高考数学总复习 第八章 立体几何 课时作业54(含解析)理 新人教A版

高考数学总复习 第八章 立体几何 课时作业54（含
解析）理 新人教A 版
1．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为u ＝(－2,0，－4)，则 A ．l ∥α B ．l ⊥α C ．l ⊂α D ．l 与α斜交
答案 B
解析 ∵u ＝－2a ，∴u ∥a ，∴l ⊥α.
2．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α和平面β的位置关系是
( )
A ．平面
B ．相交但不垂直
C ．垂直
D ．重合
答案 C
解析 由(1,2,0)·(2，－1,0)＝1×2＋2×(－1)＋0×0＝0，知两平面的法向量互相垂直，所以两平面互相垂直．
3．已知A (1,0,0)、B (0,1,0)、C (0,0,1)，则平面ABC 的一个单位法向量是( ) A ．(
33，33，－3
3) B ．(
33，－33，3
3) C ．(－33，33，3
3
) D ．(－
33，－33，－3
3
) 答案 D
解析 AB →＝(－1,1,0)，AC →
＝(－1,0,1)， 设平面ABC 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0.
令x ＝1，则y ＝1，z ＝1，∴n ＝(1,1,1)．
单位法向量为±n |n |＝±(33，33，3
3
)．
4．已知点A ，B ，C ∈平面α，点P ∉α，则AP →·AB →＝0且AP →·AC →＝0是AP →·BC →
＝0的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 已知AP →·AB →＝0，AP →·AC →＝0⇒AP →·BC →＝AP →·(AC →－AB →)＝AP →·AC →－AP →·AB →
＝0.
若A 、B 、C 三点共线⇒AP →·AB →＝0，AP →·AC →
＝0. 若A ，B ，C 三点不共线D
AP →
⊥α
DAP →·AB →＝0，AP →·AC →
＝0.
5．已知a ＝(－2，－3,1)，b ＝(2,0,4)，c ＝(－4，－6,2)，则下列结论正确的是 A ．a ∥c ，b ∥c B ．a ∥b ，a ⊥c C ．a ∥c ，a ⊥b D ．以上都不对
答案 C
解析 a ·b ＝0，a ⊥b ，c ＝2a ，c ∥a .
6．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．若|a |＝3，且a 分别与AB →
，AC →
垂直，则向量a 为
( )
A ．(1,1,1)
B ．(－1，－1，－1)
C ．(1,1,1)或(－1，－1，－1)
D ．(1，－1,1)或(－1,1，－1) 答案 C
解析 AB →＝(－2，－1,3)，AC →
＝(1，－3,2)， 设a ＝(a ，b ，c )，
⎩⎪⎨⎪⎧
－2a －b ＋3c ＝0，a －3b ＋2c ＝0
⇒b ＝c ＝a .
∴a 2
＋b 2
＋c 2
＝3，a 2
＝1 a ＝±1. ∴a ＝(1,1,1)或(－1，－1，－1)．
7．若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，能使l ∥α的是( ) A ．a ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0) B ．a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1) C ．a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1) D ．a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1) 答案 D
解析 ∵l ∥平面α，∴a ⊥n .
a ·n ＝0，只有D 符合．
8．△ABC 的顶点分别为A (1，－1,2)，B (5，－6,2)，C (1,3，－1)，则AC 边上的高BD 等于
( )
A ．5
B.41
C ．4
D ．2 5
答案 A
解析 设AD →＝λAC →，D (x ，y ，z )，∴由AC →·BD →
＝0， 得λ＝－45，∴BD →＝(－4，95，12
5
)，∴|BD →|＝5.
9．如图所示，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，棱长为1，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且BE ＝CF ＝a (0<a <1)，则D ′E 与B ′F 的位置关系是( )
A ．平行
B ．垂直
C ．相交
D ．与a 值有关
答案 B
解析 方法一 如下图甲所示，连接A ′B ，AB ′，AF ，DE 易知A ′B 是D ′E 在平面
ABB ′A ′上的射影．
∵AB ′⊥A ′B ，∴D ′E ⊥AB ′. 又由BE ＝CF ，知EC ＝FD ，而AD ＝CD ， ∴Rt △DCE ≌Rt △ADF .
∴∠EDC ＝∠FAD .而∠EDC ＋∠EDA ＝90°， ∴∠FAD ＋∠EDA ＝90°，从而AF ⊥DE . 又易知DE 是D ′E 在底面ABCD 上的射影， ∴D ′E ⊥AF .
综上，知D ′E ⊥平面AB ′F ，从而D ′E ⊥B ′F . 方法二 建立如图乙所示空间直角坐标系．
则D ′(0,0,1)，E (1－a,1,0)，B ′(1,1,1)，F (0,1－a,0)， ∴D ′E →＝(1－a,1，－1)，B ′F →
＝(－1，－a ，－1)．
∴D ′E →·B ′F →
＝(1－a )×(－1)＋1×(－a )＋(－1)×(－1)＝a －1－a ＋1＝0. ∴D ′E →⊥B ′F →
，即D ′E ⊥B ′F .
10．设平面α与向量a ＝(－1,2，－4)垂直，平面β与向量b ＝(2,3,1)垂直，则平面
α与β位置关系是________．
答案 垂直
解析 由已知a ，b 分别是平面α，β的法向量． ∵a ·b ＝－2＋6－4＝0， ∴a ⊥b ，∴α⊥β.
11．设a ＝(1,2,0)，b ＝(1,0,1)，则“c ＝(23，－13，－2
3)”是“c ⊥a ，c ⊥b 且c 为单
位向量”的________．(将正确的序号填上)．
①充要条件 ②充分不必要条件 ③必要不充分条件
④既非充分条件也非必要条件 答案 ②
解析 当c ＝(23，－13，－2
3)时，c ⊥a ，c ⊥b 且c 为单位向量，反之则不成立．
12．下列命题中，所有正确命题的序号为________．
①若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则n 1∥n 2⇔α∥β； ②若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n 1·n 2＝0； ③若n 是平面α的法向量，a 与α共面，则n ·a ＝0； ④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直． 答案 ①②③④
13．如图所示，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，
M 是线段EF 的中点．
(1)求证：AM ∥平面BDE ； (2)求证：AM ⊥平面BDF .
解析 (1)建立如图所示的空间直角坐标系，
设AC ∩BD ＝N ，连接NE . 则点N 、E 的坐标分别为(
22，2
2
，0)、(0,0,1)． ∴NE →＝(－22，－2
2
，1)．
又点A 、M 的坐标分别是(2，2，0)、(22，2
2
，1)， ∴AM →＝(－22，－2
2
，1)．
∴NE →＝AM →
且NE 与AM 不共线．∴NE ∥AM . 又∵NE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ， ∴AM ∥平面BDE .
(2)同(1)，AM →＝(－22，－2
2
，1)，
∵D (2，0,0)，F (2，2，1)，∴DF →
＝(0，2，1)． ∴AM →·DF →＝0.∴AM →⊥DF →.
同理AM →⊥BF →
.又DF ∩BF ＝F ，∴AM ⊥平面BDF . 14.
如右图所示，在底面是矩形的四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，E 、F 分别是PC 、PD 的中点，PA ＝AB ＝1，BC ＝2.
(1)求证：EF ∥平面PAB ； (2)求证：平面PAD ⊥平面PDC .
思路 建立空间直角坐标系后，使用向量的共线定理证明EF →∥AB →
即可证明第(1)问，第(2)问根据向量的垂直关系证明线线垂直，进而证明线面垂直，得出面面垂直．
解析
以A 为原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系如右图所示，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,1)，所以E 为(12，1，1
2
)，
F 为(0,1，12
)．
EF →
＝(－1
2，0,0)，PB →＝(1,0，－1)，PD →＝(0,2，－1)，
AP →
＝(0,0,1)，AD →＝(0,2,0)，DC →＝(1,0,0)，AB →
＝(1,0,0)． (1)因为EF →＝－12AB →
，所以EF →∥AB →，即EF ∥AB .
又AB ⊂平面PAB ，EF ⊄平面PAB ，所以EF ∥平面PAB .
(2)因为AP →·DC →＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，AD →·DC →＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，所以AP →⊥DC →
，AD →⊥DC →
，即AP ⊥DC ，AD ⊥DC .
又AP ∩AD ＝A ，AP ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以DC ⊥平面PAD .因为DC ⊂平面PDC ，所以平面PAD ⊥平面PDC .
15．如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ∥FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，
AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12
AD .
证明：平面AMD ⊥平面CDE .
解析 方法一 因为DC ＝DE 且M 为CE 的中点，所以DM ⊥CE .取AD 中点为P ，连接MP ，则MP ⊥CE .又MP ∩DM ＝M ，故CE ⊥平面AMD .而CE ⊂平面CDE ，所以平面AMD ⊥平面CDE .
方法二 如图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点．设AB ＝1，依题意得
B (1,0,0)，
C (1,1,0)，
D (0,2,0)，
E (0,1,1)，
F (0,0,1)，M (1
2，1，12
)．
由AM →＝(12，1，1
2
)，CE →＝(－1,0,1)，AD →＝(0,2,0)，可得CE →·AM →＝0，CE →·AD →＝0.因此，
CE ⊥AM ，CE ⊥AD .又AM ∩AD ＝A ，故CE ⊥平面AMD .而CE ⊂平面CDE ，所以平面AMD ⊥平面CDE .
16.
(2013·西城区)如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，DE ＝3AF ，
BE 与平面ABCD 所成角为60°.
(1)求证：AC ⊥平面BDE ；
(2)设点M 是线段BD 上一个动点，试确定M 的位置，使得AM ∥平面BEF ，并证明你的结论．
解析 (1)因为DE ⊥平面ABCD ，所以DE ⊥AC . 因为ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD . 从而AC ⊥平面BDE .
(2)因为DA ，DC ，DE 两两垂直，
所以建立空间直角坐标系D －xyz 如图所示．
因为BE 与平面ABCD 所成角为60°， 即∠DBE ＝60°，所以ED
DB
＝ 3.
因为正方形ABCD 的边长为3，所以BD ＝32，所以
DE ＝36，AF ＝ 6.
则A (3,0,0)，F (3,0，3)，E (0,0,36)，B (3,3,0)，C (0,3,0)． 所以BF →＝(0，，3，6)，EF →＝(3,0，－26)． 设平面BEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧
n ·BF →
＝0，
n ·EF →
＝0，即⎩⎨
⎧
－3y ＋6z ＝03x －26z ＝0
，
令z ＝6，则n ＝(4,2，6)．
点M 是线段BD 上一个动点，设M (t ，t,0)． 则AM →
＝(t －3，t,0)． 因为AM ∥平面BEF ， 所以AM →
·n ＝0.
即4(t －3)＋2t ＝0，解得t ＝2.
此时，点M 为(2,2,0)，BM ＝1
3
BD ，符合题意．
1. 如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝4，点E 在CC 1上，且C 1E ＝3EC .证明：
A 1C ⊥平面BED .
解析 以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D —xyz .
依题设B (2,2,0)，C (0,2,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,4)． DE →
＝(0,2,1)，DB →
＝(2,2,0)，
A 1C →＝(－2,2，－4)，DA 1→
＝(2,0,4)．
因为A 1C →
·DB →＝0，A 1C →·DE →
＝0， 故A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DE .
又DB ∩DE ＝D ，所以A 1C ⊥平面BED .
2．已知在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD ＝90°，2AB ＝2AD ＝CD ，侧面PAD 是正三角形且垂直于底面ABCD ，E 是PC 的中点．
(1)求证：BE ⊥平面PCD ；
(2)在PB 上是否存在一点F ，使AF ∥平面BDE? 解析
(1)证明 以AD 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 设AB ＝AD ＝2，
则有B (1,2,0)，C (－1,4,0)，
D (－1,0,0)，P (0,0，3)，
E (－12，2，
3
2
)． ∴BE →＝(－32，0，32)，PC →
＝(－1,4，－3)．
CD →
＝(0，－4,0)，
∴BE →·PC →＝(－32，0，3
2
)·(－1,4，－3)＝0，
BE →
·CD →＝(－32，0，3
2)·(0，－4,0)＝0.
即BE ⊥PC ，BE ⊥CD .
又PC ∩CD ＝C ，∴BE ⊥平面PCD .
(2)解析 设平面BDE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∵n ⊥BE →，n ⊥DE →，∴n ·BE →＝0，n ·DE →
＝0.
∴⎩⎪⎨⎪⎧
－32x ＋32z ＝0，12x ＋2y ＋3
2
z ＝0.
令y ＝－1，则x ＝1，z ＝ 3.
∴平面BDE 的一个法向量为(1，－1，3)． 取PB 中点F ，则有F (12，1，3
2)．
又A (1,0,0)，∴AF →＝(－12，1，3
2
)．
∵AF →·n ＝(－12，1，32)·(1，－1，3)＝－12－1＋3
2＝0，
∴AF →
⊥n .
又n 是平面BDE 的法向量，且AF ⊄平面BDE ， ∴AF ∥平面BDE .
故存在PB 中点F 使AF ∥平面BDE .
3．已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，
D 、
E 、
F 分别为B 1A 、C 1C 、BC 的中点．
(1)求证：DE ∥平面ABC ； (2)求证：B 1F ⊥平面AEF .
解析 方法一 如图建立空间直角坐标系A —xyz ，令AB ＝AA 1＝4， 则A (0,0,0)，E (0,4,2)，F (2,2,0)，B (4,0,0)，B 1(4,0,4)． (1)取AB 中点为N ，则N (2,0,0)，
C (0,4,0)，
D (2,0,2)．
∴DE →＝(－2,4,0)，NC →
＝(－2,4,0)． ∴DE →＝NC →.
∴DE ∥NC .又NC 在面ABC 内，
11 故DE ∥面ABC .
(2)B 1F →＝(－2,2，－4)，
EF →＝(2，－2，－2)，AF →
＝(2,2,0)．
∴B 1F →·EF →＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0.
则B 1F →⊥EF →，∴B 1F ⊥EF .
∵B 1F →·AF →＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0.
∴B 1F →⊥AF →，即B 1F ⊥AF .
又∵AF ∩FE ＝F ，∴B 1F ⊥平面AEF .
方法二
(1)连接A 1B 、A 1E ，并延长A 1E 交AC 的延长线于点P ，连接BP .由E 为C 1C 的中点且A 1C 1∥CP ，可证A 1E ＝EP .
∵D 、E 分别是A 1B 、A 1P 的中点，
∴DE ∥BP .
又∵BP ⊂平面ABC ，DE ⊄平面ABC ，∴DE ∥平面ABC .
(2)∵△ABC 为等腰三角形，F 为BC 的中点，
∴BC ⊥AF .
又∵B 1B ⊥AF ，B 1B ∩BC ＝B ，
∴AF ⊥平面B 1BF .
而B 1F ⊂平面B 1BF ，∴AF ⊥B 1F .
设AB ＝A 1A ＝a ，
则B 1F 2＝32a 2，EF 2＝34a 2，B 1E 2＝94
a 2. ∴B 1F 2＋EF 2＝B 1E 2
，B 1F ⊥FE .
又AF ∩FE ＝F ，综上知B 1F ⊥平面AEF .。