广东省顺德市勒流中学高二数学下学期第一学段考试试题 文

2013～2014学年度第2学期第一学段考试
高二级文科数学试题卷
命题人： 审题人：
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号、座位号等信息； 2．请将答案填写在答题卷指定位置上。

3.参考公式及数据：)
)()()(()(2
2
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中d c b a n +++=.
1
2
21
ˆˆˆn
i i
i n
i
i x y nx y
b
a
y bx x
nx
==-==--∑∑，. 第I 卷（选择题每题5分共50分）
1．散点图在回归分析过程中的作用是
A ．查找个体个数
B ．比较个体数据大小关系
C ．探究个体分类
D ．粗略判断变量是否线性相关
2. 已知复数z 满足(1)z i i +=,则复数z
的共轭复数．．．．
为 A.
1122i - B. 11
22
i + C. 1i + D. 1i -
3.下面框图属于
A. 流程图
B. 结构图
C. 程序框图
D. 工序流程图
4. 变量X 与Y 相对应的一组数据为(10, 1), (11, 2), (12, 3), (13, 4), (14, 5)； 变量U 与V 相对应的一组数据为(10, 5), (11, 4), (12, 3), (13, 2), (14, 1),
1r 表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，2r 表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则
A ． 210r r <<
B ． 210r r <<
C ． 210r r <<
D ． 21r r = 5.在回归分析中，下列关于2
R 的描述不正确．．．
的是
A.2R 越大，意味着模型拟合的效果越好
B.2
R 表示解释变量对于预报变量变化的贡献率
C.在实际应用中尽量选择2
R 大的回归模型 D.2
R 越大，表明残差平方和越大
6．某几何体的三视图如右图所示，则它的体积等于
A. 8
B. 6
C. 4
D.
83
7．曲线324y x x =-+在点(1,3)处的切线的倾斜角为
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．120°
8. 函数5123223+--=x x x y 在[0，3]上的最大值和最小值依次是
A. 12, -15
B. 5, -15
C. 5, -4
D. -4, -15
9．若关于x 的一元二次实系数方程20x px q ++=有一个根为 ()1i
i +为虚数单位，则
p ＋q 的值是
A ．－1
B ．0
C ．2
D ．－2
10.若二次函数()y f x =的图像过原点，且它的导数()y f x '=的图像是经过第一、二、三象限的一条直线，则()y f x =的图像顶点在
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
第II 卷（非选择题）
二、填空题（每题5分，共20分）
11．i 为虚数单位，则复数()(12)1+i i -的虚部是 ．
12．设θ[]0,π∈，若复数()1sin cos sin z i θθθ=++-是实数，则θ＝________.
13. 已知函数()21
x a
f x x +=+在1x =时取得极值，则实数a 的值是_______．
14．若()2f x x '=-，且()04f =，则不等式()0f x >的解集是________． 三、解答题（共6小题，80分） 15.（本小题满分12分）
已知复数z 与()2
28z i +-都是纯虚数，求复数z .
C
16．（本小题满分12分）
为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，调查了105个样本，统计结果为：服药的共有55个样本，服药但患病的仍有10个样本，没有服药且未患病的有30个样本. （1）根据所给样本数据完成2×2列联表中的数据； （2）请问能有多大把握认为药物有效？
17.（本小题满分14分）
在四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD ．点P 、H 分别是线段VC 、AD 的中点. （Ⅰ）求证：//VA 平面PBD ； （Ⅱ）求证：VH ABCD ⊥面 （Ⅲ）求三棱锥C PBD -的体积
18．（本小题满分14分）
将一个边长为4的正方形铁片的四角各截去一个边长为x 的小正方形，然后做成一个无盖方盒。

（1） 试把方盒的容积V 表示为x 的函数。

（2） x 多大时，方盒的容积V 最大？
19．（本小题满分14分）
某种产品的广告费支出x 与销售额y (单位：百万元)之间有如下对应数据：
(1)画出散点图； (2)求回归直线方程；
(3)试预测广告支出为10百万元时，销售额多大？
（参考数据：∑i ＝1
5
x 2
i ＝145，∑i ＝1
5
y 2
i ＝13500， ∑i ＝1
5
x i y i ＝1380 ）
20．（本小题满分14分）
已知函数()2
1ln 2
f x x a x =
- ()a R ∈． (1) 求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； (2) 求f (x )的单调区间；
(3) 若1a =-，问：当x >1时，()3
23
f x x <是否恒成立，并说明理由。

2013～2014学年第2学期第一学段考试
高二级文科数学答题卷 命题人： 审题人：
以下为学生答题区域： 一、选择题答案填写处：
座位号
11 12
13 14
三、解答题（共6小题，80分）
15．(12分)
16.（12分）
17．（ 14分）
18．（14分）
19．(14分)
20．（ 14分）
2013～2014学年度第2学期第一学段考试
高二级文科数学试题卷 命题人： 审题人：
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号、座位号等信息； 2．请将答案填写在答题卷指定位置上。

3.参考公式及数据：)
)()()(()(2
2
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中d c b a n +++=.
1
2
21
ˆˆˆn
i i
i n
i i x y nx y
b
a
y bx x nx
==-==--∑∑，. 第I 卷（选择题每题5分共50分）
1．散点图在回归分析过程中的作用是
A ．查找个体个数
B ．比较个体数据大小关系
C ．探究个体分类
D ．粗略判断变量是否线性相关
2. 已知复数z 满足(1)z i i +=,则复数z 的共轭复数．．．．
为 A.
1122i - B. 11
22
i + C. 1i + D. 1i -
3.下面框图属于
A. 流程图
B. 结构图
C. 程序框图
D. 工序流程图
4. 变量X 与Y 相对应的一组数据为(10, 1), (11, 2), (12, 3), (13, 4), (14, 5)； 变量U 与V 相对应的一组数据为(10, 5), (11, 4), (12, 3), (13, 2), (14, 1),
1r 表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，2r 表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则
A ． 210r r <<
B ． 210r r <<
C ． 210r r <<
D ． 21r r = 5.在回归分析中，下列关于2
R 的描述不正确．．．
的是 A.2
R 越大，意味着模型拟合的效果越好 B.2
R 表示解释变量对于预报变量变化的贡献率
C.在实际应用中尽量选择2
R 大的回归模型 D.2
R 越大，表明残差平方和越大
6．某几何体的三视图如右图所示，则它的体积等于
A. 8
B. 6
C. 4
D.
83
7．曲线324y x x =-+在点(1,3)处的切线的倾斜角为
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．120°
8. 函数5123223+--=x x x y 在[0，3]上的最大值和最小值依次是
A. 12, -15
B. 5, -15
C. 5, -4
D. -4, -15
9．若关于x 的一元二次实系数方程20x px q ++=有一个根为 ()1i
i +为虚数单位，则
p ＋q 的值是
A ．－1
B ．0
C ．2
D ．－2
10.若二次函数()y f x =的图像过原点，且它的导数()y f x '=的图像是经过第一、二、三象限的一条直线，则()y f x =的图像顶点在
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
第II 卷（非选择题）
二、填空题（每题5分，共20分）
11．i 为虚数单位，则复数()(12)1+i i -的虚部是 ．
12．设θ[]0,π∈，若复数()1sin cos sin z i θθθ=++-是实数，则θ＝________.
13. 已知函数()21
x a
f x x +=+在1x =时取得极值，则实数a 的值是_______．
14．若()2f x x '=-，且()04f =，则不等式()0f x >的解集是________． 三、解答题（共6小题，80分） 15.（本小题满分12分）
已知复数z 与()2
28z i +-都是纯虚数，求复数z .
16．（本小题满分12分）
为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，调查了105个样本，统计结果为：服药的共有55个样本，服药但患病的仍有10个样本，没有服药且未患病的有30个样本. （1）根据所给样本数据完成2×2列联表中的数据； （2）请问能有多大把握认为药物有效？
17.（本小题满分14分）
在四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD ．点P 、H 分别是线段VC 、AD 的中点 （Ⅰ）求证：//VA 平面PBD ； （Ⅱ）求证：VH ABCD ⊥面 （Ⅲ）求三棱锥C PBD -的体积
18．（本小题满分14分）
将一个边长为4的正方形铁片的四角各截去一个边长为x 的小正方形，然后做成一个无盖方盒。

（3） 试把方盒的容积V 表示为x 的函数。

（4） x 多大时，方盒的容积V 最大？
19．（本小题满分14分）
某种产品的广告费支出x 与销售额y (单位：百万元)之间有如下对应数据：
(1)画出散点图； (2)求回归直线方程；
(3)试预测广告支出为10百万元时，销售额多大？
（参考数据：∑i ＝1
5
x 2
i ＝145，∑i ＝1
5
y 2
i ＝13500， ∑i ＝1
5
x i y i ＝1380 ）
20．（本小题满分14分）
已知函数()2
1ln 2
f x x a x =
- ()a R ∈． (1) 求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； (2) 求f (x )的单调区间；
(3) 若1a =-，问：当x >1时，()3
23
f x x <是否恒成立，并说明理由。

2013～2014学年第2学期第一学段考试
高二级文科数学答案
一、选择题答案填写处：（每题5分）
二、填空题答案填写处：（每题5分，无中间分）
11 －1 12
4
π
13 3 14 {}|22x x -<<
三、解答题（共6小题，80分） 15．(12分)
解：因为复数z 为纯虚数，所以设(0)z bi b R b =∈≠且. ……………4分
则 ()2
28z i +-=()2
2
28(4)(48)bi i b b i +-=-+- ……………8分
又由于()2
28z i +-是纯虚数，得2b =-
所以 2
z i =- ……………12分
16.（12分） 解：（1）依题得服药但没患病的共有45个样本，没有服药且患病的有20个样本， 故可以得到以下2×2列联表：
……………………………………6分
（2）假设服药与患病没有关系，则2
K k 的观测值应该很小，
2
()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=
++++=2105(10304520)55503075⨯⨯-⨯⨯⨯⨯10536000055503075⨯=⨯⨯⨯ 6.109= …………………………………9分
∵6.109>5.024，
由独立性检验临界值表可以得出能有97.5%把握认为药物有效。

………12分
17题 （14分） 解：（Ⅰ）连结AC 与BD 交于点O ， 连结OP ……………2分
因为ABCD 是正方形，所以OA=OC,又因为PV=PC
所以//OP VA ……………4分
又因为PO PBD ⊂面,所以//VA PBD 平面……………5分 ()II VCD 在平面内，连接VH ，因为VAD 为正三角形 VH AD ∴⊥，
VAD ABCD ⊥面面，
VH ABCD ∴⊥面 ……………9分 （Ⅲ）1111
2223
C PB
D P CBD V CBD V ABD ABD
V V V V S VH ----∴==
==∙∙
21112(2)23223
=
⨯⨯⨯⨯=
……………14分
18题（14分） 解：由于是在边长为4的正方形铁片的四角各截去一个边长为x 的小正方形做成一个无盖方盒，所以无盖方盒的底面为正方形，且边长为42x -，高为x ……………3分
(1) 所以，无盖方盒的容积2
42x x -V=（），02x << ……………6分
(2)
2
42x x -V=（） , '∴V =2123216x x -+ ……………8分
令：()0V x '=，即2
1232160x x -+
=，所以22(02)3x x x ==<<或2
3
x ∴= ……10分
当20,3x ⎛
⎫∈ ⎪⎝
⎭时，()0V x '>； 当2,23x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，()0V x '<。

……………12分 因此，23x =
是函数()f x 的极大值点，也就是最大值点。

其最大值为12827
……14分 19．(14分)
解： (1) 根据表中所列数据可得散点图如下：………4分
(2) 列出下表，并进行有关计算：
因
此，x ＝25
5
＝5，y ＝250
5
＝50
∑i ＝1
5
x 2
i ＝145， ∑i ＝1
5
y 2
i ＝13500， ∑i ＝1
5
x i y i ＝1380，
于是可得5
1
52
21
5ˆ5i i
i i i x y
x y
b
x x
==-=-∑∑＝
1380－5×5×50
145－5×5
2
＝6.5； ……………9分 a ＝y －b x ＝50－6.5×5＝17.5.
因此，所求回归直线方程为ˆy
＝6.5x ＋17.5. ……………10分 (3) 据上面求得的回归直线方程，当广告费支出为10百万元时，ˆy
＝6.5×10＋17.5＝82.5(百万元) 即这种产品的销售收入大约为82.5百万元． ……………12分
20．（ 14分）
解 ()f x 的定义域为(0，＋∞)， ……………1分 由题意得()()0a
f x x x x
'=-
> ……………2分 (1)()11f a '=- ，()112
f =
， 所以过点(1,(1))f 处的切线方程为1
(1)02
a x y a --+-
= ……………4分 (2)当()0a f x ≤时，的单调递增区间为(0，＋∞)． ……………5分
当()20a x a
a f x x x x -'>=-=
时，(
x x x
+=
∴当()00x f x '<<
<；
当()0x f x '>> ……………8分
∴当0a >时，函数()f x
的单调递增区间为
)
+∞
，单调递减区间为(．
……………9分 (3) 1a =-时，设()()32
21ln 132
g x x x x x =--> 则()2
1
2g x x x x
'=--
……………10分 ∵当1x >时，()g x '＝
x －
x 2＋x ＋
x >0，
∴()g x 在(1，＋∞)上是增函数． ……………12分
∴()()1
106
g x g >=> 即
32
21ln 032x x x -->， ……………13分 ∴
2312ln 23
x x x +< 故当1x >时，2312ln 23x x x +<恒成立，即()32
3
f x x <恒成立 ………14分。