－1＋32＋1－32
i.
(2)(1＋2i )2
＋3(1－i )2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i
2＋i
＝
i 2＋i ＝i (2－i )5＝15＋25
i. (3)(1－4i )(1＋i )＋2＋4i 3＋4i ＝5－3i ＋2＋4i 3＋4i
＝7＋i 3＋4i ＝(7＋i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )
＝
21－28i ＋3i ＋425＝25－25i
25
＝1－i.
反思与感悟 (1)按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致，在计算时，若符合乘法公式，则可直接运
用公式计算．
(2)根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似． 跟踪训练1 计算：
(1)(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)； (2)3＋2i 2－3i ＋3－2i 2＋3i ； (3)(i －2)(i －1)(1＋i )(i －1)＋i
. 考点 复数的乘除法运算法则 题点 乘除法的运算法则
解 (1)(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i) ＝(24＋8i －6i ＋2)－(28＋21i －4i ＋3) ＝(26＋2i)－(31＋17i)＝－5－15i. (2)3＋2i 2－3i ＋3－2i 2＋3i ＝
i (2－3i )2－3i ＋－i (2＋3i )
2＋3i
＝i －i ＝0.
(3)(i －2)(i －1)(1＋i )(i －1)＋i ＝i 2
－i －2i ＋2i －1＋i 2
－i ＋i ＝
1－3i －2＋i ＝(1－3i )(－2－i )
(－2＋i )(－2－i )
＝－2－i ＋6i ＋3i 2
5＝－5＋5i 5＝－1＋i.
类型二 i 的运算性质
例2 计算：(1)2＋2i (1－i )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 016
； (2)i ＋i 2
＋…＋i
2 017
.
考点 虚数单位i 及其性质 题点 虚数单位i 的运算性质 解 (1)原式＝2(1＋i )－2i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22i 1 008
＝i(1＋i)＋(－i)1 008
＝i ＋i 2
＋(－1)1 008
·i 1 008
＝i －1＋i
4×252
＝i －1＋1
＝i.
(2)方法一 原式＝i (1－i 2 017
)1－i ＝i －i
2 018
1－i
＝i －(i 4)504
·i 2
1－i ＝i ＋1
1－i
＝
(1＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2i
2
＝i.
方法二 因为i n
＋i
n ＋1
＋i
n ＋2
＋i
n ＋3
＝i n (1＋i ＋i 2＋i 3)＝0(n ∈N *
)，
所以原式＝(i ＋i 2
＋i 3＋i 4)＋(i 5
＋i 6
＋i 7
＋i 8
)＋…＋(i 2 013
＋i
2 014
＋i
2 015
＋i
2 016
)＋i
2 017
＝i
2 017
＝(i 4)504·i＝1504
·i＝i.
反思与感悟 (1)等差、等比数列的求和公式在复数集C 中仍适用，i 的周期性要记熟，即i n
＋i
n ＋1
＋i
n ＋2
＋i
n ＋3
＝0(n ∈N *
)．
(2)记住以下结果，可提高运算速度 ①(1＋i)2
＝2i ，(1－i)2
＝－2i ； ②
1－i 1＋i ＝－i ，1＋i
1－i
＝i ； ③1
i ＝－i. 跟踪训练2 (1)⎝
⎛⎭
⎪⎫1＋i 1－i 2 017＝________.
考点 虚数单位i 及其性质 题点 虚数单位i 的运算性质 答案 i
解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i ) 2 017＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫2i 2 2 017 ＝i
2 017
＝(i 4)504·i＝1504
·i＝i.
(2)化简i ＋2i 2
＋3i 3
＋…＋100i 100
. 考点 虚数单位i 及其性质 题点 虚数单位i 的运算性质
解 设S ＝i ＋2i 2
＋3i 3
＋…＋100i 100
，① 所以i S ＝i 2
＋2i 3
＋…＋99i 100
＋100i 101
，② ①－②得
(1－i)S ＝i ＋i 2
＋i 3
＋…＋i 100
－100i 101
＝i (1－i 100
)1－i
－100i 101
＝0－100i ＝－100i.
所以S ＝－100i 1－i ＝－100i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－100(－1＋i )
2
＝50－50i.
所以i ＋2i 2
＋3i 3
＋…＋100i 100
＝50－50i.
类型三 共轭复数及其应用
例3 把复数z 的共轭复数记作z ，已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，求z . 考点 共轭复数的定义与应用 题点 利用定义求共轭复数
解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，
由已知得(1＋2i)(a －b i)＝(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，
由复数相等的定义知，⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＋2
b ＝4，
2a －b ＝3，得a ＝2，b ＝1，
所以z ＝2＋i. 引申探究
例3条件改为z (z ＋2)＝4＋3i ，求z . 解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )．则z ＝x －y i ， 由题意知，(x －y i)(x ＋y i ＋2)＝4＋3i.
得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x (2＋x )＋y 2
＝4，
xy －y (x ＋2)＝3.
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－1－11
2
，y ＝－32
或⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－1＋11
2
，y ＝－32，
所以z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－
112－32i 或z ＝⎝
⎛
⎭⎪⎫－1＋112－32i. 反思与感悟 当已知条件出现复数等式时，常设出复数的代数形式，利用复数相等的充要条件转化为实数问题求解．
跟踪训练3 已知复数z 满足|z |＝1，且(3＋4i)z 是纯虚数，求z 的共轭复数z . 考点 共轭复数的定义与应用 题点 利用定义求共轭复数
解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2
＋b 2
＝1，
即a 2
＋b
2
＝1.①
因为(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝(3a －4b )＋(3b ＋4a )i 是纯虚数，所以3a －4b ＝0，且3b ＋4a ≠0.②
由①②联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝45
，b ＝3
5
或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－4
5，b ＝－3
5.
所以z ＝45－35i 或z ＝－45＋3
5
i.
1．设复数z 满足i z ＝1，其中i 为虚数单位，则z 等于( ) A ．－i B ．i C ．－1
D ．1
考点 复数的乘除法运算法则 题点 利用乘除法求复数中的未知数 答案 A
解析 z ＝1
i
＝－i.
2．若z ＝4＋3i(i 为虚数单位)，则z
|z |等于( ) A ．1 B ．－1 C.45＋35
i D.45－35
i 考点 复数的乘除法运算法则 题点 乘除法的运算法则 答案 D
解析 z ＝4＋3i ，|z |＝5，
z
|z |＝45－35
i. 3．已知(1－i )
2
z
＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z 等于( )
A ．1＋i
B ．1－i
C ．－1＋i
D ．－1－i
考点 复数四则运算的综合应用
题点 复数的混合运算 答案 D
解析 因为(1－i )
2
z
＝1＋i ，
所以z ＝(1－i )2
1＋i ＝－2i 1＋i ＝－2i (1－i )2
＝－1－i.
4．设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若z ＝2i
3
1＋i ，则z ＝________.
考点 共轭复数的定义与应用 题点 利用定义求共轭复数 答案 －1＋i
解析 z ＝2i 3
1＋i ＝－2i (1－i )
(1＋i )(1－i )＝－1－i ，
所以z ＝－1＋i.
5．已知复数z 满足：z ·z ＋2z i ＝8＋6i ，求复数z 的实部与虚部的和． 考点 共轭复数的定义与应用 题点 与共轭复数有关系的综合问题 解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z ·z ＝a 2
＋b 2，
∴a 2
＋b 2
＋2i(a ＋b i)＝8＋6i ， 即a 2
＋b 2
－2b ＋2a i ＝8＋6i ，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 2
＋b 2
－2b ＝8，2a ＝6，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝3，
b ＝1，
∴a ＋b ＝4，
∴复数z 的实部与虚部的和是4.
1．复数代数形式的乘除运算
(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．
(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化． 2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题． 3．复数问题实数化思想．
复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，利用
复数相等的充要条件转化.
一、选择题
1．i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1
i 7等于( )
A ．0
B ．2i
C ．－2i
D ．4i
考点 虚数单位i 及其性质 题点 虚数单位i 的运算性质 答案 A
解析 1i ＝－i ，1i 3＝i ，1i 5＝－i ，1
i 7＝i ，
∴1i ＋1i 3＋1i 5＋1
i
7＝0. 2．复数(1＋i)2
(2＋3i)的值为( ) A ．6－4i B ．－6－4i C ．6＋4i
D ．－6＋4i
考点 复数的乘除法运算法则 题点 乘除法的运算法则 答案 D
解析 (1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i. 3．已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z 等于( ) A ．－2－i B ．－2＋i C ．2－i
D ．2＋i
考点 复数的乘除法运算法则 题点 利用乘除法求复数中的未知数 答案 C
解析 由(z －1)i ＝1＋i ，两边同乘以－i ，则有z －1＝1－i ，所以z ＝2－i. 4．已知复数z 1＝3－b i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2
是实数，则实数b 等于( ) A ．6 B ．－6 C ．0
D.16
考点 复数的乘除法运算法则 题点 利用乘除法求复数中的未知数 答案 A 解析 ∵z 1z 2＝3－b i 1－2i ＝(3－b i )(1＋2i )
(1－2i )(1＋2i )
＝
3＋2b ＋(6－b )i
5
是实数，
∴6－b ＝0，∴实数b 的值为6，故选A.
5．已知i 为虚数单位，图中复平面内的点A 表示复数z ，则表示复数z
1＋i
的点是( )
A ．M
B ．N
C ．P
D ．Q
考点 复数的乘除法运算法则 题点 运算结果与点的对应关系 答案 D
解析 由图可知z ＝3＋i ，
所以复数z 1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i
2
＝2－i 表示的点是Q (2，－1)．故选D.
6．设复数z 满足1＋z
1－z ＝i ，则|z |等于( )
A ．1 B. 2 C. 3
D ．2
考点 复数的乘除法运算法则 题点 利用乘除法求复数中的未知数 答案 A
解析 由1＋z
1－z
＝i ，
得z ＝－1＋i 1＋i ＝(－1＋i )(1－i )2＝2i 2＝i ，
|z |＝|i|＝1.
7．若z ＋z ＝6，z ·z ＝10，则z 等于( ) A ．1±3i B ．3±i C ．3＋i
D ．3－i 考点 共轭复数的定义与应用 题点 与共轭复数有关的综合问题 答案 B
解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z ＝a －b i ，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
2a ＝6，a 2＋b 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝±1，则z ＝3±i. 8．计算(－1＋3i )3(1＋i )6＋－2＋i 1＋2i
的值是( ) A ．0
B ．1
C ．2i
D ．i 考点 复数四则运算的综合应用
题点 复数的混合运算
答案 C
解析 原式＝(－1＋3i )3[(1＋i )2]3＋(－2＋i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )
＝(－1＋3i )3(2i )3＋－2＋4i ＋i ＋25
＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12＋32i 3－i ＋i ＝1－i ＋i ＝i (－i )i
＋i ＝2i. 二、填空题
9．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则a b 的值为________．
考点 复数的乘除法运算法则
题点 利用乘除法求复数中的未知数
答案 2
解析 因为(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，
又a ，b ∈R ，所以1＋b ＝a 且1－b ＝0，
得a ＝2，b ＝1，所以a b
＝2.
10．若复数z 满足(3－4i)z ＝4＋3i(i 是虚数单位)，则|z |＝________.
考点 复数的乘除法运算法则
题点 利用乘除法求复数中的未知数
答案 1
解析 因为(3－4i)z ＝4＋3i ，
所以z ＝4＋3i 3－4i ＝(4＋3i )(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝25i 25
＝i. 则|z |＝1.
11．定义一种运算：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝ad －bc .则复数⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1＋i －12 3i 的共轭复数是________．
考点 共轭复数的定义与应用
题点 利用定义求共轭复数
答案 －1－3i
解析 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1＋i －12 3i ＝3i(1＋i)＋2＝－1＋3i ， ∴其共轭复数为－1－3i.
三、解答题
12．已知z ，ω为复数，(1＋3i)z 为纯虚数，ω＝z 2＋i
，且|ω|＝52，求ω. 考点 复数的乘除法运算法则
题点 乘除法的综合应用
解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，
则(1＋3i)z ＝a －3b ＋(3a ＋b )i.
由题意得a －3b ＝0,3a ≠－b .
因为|ω|＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪z 2＋i ＝52， 所以|z |＝a 2＋b 2＝510，
将a ＝3b 代入，解得a ＝15，b ＝5或a ＝－15，b ＝－5，
故ω＝±15＋5i 2＋i
＝±(7－i)． 13．已知复数z ＝1＋i.
(1)设ω＝z 2
＋3z －4，求ω； (2)若z 2＋az ＋b z 2－z ＋1
＝1－i ，求实数a ，b 的值． 考点 复数四则运算的综合应用
题点 与混合运算有关的未知数求解
解 (1)因为z ＝1＋i ，
所以ω＝z 2＋3z －4＝(1＋i)2
＋3(1－i)－4＝－1－i.
(2)因为z ＝1＋i ， 所以z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝(1＋i )2＋a (1＋i )＋b (1＋i )2－(1＋i )＋1
＝1－i ，
即
(a ＋b )＋(a ＋2)i i ＝1－i ， 所以(a ＋b )＋(a ＋2)i ＝(1－i)i ＝1＋i ，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2＝1，a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝2.
四、探究与拓展
14．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋n i)(n －m i)为实数的概率为________．
考点 复数的乘除法运算法则
题点 乘除法的综合应用
答案 16
解析 易知(m ＋n i)(n －m i)＝mn －m 2i ＋n 2i ＋mn ＝2mn ＋(n 2－m 2)i.
若复数(m ＋n i)(n －m i)为实数，
则m 2＝n 2，即(m ，n )共有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，6种情况，
所以所求概率为636＝16
. 15．设z 是虚数，ω＝z ＋1z
是实数，且－1<ω<2. (1)求|z |的值及z 的实部的取值范围；
(2)设μ＝1－z 1＋z
，求证：μ为纯虚数． 考点 复数四则运算的综合应用
题点 与四则运算有关的问题
(1)解 因为z 是虚数，
所以可设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，且y ≠0)，
则ω＝z ＋1z ＝(x ＋y i)＋1x ＋y i ＝x ＋y i ＋x －y i x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫y －y x 2＋y 2i. 因为ω是实数，且y ≠0，
所以y －
y x 2＋y 2＝0， 即x 2＋y 2
＝1.
所以|z |＝1，此时ω＝2x .
又－1<ω<2，所以－1<2x <2.
所以－12<x <1，
即z 的实部的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1.
(2)证明 μ＝1－z 1＋z ＝1－(x ＋y i )
1＋(x ＋y i )
＝(1－x －y i )(1＋x －y i )
(1＋x )2＋y 2
＝1－x 2－y 2－2y i
1＋2x ＋x 2＋y 2.
又x 2＋y 2＝1，所以μ＝－y
1＋x i.
因为y ≠0，所以μ为纯虚数．。