高考数学试题分项版解析专题03 函数与导数(教师版) 理

2012年高考试题分项版解析数学（理科）专题03 函数与导数（教师
版）
一、选择题:
1. (2012年高考广东卷理科4)下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是
A.y=ln （x+2）（
12）x D.y=x+1x
2.(2012年高考辽宁卷理科11)设函数f (x )()x R ∈满足f (x -)=f (x )，f (x )=f (2-x )，且当[0,1]x ∈时，f (x )=x 3
.又函数g (x )=|x cos ()x π|，则函数h (x )=g (x )-f (x )在13
[,]22
-上的
零点个数为
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8
3.(2012年高考辽宁卷理科12)若[0,)x ∈+∞，则下列不等式恒成立的是 (A)2
1x
e x x ++ (211)
1
24x x <-+
(C)21cos 12x x -…
(D)21
ln(1)8
x x x +-…
4. (2012年高考福建卷理科7)设函数⎩
⎨⎧=为无理数为有理数
x x x D ,0,1)(，则下列结论错误的是（ ）
A ．)(x D 的值域为}1,0{
B ．)(x D 是偶函数
C ．)(x
D 不是周期函数 D ．)(x D 不是单调函数
5. (2012年高考福建卷理科10)函数)(x f 在],[b a 上有定义，若对任意],[,21b a x x ∈，有)]()([2
1
)2(
2121x f x f x x f +≤+，则称)(x f 在],[b a 上具有性质P 。

设)(x f 在[1,3]上具有性质P ，现给出如下命题：
①)(x f 在]3,1[上的图像时连续不断的； ②)(2
x f 在]3,1[上具有性质P ；
③若)(x f 在2=x 处取得最大值1，则1)(=x f ，]3,1[∈x ； ④
对
任
意
]
3,1[,,,4321∈x x x x ，有
)]()()()([4
1
)2(
43214321x f x f x f x f x x x x f +++≤+++。

其中真命题的序号是（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．②④
D ．③④
6．(2012年高考浙江卷理科9)设a ＞0，b ＞0．
A ．若2223a b a b +=+，则a ＞b
B ．若2223a b a b +=+，则a ＜b
C ．若2223a b a b -=-，则a ＞b
D ．若2223a b a b -=-，则a ＜b
8. (2012年高考湖北卷理科3)已知二次函数y =f(x)的图像如图所示 ，则它与X 轴所围图形的面积为( )
A.
25π B.43 C.32 D.2
π 【答案】B
【解析】由题意知,二次函数y =f(x)的图像与X 轴所围图形的面积为
1
21
(1)x dx --+⎰
=
311
1
()|3
x x --+=43,所以选B. 【考点定位】本小题考查利用定积分求平面图形的面积问题,不难.定积分是理科生高考的热点分问题之一,几乎年年必考,熟练其基础知识是解决好本类题目的关键.
9. (2012年高考湖北卷理科9)函数f （x ）=2
cos x x 在区间[0,4]上的零点个数为( ) A.4 B.5 C.6 D.7
10 . (2012年高考山东卷理科3)设a ＞0 a ≠1 ，则“函数f(x)= a x
在R 上是减函数 ”，是“函数g(x)=(2-a) 3
x 在R 上是增函数”的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件
C 充分必要条件
D 既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】p ：“函数f(x)= a x 在R 上是减函数 ”等价于10<<a ；q ：“函数g(x)=(2-a) 3
x
在R 上是增函数”等价于02>-a ，即,20<<a 且a ≠1，故p 是q 成立的充分不必要条件. 答案选A 。

11.(2012年高考山东卷理科8)定义在R 上的函数f （x ）满足f （x+6）=f （x ），当-3≤x ＜
-1时，f （x ）=-（x+2）2
，当-1≤x ＜3时，f （x ）=x 。

则f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2012）=
（A ）335（B ）338（C ）1678（D ）2012
12.(2012年高考山东卷理科9)函数的图像大致为
13.(2012年高考山东卷理科12)设函数f（x）=，g（x）=ax2+bx若y=f(x)的图像与y=g(x)图像有且仅有两个不同的公共点A（x1,y1）,B(x2,y2),则下列判断正确的是
A.当a<0时，x1+x2<0,y1+y2>0
B. 当a<0时, x1+x2>0, y1+y2<0
C.当a>0时，x1+x2<0, y1+y2<0
D. 当a>0时，x1+x2>0, y1+y2>0
14.(2012年高考新课标全国卷理科10)已知函数
1
()
ln(1)
f x
x x
=
+-
；则()
y f x
=的图像
大致为（）
15.(2012年高考新课标全国卷理科12)设点P 在曲线12
x
y e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 最小值为（ ）
()A 1ln 2- ()B
ln 2)- ()C 1ln 2+ ()
D ln 2)+
【答案】A 【解析】 函数12
x
y e =
与函数ln(2)y x =互为反函数，图象关于y x =对称, 函数12x y e =上的点1(,)2x P x e 到直线y x =
的距离为d =,
设函数min min 11()()1()1ln 222x x g x e x g x e g x d '=
-⇒=-⇒=-⇒=, 由图象关于y x =对称得：PQ
最小值为min 2ln 2)d -.
16. (2012年高考江西卷理科2)下列函数中，与函数
） A ．y=
1sin x
B.y=1nx x
C.y=x e x
D. sin x x
17. (2012年高考江西卷理科3)若函数21(1)
()lg (1)
x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，则((10))f f =（ ）
A.lg101
B.b
C.1
D.0
18.(2012年高考安徽卷理科2)下列函数中，不满足：(2)2()f x f x =的是（ ）
()A ()f x x = ()B ()f x x x =- ()C ()f x x =+1 ()D ()f x x =-
【答案】C
【解析】()f x kx =与()f x k x =均满足：(2)2()f x f x =得：,,A B D 满足条件. 19．(2012年高考湖南卷理科8)已知两条直线1l ：y =m 和2l ： y=
8
21
m +(m ＞0)，1l 与函
数2log y x =的图像从左至右相交于点A ，B ，2l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于C,D.记线段AC 和BD 在X 轴上的投影长度分别为a ,b ,当m 变化时，b
a
的最小值为
A ． B.
20. (2012年高考陕西卷理科2)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）
（A ） 1y x =+ （B ） 3
y x =- （C ） 1
y x
=
（D ） ||y x x = 【答案】D
【解析】选项中是奇函数的有B 、C 、D ，增函数有D ，故选D
【考点定位】本小题主要考查函数的奇偶性和单调性,理解和掌握基本函数的性质是关键. 21. (2012年高考陕西卷理科7)设函数()x
f x xe =，则（ ） （A ） 1x =为()f x 的极大值点 （B ）1x =为()f x 的极小值点
（C ） 1x =-为()f x 的极大值点 （D ）1x =-为()f x 的极小值点
22. (2012年高考四川卷理科5)函数1
(0,1)x
y a a a a
=-
>≠的图象可能是（ ）
23．(2012年高考全国卷理科9)已知12
5ln ,log 2,x y z e π-
===，则
A ．x y z <<
B ．z x y <<
C ．z y x <<
D ．y z x <<
【答案】D
【解析】1ln >=πx ，215log 12log 25<==y ，e
e z 1
21
=
=-，1121<<e ，所以x z y <<，选D.
【考点定位】本试题主要考查了对数、指数的比较大小的运用，采用中间值大小比较方法. 24．(2012年高考全国卷理科10)已知函数3
3y x x c =-+的图像与x 轴恰有两个公共点，则c =
A ．2-或2
B ．9-或3
C ．1-或1
D ．3-或1
25.(2012年高考重庆卷理科7)已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“()f x 为[0，1]上的增函数”是“()f x 为[3，4]上的减函数”的
（A ）既不充分也不必要的条件 （B ）充分而不必要的条件 （C ）必要而不充分的条件 （D ）充要条件 【答案】D
【解析】由()f x 是定义在R 上的偶函数及[0,1]双抗的增函数可知在[-1,0]减函数，又2为周期，所以【3,4】上的减函数.
二、填空题:
1. (2012年高考广东卷理科12)曲线y=x 3
-x+3在点（1，3）处的切线方程为 。

2. （2012年高考江苏卷5）
函数()f x 的定义域为 ▲ ．
【答案】(
【解析】根据题意得到 0log 216≥-x ，同时，x ＞0 ，解得2
1
log 6≤x ，解得6≤x ，又x ＞0
，所以函数的定义域为：(
.
【考点定位】本题主要考查函数基本性质、对数函数的单调性和图象的运用.本题容易忽略x ＞0这个条件，因此，要切实对基本初等函数的图象与性质有清晰的认识，在复习中应引起高度重视.本题属于基本题，难度适中.
3. （2012年高考江苏卷10）设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，
上，0111()201
x x ax f x bx x <+-⎧⎪
=+⎨⎪+⎩≤≤≤，
，，，其中a b ∈R ，
．若1322f f ⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则3a b +的值为 ▲ ．
4. (2012年高考北京卷理科14)已知)3)(2()(++-=m x m x m x f ，22)(-=x
x g ，若
同时满足条件：
①R x ∈∀，0)(<x f 或0)(<x g ； ②)4,(--∞∈∀x , )(x f 0)(<x g 。

则m 的取值范围是_______。

5.(2012年高考山东卷理科15)设a ＞0.若曲线与直线x ＝a ，y=0所围成封闭图形
的面积为a ，则a=______。

6. (2012年高考福建卷理科15)对于实数b a ,，定义运算“*”：⎩⎨⎧>-≤-=*b
a a
b b b
a a
b a b a ,,22，
设)1()12()(-*-=x x x f ，且关于x 的方程为)()(R m m x f ∈=恰有三个互不相等的实数根321,,x x x ，则321x x x 的取值范围是__ _ __.
7．(2012
年高考浙江卷理科
14)若将函数()5
f
x x =
表示为
()()()()2
5
0125111f x a a x a x a x =+++++++其中0a ，1a ，2a ，…，5a 为实数，则3a ＝
______________．
9.( 2012年高考天津卷理科14)已知函数
2
|1|
=
1
x
y
x
-
-
的图象与函数=2
y kx-的图象恰有两
个交点，则实数k的取值范围是 .
10．(2012年高考上海卷理科7)已知函数||)(a x e x f -=（a 为常数）.若)(x f 在区间),1[+∞上是增函数，则a 的取值范围是
.
11．(2012年高考上海卷理科9)已知2)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f ，若
2)()(+=x f x g ，则=-)1(g
.
12．(2012年高考上海卷理科13)已知函数)(x f y =的图象是折线段ABC ，其中)0,0(A 、
)5,2
1
(B 、)0,1(C ，函数)(x xf y =（10≤≤x ）的图象与x 轴围成的图形的面积为 . 【答案】
4
5 【解析】根据题意得到，
110,02
()11010,12
x x f x x x ⎧
≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≤⎪⎩从而得到
2
2110,02
()11010,12
x x y xf x x x x ⎧≤≤⎪⎪==⎨
⎪-+<≤⎪⎩所以围成的面积为
4
5
)1010(101
2
1221
=
+-+=⎰⎰dx x x xdx S ，所以围成的图形的面积为45 .
【考点定位】本题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出体现数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大. 13. (2012年高考江西卷理科11)计算定积分
1
21
(sin )x x dx -+=⎰
___________
14. (2012年高考陕西卷理科14) 设函数ln ,0
()21,0
x x f x x x >⎧=⎨--≤⎩，D 是由x 轴和曲线
()y f x =及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则2z x y =-在D 上的最大值
为 ．
三、解答题:
1. (2012年高考广东卷理科21)（本小题满分14分）
设1a <，集合{|0}A x R x =∈>，2
{|23(1)60}B x R x a x a =∈-++>，D A
B =。

（1）求集合D （用区间表示）
（2）求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点.
问题的能力.
2．（2012年高考江苏卷18）（本小题满分16分）
已知a ，b 是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点． （1）求a 和b 的值；
（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点；
（3）设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，
，求函数()y h x =的零点个数．
3．(2012年高考北京卷理科18)（本小题共13分）
已知函数()2()10f x ax a =+>，3
()g x x bx =+. （1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点()1,c 处具有公共切线，求a ，b 的值；
（2）当24a b =时，求函数()()f x g x +的单调区间，并求其在区间(]
,1-∞-上的最大值.
4. (2012年高考湖北卷理科22) (本小题满分14分)
（I）已知函数f（x）=rx-x r+（1-r）（x>0），其中r为有理数，且0<r<1.求f（x）的最小值；
（II）试用（I）的结果证明如下命题：
设a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数，若b1+b2=1，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2；
（III）请将（II）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题。

注：当α为正有理数时，有求道公式(xα）r=αxα-1
5. (2012年高考福建卷理科20)（本小题满分14分）
已知函数R a ex ax e x f x ∈-+=,)(2
（Ⅰ）若曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线平行于x 轴，求函数)(x f 的单调区间； （Ⅱ）试确定a 的取值范围，使得曲线)(x f y =上存在唯一的点P ，曲线在该点处的
切线与曲线只有一个公共点P .
6．(2012年高考上海卷理科20)（6+8=14分）已知函数)1lg()(+=x x f ．
（1）若1)()21(0<--<x f x f ，求x 的取值范围；
（2）若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有)()(x f x g =，求函数)(x g y =（]2,1[∈x ）的反函数.
7．(2012年高考浙江卷理科22) (本小题满分14分)已知a ＞0，b ∈R ，函数()342f x ax bx a b =--+．
(Ⅰ)证明：当0≤x ≤1时，
(ⅰ)函数()f x 的最大值为|2a －b |﹢a ；
(ⅱ) ()f x ＋|2a －b |﹢a ≥0；
(Ⅱ) 若﹣1≤()
f x≤1对x∈[0，1]恒成立，求a＋b的取值范围．
8. (2012年高考山东卷理科22) (本小题满分13分)
已知函数f(x) = x e
k x +ln （k 为常数，e=2.71828……是自然对数的底数），曲线y= f(x)在点（1，f(1)）处的切线与x 轴平行。

（Ⅰ）求k 的值；
（Ⅱ）求f(x)的单调区间；
（Ⅲ）设g(x)=(x 2
+x) '()f x ,其中'()f x 为f(x)的导函数，证明：对任意x ＞0，21)(-+<e x g 。

9.(2012年高考辽宁卷理科21) (本小题满分12分)
设()ln(1)(,,,)f x x ax b a b R a b =++∈为常数，曲线()y f x =与 直线32
y x =在(0，0)点相切。

(Ⅰ)求,a b 的值。

(Ⅱ)证明：当02x <<时，9()6
x f x x <+。

10.(2012年高考新课标全国卷理科21)（本小题满分12分）
已知函数()f x 满足满足121()(1)(0)2
x f x f e f x x -'=-+； （1）求()f x 的解析式及单调区间；
（2）若21()2
f x x ax b ≥++，求(1)a b +的最大值。

11.(2012年高考天津卷理科20)（本小题满分14分）已知函数()ln()f x x x a =-+的最小值为0，其中>0a .
（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若对任意的[0,+)x ∈∞,有2()f x kx ≤成立，求实数k 的最小值； （Ⅲ）证明：=12ln (2+1)<221n i n i --∑*()n N
∈
.
12. (2012年高考江西卷理科21)（本小题满分14分）
若函数h (x )满足
（1）h (0)=1，h (1)=0；
（2）对任意[]0,1a ∈，有h (h (a ))=a ；
（3）在（0,1）上单调递减。

则称h (x )为补函数。

已知函数11()()(1,0)1p
p p
x h x p x λλ-=>->+ （1）判函数h (x )是否为补函数，并证明你的结论；（lb ylfx ）
（2）若存在[]0,1m ∈，使得h (m )=m ，称m 是函数h(x)的中介元，记1()p n N n
*=∈时h (x )
的中介元为x n ，且1n n i
i S x ==∑，若对任意的n N +∈，都有S n < 12
,求λ的取值范围； （3）当λ=0，()0,1x ∈时，函数y = h (x )的图像总在直线y =1-x 的上方，求P 的取值范围。

13.(2012年高考安徽卷理科19)（本小题满分13分）K]
设1()(0)x x
f x ae b a ae =++> （I ）求()f x 在[0,)+∞上的最小值；
（II ）设曲线()y f x =在点(2,(2))f 的切线方程为32
y x =；求,a b 的值。

14. (2012年高考四川卷理科22) (本小题满分14分)
已知a 为正实数，n 为自然数，抛物线2
2
n
a y x =-+与x 轴正半轴相交于点A ，设()f n 为该抛物线在点A 处的切线在y 轴上的截距。

（Ⅰ）用a 和n 表示()f n ；
（Ⅱ）求对所有n 都有3
3()1()11
f n n f n n -≥++成立的a 的最小值； （Ⅲ）当01a <<时，比较11()(2)
n k f k f k =-∑与27(1)()4(0)(1)f f n f f --的大小，并说明理由.
15. (2012年高考湖南卷理科20)（本小题满分13分）
某企业接到生产3000台某产品的A，B，Ｃ三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为２,２,１（单位：件）.已知每个工人每天可生产Ａ部件６件，或Ｂ部件３件，或Ｃ部件２件.该企业计划安排２００名工人分成三组分别生产这三种部件，生产Ｂ部件的人数与生产Ａ部件的人数成正比，比例系数为k（k为正整数）.
（１）设生产Ａ部件的人数为ｘ，分别写出完成Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件生产需要的时间；（２）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k的值，使完成订单任务的时间最短，
并给出时间最短时具体的人数分组方案.
16. (2012年高考湖南卷理科22)（本小题满分13分） 已知函数()f x =ax
e x =-，其中a ≠0.
（1） 若对一切x ∈R ，()f x ≥1恒成立，求a 的取值集合.
（2）在函数()f x 的图像上取定两点11(,())A x f x ，22(,())B x f x 12()x x <，记直线AB 的斜率为K ，问：是否存在x 0∈（x 1，x 2），使0()f x k '>成立？若存在，求0x 的取值范围；若不存在，请说明理由.
数，研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断.
17. (2012年高考陕西卷理科21)（本小题满分14分）
设函数()(,,)n n f x x bx c
n N b c R +=++∈∈. （Ⅰ）设2n ≥，1,1b c ==-，证明：()n f x 在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
内存在唯一的零点； （Ⅱ）设2n =，若对任意12,x x [1,1]∈-，有2122|()()|4f x f x -≤，求b 的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设n x 是()n f x 在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭内的零点，判断数列23,,
,n
x x x 的增减性.
18.(2012年高考全国卷理科20)（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 设函数()cos ,[0,]f x ax x x π=+∈。

（1）讨论()f x 的单调性；
（2）设()1sin f x x ≤+，求a 的取值范围.
19. (2012年高考重庆卷理科16)（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.）
设
13
()ln1,
22
f x a x x
x
=+++其中a R
∈，曲线()
y f x
=在点(1,(1))
f处的切线垂
直于y轴.
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函数()
f x的极值.。