数学-高二福建省厦门六中2012届高三10月月考试题数学理

2012届高三上理科 数学月考试卷 2011.10
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1. 设P=｛x ︱x <4｝,Q=｛x ︱2
x <4｝，则 （A ）p Q ⊆ （B ）Q P ⊆ （C ）R
p Q C ⊆ （D ）R
Q P C
⊆
2．设2log 2.0=a ，22.0=b ，2
.02=c ，则 (A)a b c << (B)c b a <<
(C)c a b << (D)b a c <<
3. 函数x y 2sin 2
12
=的最小正周期是 A.
2
π
B. π
C. π2
D. π4 4. 函数22()log 2x
f x x
-=+是
A. 递增的奇函数
B. 递增的偶函数
C. 递减的奇函数
D. 递减的偶函数
5. 已知tan 34πθ⎛⎫
+=- ⎪⎝⎭，则2cos sin 2θθ- 的值是 （A ）45 （B ）45- （C ）34- （D ）35-
6．函数f (x )=ln ||(0)1(0)x x x x
<⎧⎪
⎨>⎪
⎩的图象大致是
7. 如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2,AA 1=1,则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为（ ） A.
63 B. 265
C.
15
5
D.
105
8 ．函数f （x ）=x —cosx 在[0，+∞）内
A ．没有零点
B ．有且仅有一个零点
C ．有且仅有两个零点
D ．有无穷多个零点
9. 已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数, 若方程f(x)= m (m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则1234x x x x +++= A. 0 B.4- C. 6- D.8-
10. 已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6
f x f π
≤对x R ∈恒成立，
O x
y O x
y O x
y x
O
y
.
D
且()()2
f f π
π>，则()f x 的单调递增区间是
（A ）,()36k k k Z ππππ⎡⎤-
+∈⎢⎥⎣⎦ （B ）,()2k k k Z πππ⎡
⎤+∈⎢⎥⎣
⎦ （C ）2,()63k k k Z ππππ⎡
⎤++∈⎢⎥⎣
⎦ （D ）,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦ 二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分．） 11. 已知α∈(
2π，π)，55)sin(=--πα，则⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-πα23sin =
12．积分2
112()e x
dx x +⎰的值是
13. 函数1
()ln ln(2)f x x x
=--的减区间是
14. 函数⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝
⎛+
=2π2sin 3π2sin x x y 的最大值是 15．函数()f x 的定义域为A ，若12,x x A ∈且12()()f x f x =时总有12x x =，则称()f x 为单函
数．例如，函数()f x =2x +1(x ∈R )是单函数．下列命题： ①函数2()f x x =（x ∈R ）是单函数； ②指数函数()2x f x =（x ∈R ）是单函数；
③若()f x 为单函数，12,x x A ∈且12x x ≠，则12()()f x f x ≠； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数． 其中的真命题是_________．（写出所有真命题的编号） 三、解答题：（本大题共6小题，共80分） 16.（本题满分13分）已知a x ax x q x x p -≤-≥--2:,23
5
:，若q ⌝是p ⌝的必要而不充分条件，求实数a 的取值范围.
17．（本题满分13分）已知函数1
()21
x
f x a =-
+. （1）求证：不论a 为何实数()f x 总是为增函数；（2）确定a 的值，使()f x 为奇函数； （3）在（2）条件下，解不等式：
01log 21>⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-x f
18.（本题满分13分）已知()sin(
2),1,3,26a x b π
⎛⎫
=--=- ⎪⎝
⎭
，且函数()f x a b =⋅， (1)求()f x 的增区间； （2）求()f x 在区间[,]122
ππ
-
上的最大、最小值及相应的x 值；
(3) 求函数()f x 的图象关于直线π=x 对称图像的对称中心和对称轴方程.
19. （本小题满分13分）某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下办法：在岸边设置两个观察点A 、B ，且 AB = 80 米，当航模在 C 处时，测得 ∠ABC=105°和 ∠BAC=30°，经过20 秒后，航模直线航行到 D 处，测得 ∠BAD=90°和 ∠ABD=45°.请你根据以上条件求出航模的速度.（答案保留根号）
20. （本小题满分14分）已知某几何体的直观图和三视图如下图所示, 其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形. (Ⅰ)证明：BN ⊥平面C 1B 1N ； (Ⅱ)设二面角C －NB 1－C 1的平面角为θ，求cos θ的值；
(Ⅲ)M 为AB 中点，在CB 上是否存在一点P ，使得MP ∥平面CNB 1，若存在，求出BP 的长;若不存在，请说明理由.
C
正视图侧视图N 1
B 1
M
21.（本小题满分14分）设函数1
()(2)ln 2(R)f x a x ax a x
=-++∈. （Ⅰ）当0=a 时，求)(x f 的极值； （Ⅱ）当0<a 时，求)(x f 的单调区间；
（Ⅲ）若对任意)2,3(--∈a 及]3,1[,21∈x x ，恒有|)()(|3ln 2)3ln (21x f x f a m ->-+
成立，求m 的取值范围.
厦门六中2011—2012学年高三数学理科卷答题卷
一、选择题：（共10小题，每小题5分，满分50分）
二、填空题：（共5小题，每小题4分，共20分）
11. ． 12． ． 13． ． 14． ．15． ．
三、解答题：（共6小题，满分80分）
号）———————
16.（本题满分13分）
17.（本题满分13分）
18.（本题满分13分）
19.（本题满分13分）
20.（本题满分14分）
2012届高三上理科数学月考试卷2011.10 参考答案
BAACD BDBDC 11.
55
2
- 12. 2e 13. （0, 1）14.
43
2+ 15. 答案：②③④——
M
解析：对于①，若12()()f x f x =，则12x x =±，不满足；②是单函数；命题③实际上是单函数命题的逆否命题，故为真命题；根据定义，命题④满足条件．
16. 解：若p 真，由
3123
5
<≤⇒≥--x x x ，[)3,1=∴A ………3分 若q 真，则0)1)((≤--x a x ，记解集为B ；当a=1时，B={1}；
当1>a 时，[]a B ,1=；当1<a 时，[]1,a B =………9分
q ⌝是p ⌝的必要而不充分条件，q p ⌝⇒⌝∴，即p q ⇒，A B ⊂∴
⎝
⎛∈<⎩⎨⎧<>=∴φa a a a a 1
,31,1或或，解得31<≤a 为所求a 的取值范围………13分 17、解： (1)
()f x 的定义域为R, 设12x x <,
则1
2
1211()()2121x x f x f x a a -=--+++=121222(12)(12)x x x x -++, 12x x <, 1212220,(12)(12)0x x x x ∴-<++>,12()()0,f x f x ∴-<
即12()()f x f x <,所以不论a 为何实数()f x 总为增函数. ………4分 (2)
()f x 为奇函数, ()()f x f x ∴-=-,即11
2121
x x a a --
=-+
++, 解得: 1.2a =
11
().221x f x ∴=-+………8分 （3）因为)0(1log 21f x f <⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-，由（1）知()f x 在R 上递增，12log 10x ∴-<
12
log 1x ∴>，即102x <<
，所以不等式的解集是：⎪⎭⎫
⎝⎛21,0………13分 18. 解：（1）()Z k k k ∈⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++,6
5,3
1ππππ，………4分 （2）2323,12
max +=
-
=y x π
，1,3
min -==y x π
， ……8分 （3）对称中心()Z k k ∈⎪⎭
⎫
⎝⎛+-
,2,212ππ， 对称轴()Z k k x ∈+=,26ππ………13分
19.本题主要考查学生运用正弦和余弦定理解决与三角形有关的实际问题的能力，考查学生
的运算能力以及化归与转化的数学思想方法满分13分. 法一:1、在△ABC 中,∵∠BAD =90°,∠ABD =45°,∴∠ADB =45°…2分
280,80=∴==∴BD AB AD …………4分
在ABC ∆中，sin 30sin 45
BC AB
=
A
B
C
D
1
80
sin30
sin45
AB
BC
⨯
∴===………6分
在DBC
∆中，DC2
=DB2+BC2-2
DB·BC cos60°)
2
2-2×××
1
2
=9600 ……10分6
40
=
∴DC………11分
航模的速度6
2
20
6
40
=
=
V（米/秒）…………12分
答：航模的速度为26（米/秒）…………14分
法二:（略解）、在ADC
∆中，ABC
AD∆
=,
80中()060
,3
1
40=
∠
+
=DAC
AC
在ACD
∆中，DC2=AD2+AC2-2AD·AC cos60°=9600 …10分
6
40
=
∴DC……11分航模的速度6
2
20
6
40
=
=
V（米/秒）
…12分答：航模的速度为26（米/秒）…………13分
法三:（略解）、如图建立直角坐标系，
则A(0，0)，B(80，0)，D(0，80）………2分
由ABC
∆，AC=40（1+3）,∴C(60+203,20+203) (7)
分
()()6
40
9600
80
3
20
20
3
20
602
2
=
=
-
+
+
+
=
∴DC……11分
航模的速度6
2
20
6
40
=
=
V（米/秒）……12分
答：航模的速度为26（米/秒）…………14分
20. 本题主要考查三视图,线面位置关系，二面角的求法等基本知识，考查空间想像能力，探索运算求解能力和推理论证能力. 满分13分.
法一:(Ⅰ)证明∵该几何体的正视图为矩形,侧视图为
等腰直角三角形,俯视图为直角梯形,∴BA,BC,BB1
两两垂直.，以BA,BC,BB1分别为x,y,z轴建立空间直
角坐标系,……1分
则N(4,4,0),B1(0,8,0),C1(0,8,4),C(0,0,4)
∵
1
BN NB
⋅=(4,4,0)·(-4,4,0)=-16+16=0，
11
BN BC
⋅=(4,4,0)·(0,0,4)=0 ……3分
∴BN⊥NB1, BN⊥B1C1且NB1与B1C1相交于B1, ∴BN⊥平面C1B1N; ……4分
(Ⅱ)∵BN ⊥平面C1B1N, BN是平面C1B 1N的一个，法向量
1
n=(4,4,0), ……5分，
设
2
n=(x,y,z)为平面NCB1的一个法向量,
则2
21
n CN
n NB
⎧⋅=
⎨
⋅=
⎩
⇒{(,,)(4,4,4)0
(,,)(4,4,0)0
x y z
x y z
⋅-=
⋅-=
⇒{00
x y z
x y
+-=
-=，取2
n=(1,1,2),…7分
M
则cos θ
……9分
(Ⅲ)∵M(2,0,0).设P(0,0,a )为BC 上一点,则MP =(-2,0,a )，∵MP ∥平面CNB 1, ∴MP ⊥2n ⇒MP ·2n =(-2,0,a ) ·(1,1,2)=-2+2 a =0⇒ a =1. ……12分 又MP ⊄平面CNB 1, ∴MP ∥平面CNB 1, ∴当BP=1时
MP ∥平面CNB 1. ……14分
法二:(Ⅰ)证明:由已知得B 1C 1⊥平面BNB 1,∴B 1C 1⊥BN,
BN=4
= B 1N,BB 1=8, ∴BB 12= BN 2+ B 1N 2, ∴
BN ⊥B 1N ，又B 1C 1与B 1N 交于B 1, ∴BN ⊥平面C 1B 1N ； (Ⅱ)过N 作NQ //B 1C 1,则
BCQN ,又BN ⊥平面C 1B 1N,
∴CQ ⊥平面C 1B 1N,则CQ ⊥B 1N, QN ⊥B 1N ,∴∠CNQ 是二面角C-B 1N-Q 的平面角θ,在Rt △CNQ 中,NQ =4,CQ
, ∴
,cos θ=
NQ CN
(Ⅲ)延长BA 、B 1N 交于R,连结CR ,∵MP ∥平面CNB 1, MP ⊂平面CBR, 平面CB R∩平面CRN 于CR, ∴MP ∥CR, △RB 1B 中AN //1
2
BB 1,∴A 为RB 中点, ∴
BP BC =BM BR =1
4
,∴BP =1,因此存在P 点使MP ∥平面CNB 1. ……14分 21.解：（Ⅰ）依题意，知()f x 的定义域为(0,)+∞.
当0a =时，1()2ln f x x x =+ ，222121
()x f x x x x -'=-=.
令()0f x '=，解得1
2
x =.……2分
当102x <<时，()0f x '<；当1
2x >时，()0f x '> .
又1
()22ln 22
f =-，所以()f x 的极小值为22ln 2-，无极大值 .………4分
（Ⅱ）221
()2a f x a x x
-'=-+222(2)1ax a x x +--=…………5分
当2a <-时，112a -<， 令()0f x '<，得1x a <-或1
2
x >，令()0f x '>，
得112x a -<<；…………6分，当20a -<<时，得112a ->，令()0f x '<，得102
x <<
或1x a >-，令()0f x '>，得11
2x a
<<-；当2a =-时，22(21)()0x f x x -'=-
≤.8分 N
1
B 1
M
N
C C
B
B A
M
R
综上所述，当2a <-时，()f x 的递减区间为11(0,),(,)2a -+∞；递增区间为11(,)2
a -. 当2a =-时，()f x 在(0,)+∞单调递减.
当20a -<<时，()f x 的递减区间为11(0,),(,)2a -
+∞；递增区间为11
(,)2a
-.…（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当(3,2)a ∈--时，()f x 在[]1,3单调递减.
当1x =时，()f x 取最大值；当3x =时，()f x 取最小值. 所以121()()(1)(3)(12)(2)ln 363f x f x f f a a a ⎡⎤-≤-=+--+
+⎢⎥⎣
⎦
2
4(2)ln 33
a a =
-+-.……11分 因为12(ln3)2ln3()()m a f x f x +->-恒成立， 所以2(ln 3)2ln 34(2)ln 33m a a a +->
-+-，整理得2
43ma a >-. 又0a < 所以243m a <-， 又因为32a -<<- ，得122
339
a -<<-，
所以132384339a -<-<-所以133
m ≤- .………14分
上式也可以化为：03
2
)4(>-+a m 恒成立，利用一次函数求m 的范围.。