顺义区初三一模数学试题含答案.doc

顺义区2011年九年级第一次统一练习
数学试卷
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的. 1．1
2
-
的绝对值是 A ．2
B ．2-
C ．
12
D ． 12
-
2. 某区在一次扶贫助残活动中，共捐款136 000元．将136 000元用科学记数法表示为 A ．6
1.3610⨯元 B ．6
0.13610⨯元 C ．5
13.610⨯元 D ．5
1.3610⨯元
3．某班体育委员记录了第一小组七位同学定点投篮（每人投10个）的情况，投进篮框的个数分别为6 , 10 , 5 , 3 , 4 , 8 , 4 ，这组数据的中位数和极差分别是 A ．4, 7 B ．5, 7 C ．7, 5 D ．3, 7 4. 下列图形中，是中心对称图形的是 Ａ．等边三角形 Ｂ．等腰直角三角形 Ｃ．等腰梯形 Ｄ．菱形 5.几何体的三视图如下图所示，
那么这个几何体是
6． 如图，A 、B 是函数2
y x
=的图象上关于原点对称的任意两点，BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面积记为S ，则
A ． 2S =
B ． 4S =
C ． 24S <<
D ．4S >
7．如图，ABC △内接于圆O ，50A =∠，60ABC =∠，BD 是圆O 的直径，
BD 交AC 于点E ，连结DC ，则BEC ∠等于 A ．50︒ B ．60︒ C ．70︒ D ．110︒ 8．如图，矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，M 是CD 的中点，点P 在矩形的
边上沿A B C M →→→运动，则APM △的面积y 与点P 经过的路程x
之间的函数关系用图象表示大
A ．
B ．
C ．
D ．
主视图
左视图
俯视图
致是下图中的
二、填空题（本题共16分, 每小题4分） 9. 若分式
2
23
x x --有意义,则x 的取值范围是 . 10．分解因式: 3
2
2ab ab ab ++= .
11. 从下面的4张牌中，任意抽取两张．其点数和是奇数的概率是 ．
12. 将除去零以外的自然数按以下规律排列，根据第一列的奇数行的数的规律，写出第一列第9行的数为 ，再结合第一行的偶数列的数的规律，判断2011所在的位置是第 行第 列.
三、解答题(本题共30分，每小题5分) 13．计算
: 0
2
14sin 60(1()2
-︒-+ 14. 解不等式
2151
132
x x -+-≥,并把它的解集在数轴上表示出来. 15. 已知a 是一元二次方程2
320x x +-=的实数根，求代数式
2
352362a a a a a -⎛
⎫÷+- ⎪--⎝⎭
的值. 16 已知：如图，ABC △中，45ABC ∠=°，CD AB ⊥于D ，BE AC ⊥于E ，BE 与CD 相交于点F ．求证：BF AC =；
C ．
D ．
A ．
B ．
D C
B
A P
17. 列方程或方程组解应用题:
我区教委要求各学校师生开展“彩虹读书活动”. 某校九年级一班和九年级二班的学生向学校图书馆借课外读物共196本，一班为每位学生借3本，二班为每位学生借2本，一班借的课外读物数量比二班借的课外读物数量多44本，求九年级一班和二班各有学生多少人？
18． 已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数24y x =-+的图象分别与x y 、轴交于点A 、 B ，点P 在x 轴上，若6ABP S ∆=,求直线PB 的函数解析式．
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90B ∠=︒，4AD AB ==，7BC =，点E 在BC 边上，将△CDE 沿DE 折叠，点C 恰好落在AB 边上的点'C 处． （1）求'C DE ∠的度数；
（2）求△'C DE 的面积．
20. 已知：如图，AB 是O 的直径，BC 切O 于B ，AC 交O 于P ，D 为BC 边的中点，连结DP ． (1) DP 是O 的切线；
(2) 若3
cos 5
A =， O 的半径为5， 求DP 的长.
21. 学校为了学生的身体健康，每天开展体育活动一小时，开设排球、篮球、羽毛球、体操课．学生可根据自己的爱好任选其中一项，老师根据学生报名情况进行了统计，并绘制了右边尚未完成的扇形统计图和频数分布直方图，请你结合图中的信息，解答下列问题：
（1）该校学生报名总人数有多少人？
（2）从表中可知选羽毛球的学生有多少人？选排
球和篮球的人数分别占报名总人数的百分之
几？ （3）将两个统计图补充完整．
C'E D C B A
B
22． 如图，将正方形沿图中虚线（其x y <）剪成① ② ③ ④ 四块图形，用这四块图形恰好能拼成一个矩形（非正方形）．
（1）画出拼成的矩形的简图； （2）求
x
y
的值．
五、解答题（本题共22分，第23题8分，第24题7分，第25题7分）
23． 已知：关于x 的一元二次方程2
3(1)230mx m x m --+-= ()m 为实数
(1) 若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围； （2）求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根；
（3）若m 为整数，且方程的两个根均为正整数，求m 的值.
24． 已知：如图，等边△ABC 中，点D 为BC 边的中点，点F 是AB 边上一点，点E 在线段DF 的延长线上，∠BAE ＝∠BDF ，点M 在线段DF 上，∠ABE ＝∠DBM ． （1）猜想：线段AE 、MD 之间有怎样的数量关系，并加以证明； （2）在（1）的条件下延长BM 到P ，使MP ＝BM ，连接CP ，若AB ＝7，AE ＝72，
求tan ∠BCP 的值．
25． 已知：如图，抛物线2
2(0)y ax ax c a =-+≠与y 轴交于点(0,3)C ，与x 轴交于A 、B 两点，点A 的坐标为(1,0)-．
（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； （2）设点P 是在第一象限内抛物线上的一个动点，求使与四边形ACDB 面积相等的四边形ACPB 的点P 的坐标；
（3）求APD ∆的面积．
y
y x y x y x x
④③
②①
顺义区2011年九年级第一次统一练习
数学试题参考答案及评分参考
二、填空题 9. 32x ≠
; 10. 2
(1)ab b + ; 11. 12
; 12. 81 ; 第45行第15列 ． 三、解答题
13.解：原式=2414⨯+ ----------------------------4分
=3 ---------------------------------------------5分
14. 解：去分母，得 2(21)3(51)6x x --+≥ -------------------------1分 去括号，得 421536x x ---≥ ----------------------------2分
移项合并同类项，得 1111x -≥ ----------------------------3分
系数化为1，得 1x ≤- --------------------------------4分 所以，此不等式的解集为1x ≤- ，在数轴上表示如图所示
-----------------------------5分
15. 解： 原式=
3(2)(2)
53(2)22a a a a a a a -+-⎡⎤÷-⎢⎥---⎣⎦
------------2分 =2393(2)2
a a a a a --÷--
=
32
3(2)(3)(3)
a a a a a a --⨯-+- --------------------3分
=
13(3)a a +=21
39a a
+ ------------------------4分
∵ a 是方程2
320x x +-=的实数根，
∴ 2
32a a += ∴ 原式=2111
3(3)326
a a ==+⨯ ------------------------------5分
16. 证明： ∵ CD AB ⊥
∴ 90BDC CDA ∠=∠=︒ --------1分 ∵ 45ABC ∠=︒
∴ 45DCB ABC ∠=∠=︒
∴ DB DC = ----------------------2分 ∵ BE AC ⊥ ∴ 90AEB ∠=︒
∴ 90A ABE ∠+∠=︒ ∵ 90CDA ∠=︒
∴ 90A ACD ∠+∠=︒
∴ ABE ACD ∠=∠ ----------------3分 在BDF ∆和CDA ∆中
BDC CDA DB DC
ABE ACD ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
∴BDF ∆≌CDA ∆ ------------------4分 ∴BF AC = --------------------------5分
17. 解：设九年级一班有x 名学生，二班有y 名学生. ----------------------1分 根据题意列方程组，得
32196
3244x y x y +=⎧⎨-=⎩
--------------------------------3分
解此方程组，得 40
38
x y =⎧⎨
=⎩
答：九年级一班有40名学生，二班有38名学生. -----------------------5分
18. 解：令0y =，得 2x = ∴ A 点坐标为（2 ，0） 令0x =， 得 4y =
∴ B 点坐标为（0 ，4）---------------------------------1分 ∵ 6ABP S ∆= ∴
1
462
AP ⨯⨯= 即3AP = ∴ P 点的坐标分别为1(1,0)P -或2(5,0)P -----------2分 设直线PB 的函数解析式为y kx b =+
∴ 0
4k b b -+=⎧⎨
=⎩ 或
50
4
k b b +=⎧⎨
=⎩ ------------------4分
∴ 44k b =⎧⎨=⎩
或
454
k b ⎧
=-
⎪⎨⎪=⎩ ∴ 直线PB 的函数解析式为44y x =+或4
45
y x =-
+ ------------------------------5分
19. 解：(1) 过点D 作DF BC ⊥于F . ∵ AD BC , 90B ∠=︒, AD AB =, ∴ 四边形ABFD 是正方形.
∴4DF BF AB === , 3FC = --------1分 在Rt DFC ∆中，
5CD =
∴ '5C D =
∵ AD FD =,90A DFC ∠=∠=︒, 'C D CD =
∴ 'AC D FCD ∆≅∆
∴ 'ADC FDC ∠=∠ , '3AC FC == ----------------------------------2分 ∴ ''''90ADF ADC C DF FDC C DF C DC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒ ∵ 'C DE CDE ∠=∠
∴ '45C DE ∠=︒ -----------------------------------------------------------3分
(2) 设 EC x = ， 则7BE x =- ，'C E x = ∵'3AC = ∴'1BC =
在Rt 'BEC ∆中
22(7)1x x -+= 解方程，得 257
x =
∴ '11255014722777
C DE CDE
S S EC DF ∆∆==⋅=⨯⨯== ---------------5分
20.（1） 证明：连结OP 和BP
∵AB 是O 的直径，BC 切
O 于B ，
∴ 90APB ∠=︒ , AB BC ⊥ ,
∴ 90ABC ABP PBC ∠=∠+∠=︒ ------1分
在Rt BPC ∆中，D 为BC 边的中点 ∴ BD PD =
∴ BPD PBD ∠=∠
∵ OB OP =
∴OPB OBP ∠=∠--------------------------------2分
∴ 90OPD OPB BPD OBP PBD ABC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒ 即 PD OP ⊥
∴DP 是O 的切线 -----------------------------3分
B
谢谢聆听
(2) 连结OD 在Rt ABC ∆中
∵ 3
cos 5A =， O 的半径为5 ∴ 50
cos 3
AB AC A ==
∵ OA OB =, DC DB =
∴ 125
23
OD AC ==
在Rt OPD ∆中
202633
P D =
== --------5分
21. 解：（1）由两个统计图可知该校报名总人数是
160160
40040%0.4
==（人）
．-----1分 （2）选羽毛球的人数是40025%100⨯=（人）． --------------------------------------2分
因为选排球的人数是100人，所以
100
25%400=， 因为选篮球的人数是40人，所以40
10%400
=，
即选排球、篮球的人数占报名的总人数分别是25%和10%．---------------------------3分 （3）如图（每补充完整一个图得1分，共2分）．
22．（1）如图
-----------------------------2分 （2）面积可得 2
()(2)x y x y y +=+ ----------------------3分 2
2
2
22x xy y xy y ++=+ 2
2
0x xy y +-= 2
()10x x
y
y
+
-= ----------------------------------------4分
B
D C
④
③
②
①
x y =
(舍去) x y = ------------5分 23. （1）解： []2
2
2
43(1)4(23)(3)b ac m m m m ∆=-=----=--------1分 ∵方程有两个不相等的实数根，
∴ 2
(3)0m -> 且 0m ≠------------------------------------------------2分
∴ 3m ≠且 0m ≠
∴m 的取值范围是3m ≠且 0m ≠ ------------------------------------3分
（2）证明：由求根公式
3(1)(3)2m m x m
-±-== -----------------------4分
∴ 1333233
22m m m x m m m -+--=
==-
233312m m x m
--+==
∴无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1 ----------------5分
（3）∵m 为整数，且方程的两个根均为正整数
∴13
2x m
=-必为整数
∴ 1m =± 或 3m =±
当1m =时 ，11x =- ；当1m =-时，15x =； 当3m =时， 11x = ； 当3m =-时，13x =.
∴ 1m =- 或3m =± --------------------------------------------8分
24．（1）猜想：2AE MD = ------------------------------------------1分
证明：∵ △ABC 是等边三角形，点D 为BC 边的中点，
∴ 2AB BC BD ==
∵ ∠BAE ＝∠BDF , ∠ABE ＝∠DBM
∴ ABE ∆∽DBM ∆ ----------------------2分 ∴
2AE AB
DM DB
== 即 2AE MD = -------------3分
（2）解：如图， 连接EP 由（1）ABE ∆∽DBM ∆
∴
2BE AB
BM DB == ∴2BE BM =
∵MP BM = ∴ 2BP BM =
∴ BE BP =
∵ 60EBP ABE ABP PBC ABP ABC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒ ∴EBP ∆为等边三角形 ----------------------4分
∴ EM BP ⊥
∴ 90BMD ∠=︒
∴90AEB ∠=︒ -----------------------5分 在Rt △AEB 中，AB ＝7，AE ＝72
∴ BE =21=22AE -AB
∴ tan 2
BAE ∠=
-------------------6分 ∵ AB CB = ，BE BP = ，∠ABE ＝∠DBM ∴ ABE CBP ∆≅∆ ∴ BCP BAE ∠=∠
∴ tan BCP ∠=tan BAE ∠=分
25.解：（1）∵抛物线2
2(0)y ax ax c a =-+≠与y 轴交于点(0,3)C ，与x 轴
交于A (1,0)-
∴203a a c c ++=⎧⎨=⎩ 解得
1
3a c =-⎧⎨=⎩
∴ 抛物线的解析式为2
23y x x =-++ ----------------1分 ∵2
2
2
(2)3(211)3(1)4y x x x x x =--+=--+-+=--+ ∴顶点D 的坐标为（ 1 ，4） -----------------2分
（2）连结BC ,过点D 作DE x ⊥轴于点E . 令0y = 则2
230x x -++= ∴ 11x =- ，23x = ∴ 点B 的坐标为（3 ，0）
∴AOC EBD ACDB OEDC S S S S ∆∆=++四边形梯形
111
13(34)1249222
=
⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯=--------3分 ∵1
4362
ABC S ∆=
⨯⨯= ∴3BCD S ∆=
∵点P 是在第一象限内抛物线上的一个动点， ACDB ACPB S S =四边形四边形
∴3BCP BCD S S ∆∆==
谢谢聆听
谢谢聆听 ∴ 点P 是过 D 且与直线BC 平行的直线和抛物线的交点
而直线BC 的函数解析式为3y x =-+--------------------4分 ∴设直线DP 的函数解析式为y x b =-+ ， 过点D （1，4） ∴14b -+= ， 5b =
∴直线DP 的函数解析式为5y x =-+ ----------------------5分
把5y x =-+代入223y x x =-++中，解得11x =，22x =
∴点P 的坐标为（2，3） ---------------------------------6分
（3）∵点P 与点C 关于DE 对称，点B 与点A 关于 DE 对称 ∴APD BCD ∆≅∆
∴3APD BCD S S ∆∆==．---------------7分。