高中数学新人教版B版精品教案《1.1.2 余弦定理》

余弦定理教学设计 一、教学内容分析
人民教育出版社B 版《普通高中课程标准实验教科书·必修5》第一章《解三角形》第一单元第二课《余弦定理》。

通过利用向量的数量积方法推导余弦定理，正确理解其结构特征和表现形式，解决“边、角、边”和“边、边、边”问题，初步体会余弦定理解决“边、边、角”，体会方程思想，激发学生探究数学，应用数学的潜能。

二、学生学习情况分析
本课之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容，对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识。

在此基础上利用向量方法探求余弦定理，学生已有一定的学习基础。

总体上学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，看待与分析问题不深入，知识的系统性不完善，使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度，在发掘出余弦定理的结构特征时，能够激发学生热爱数学的情感；从具体问题中抽象出数学的本质，应用方程的思想去审视，解决问题是学生学习的一大难点。

三、教学目标
认知目标：在复习已经学习的正弦定理和创设的问题情境中，引导学生发现余弦定理的内容，推证余弦定理，并简单运用余弦定理解三角形；
能力目标：引导学生通过观察，推导，能体会用向量作为数形结合的工具，将几何问题转化为代数问题；
情感目标：通过学生之间、师生之间的交流探究，调动学生的主动性和积极性，培养学生学习数学兴趣和热爱科学、勇于创新的精神。

四、教学重难点
重点：探究和证明余弦定理的过程；理解掌握余弦定理的内容；初步对余弦定理进行应用。

难点：1向量知识在证明余弦定理时的应用，与向量知识的联系过程；
2余弦定理在解三角形时的应用思路
探究和证明余弦定理过程既是本节课的重点，也是本节课的难点。

学生在初中已经具备了勾股定理的知识，即Rt ABC ∆中，当90C ︒∠=时，有222c a b =+ 。

在一般的ABC ∆中（即90C ︒∠≠时）三角形的三边满足什么关系呢？学生最容易想到的思路：构造直角三角形，尝试应用勾股定理去探究这个三角形的边角关系；用向量的数量积证明余弦定理更是学生想不到的，学生很难将向量的知
识与解三角形的知识相结合。

因而教师在授课时可以适当的点拨、启发，鼓励学生大胆的探索，加强学生对余弦定理的理解，又能培养学生形成良好的思维习惯，激发学生学习兴趣，这是本节课教学的重点，也是难点。

五、教学过程
环节一 【创设情境】
复习引入
让学生回答正弦定理的内容和能用这个定理解决哪些类型的问题。

教师引导学生回顾在初中学习的知识——勾股定理，即Rt ABC ∆中，当90C ︒∠=时，有222c a b =+ 。

在一般的ABC ∆中（即90C ︒∠≠时）三角形的三边满足什么关系呢？
环节二 【导入新课】
教师提问：在ABC ∆中，当90C ︒∠=时，有222c a b =+ 。

在一般的ABC ∆中（即90C ︒∠≠时）三角形的三边满足什么关系呢？请同学们思考。

教师鼓励学生积极思考，大胆发言，启发学生解决问题，学生回答。

环节三 【新课探究】（多媒体投影余弦定理的内容）
1. 利用向量数量积的知识推导出余弦定理。

推导： 如图所示，在ABC ∆中，,,BC CA AB 的长分别为,,a b c
因为AC AB BC =+ ， 所以()()AC AC AB BC AB BC ⋅=+⋅+ 222AB AB BC BC =+⋅+
222||||cos(180)AB AB BC B BC =+⋅-+
222cos c ac B a =-+
2222cos b c a ac B =+- 同理可证
2222cos a b c bc A =+-
2222cos c a b ab C =+-
2. 知识呈现
（1）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的即的两倍。

即2222cos a b c bc A =+-，
2222cos b c a ac B =+-，
2222cos c a b ab C =+-
（2）余弦定理的变式：
环节四【余弦定理应用】
1 余弦定理判断三角形的形状
在ABC ∆中，若三边,,a b c 中，边a 最大，则A ∠最大。

① 若满足222a b c <+，则090A ︒︒<<，则ABC ∆是锐角三角形；
② 若满足222a b c =+，则90A ︒=，则ABC ∆是直角三角形；
③ 若满足222a b c >+，则90180A ︒<<，则ABC ∆是钝角三角形。

2. 余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。

利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：
（1）已知三边，求三个角； （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角
环节五【知识应用·题型解析】
题型一：余弦定理解三角形
1求角C 和边长c ；
2求ABC ∆的面积
根据余弦定理得：2222cos c a b ab C =+- 【课堂练习1】 在ABC ∆中，已知C B A >>，且三边长为连续自然数，
C c a cos 2⋅=，求C B A sin :sin :sin 的值
解析： 因为C
B A >>，所以c b a >>，
又c b a ,,为连续的自然数，可设1,1-=+=b c b a ，
4,6,5===c a b ，由正弦定理可得:4:5:6sin :sin :sin =C B A
题型二：判断三角形的形状
例2：在ABC ∆中，已知
ab c b a c b a 3)(=-+++）（，且C B A sin sin cos 2=⋅，试确定ABC ∆的形状 解析：角化边
即：2222a c b c -+=，所以b a =
又因为()(),3ab c b a c b a =-+++
所以()222
3b c b a =-+， 2
3422b c b =-， c b =
所以c b a ==
即ABC ∆是等边三角形
.A 正三角形
.B 直角三角形
.C 等腰三角形
.D 等腰直角三角形
即22222a b c a =-+，
即222c b a =+，
所以ABC ∆为直角三角形
环节六【思考题】
ABC ∆的周长为y ，求)(x f y =的最大值
解析：ABC ∆中，由bc a c b =-+222及余弦定理知：
环节七【课堂小结】
1本节课利用向量的数量积等有关知识证明了——余弦定理2 余弦定理应用
（1）利用余弦定理判断三角形的形状
（2）利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：
已知三边，求三个角；
已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角
六、教学反思
1、余弦定理是解三角形的重要依据，要给予足够重视。

本节内容安排两节课适宜。

第一节，余弦定理的引出、证明和简单应用；第二节复习定理内容，加强定理的应用。

2、本节课的重点首先是定理的证明，其次才是定理的应用。

我们传统的定理概念教学往往忽视了定理、概念的形成过程，只是一味的教给学生定理概念的结论或公式，让学生通过大量的题目去套用这些结论或形式，大搞题海战术，加重了学生的负担，效果很差。

学生根本没有掌握住这些定理、概念的形成过程，不能明白知识的来龙去脉，应该强调过程，重视学生探索新知识的经历和获得的新知的体会把"发现、探究知识"的权利还给学生。

3、本节课的教学过程重视学生探究知识的过程，突出了以教师为主导，学生为主体的教学理念。

教师通过提供一些可供学生研究的素材，引导学生自己去研究问题，探究问题的结论
4、合理的应用多媒体教学，起到画龙点睛、提高效率、增强学生对问题感官认识的效果。

5、在实际的教学中，发现学生对于所学的知识（例如向量）不能很好的应用，学生的数学思想（如分类讨论、数形结合）也不能灵活的应用，这在以后的教学中还应该加强。

从授课的实际效果来看，能较好的完成本节课的教学任务。

后一阶段的教学主要应该加强师生的课堂互动活动，处理好教与学的关系，充分调动学生的课堂参与意识，鼓励学生积极大胆的发言，学生主动暴露自己的问题，教师及时的加以纠正，使教学更具针对性。