2019-2020学年沪教版(上海) 八年级第二学期同步教学案代数方程综合复习之一

沪教版（上海）初中数学2019-2020学年度八年级数学同步教学案
代数方程综合复习之一
【知识梳理】
【典型类型讲解】
题型一：解方程（组）中贯穿“化归”思想
【例l 】解下列关于x 的方程：
(1)()1m x m -=; (2)3271250x -=; (3)42
690x x -+=. 【分析】(1)解含有字母的整式方程，如果它在形式上类似一元一次方程，和解只含数字系数的_元一次方程一样，通过去括号、合并同类项、移项等步骤，把原方程化简为形如ax m =的方程，然后根据字母系数a 、m 的取值的不同情况求解：
当0a ≠时，方程ax m =是一元一次方程，它的根为m x a
=；
当0a =且m ≠0时，方程ax m =无解；
当0a =且0m =时，方程ax m =有无数多个解，任何实数都是它的根．
(2)如果所得的根是有理数，一般要求出它的值；如果所得的根是无理数，可以用根式表示．
(3)设2
x y =利用换元法解方程． 【答案】(1)原方程可以化为2
1mx m =+． 当m ≠0时，原方程两边都除以m ，得21m x m
+=． 当m =0时，原方程可以化为01x =．这时，不论x 取什么值时，等式01x =都不成立，因此这个方程无解.
所以，当m ≠0时，原方程的根为21m x m
+=；当m =0时，原方程无解． (2)原方程可变形为312527
x =．
解得
53
x ===． 所以，原方程的根为53
x =． (3)设2x y =，原方程可化为2690y y -+=．
解这个方程，得123y y ==．
由2
3x =，解得3x =±
所以，原方程的根为1234x x x x ===【例2】解下列分式方程：
(1)6114x x =-+；(2)2411x x x -+=-；(3)2
56011
x x x x ⎛⎫-+= ⎪--⎝⎭；(4)2221x x x x ++=+． 【答案】(1)方程的两边都乘以()()14x x -+，约去分母，得()641x x +=-．
整理后，得525x =-．
解这个方程，得5x =-．
代入原方程检验，知5x =-是原方程的根，
所以，原方程的根为5x =-．
(2)方程两边同乘以1x -，约去分母，得()()4112x x x +-=-. 整理后，得2
4410x x -+=． 解这个方程，得1212x x ==
代人原方程检验，知12
x =是原方程的根． 所以，原方程的根为12x =
． (3)设1
x y x =-，则原方程可化为2560y y -+=. 解这个方程，得122,3y y ==．
由12y =，得21
x x =-①，解得12x =； 由23y =，得31x x =-②，解得232
x =． 经检验，12x =是方程①的根，232x =
是方程②的根． 所以，原方程的根是1232,2
x x ==．
(4)设2x x y +=，则原方程可化为21y y
+=…①， 方程①可以化为()12y y +=，即2
20y y +-=…②， 解方程②，得121,2y y ==-．
经检验，121,2y y ==-都是方程①的根．
由11y =，得21x x +=，即210x x +-=．
解得12
x -±=． 由22y =-，得22x x +=-，即220x x ++=．
因0∆<，故这个方程没有实数根．
所以，原方程的根是1211,22
x x -+-==
【例3】解无理方程：11x =.
【答案】11x =-
两边平方，得()2
4312122x x x -=-+ 整理，得2
261330x x -+=. 解得127,19x x ==.
经检验：17x =是原方程的根；219x =是原方程的增根，舍去.
∴原方程的根为7x =.
【借题发挥】
1.
2x =.
【答案】1x =.
【例4】解下列方程组：
（1）224310210x y x y x y ⎧-++-=⎨--=⎩ (2)222220560
x y x xy y ⎧+=⎨-+=⎩ 【答案】(1) 224310210x y x y x y ⎧-++-=⎨--=⎩
①② 由②，得 21y x =-． ③
把③代人①，得
()()22
42132110x x x x --++--=. 整理，得2152380x x -+=．
解这个方程，得1281,15
x x ==． 把11x =代人③，得11y =;
把2815x =代人③，得2115
y = 所以，原方程组的解为21128115;11
15x x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩
(2)把方程22
560x xy y -+=的左边分解因式，得()()230x y x y --=． 所以，20x y -=或30x y -=．
因此，原方程组可化为222220,20,20;30.
x y x y x y x y ⎧⎧+=+=⎨⎨-=-=⎩⎩
分别解这两个方程组，得原方程组的解为3124123444;;22x x x x y y y y ⎧⎧===-=-⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-==⎩⎩⎪
⎪⎩⎩【借题发挥】
1.解下列方程组：
（1）246902y x y y x ⎧+-+=⎨=+⎩； (2)()()22229320
x xy y x y x y ⎧++=⎪⎨---+=⎪⎩ 【答案】(1)246902y x y y x ⎧+-+=⎨=+⎩
①② 由②，得 2x y =-． ③
把③代人①，得
()2
42690y y y +--+=． 整理，得2210y y -+=．
解这个方程，得121y y ==．
把y=l 代人③，得1x =-．
所以，原方程组的解为121211;11
x x y y =-=-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩. (2)把方程22
29x xy y ++=的左边分解因式，得()29x y +=． 所以，3x y +=或3x y +=-.
把方程()()2
320x y x y ---+=的左边分解因式，得()()120x y x y ----=．
所以10x y --=或20x y --=．
因此，原方程组可化为3333;;;10201020x y x y x y x y x y x y x y x y +=+=+=-+=-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨--=--=--=--=⎩⎩⎩⎩
． 分别解这四个方程组，得原方程组的解为24313124511222;;;211522
x x x x y y y y ⎧⎧==-⎪⎪=-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨=-=⎩⎩⎪⎪==-⎪⎪⎩⎩. 题型二：列方程（组）解应用题
【例6】某商厦今年七月销售额为60万元．八月由于经营不善，销售额下降了10%．后来改进了管理，大大激发了员工的积极性，月销售额大幅度上升，到十月销售额猛增到96万元，求九月、十月平均每月增长的百分率．（精确到0.1%）
【分析】这是一个增长率问题，有以下两个等量关系：
①八月销售额=七月销售额×（1+月增长率）；
②十月销售额=八月销售额×（1+月平均增长率）2．
由①可求得八月的销售额，于是可直接设元，由②列出方程．
【答案】设九月、十月平均每月增长率为x ．根据题意，列出方程：
()()2601010196x -%+=，
即 ()21619x +=
． 解得1217,33
x x ==-（不合题意，舍去）． 答：商厦九月、十月平均每月销售增长33. 3%．
【借题发挥】
1．某校组织甲、乙两班学生参加“美化校园”的义务劳动，如果甲班做2小时，乙班做3小时，那么可完成全部工作的一半；如果甲班先做2小时后另有任务，剩下工作由乙班单独完成，那么乙班所用时间恰好比甲班单独完成全部工作的时间多l 小时，甲、乙两班单独完成这项工作各需多少小时？
【答案】甲、乙两班单独完成这项工作各需8小时、12小时.
【随堂练习】
一、填空题
1．方程42
320x x -+=的解是 . 2．若分式2562
x x x -+-的值是零，则x = ． 3．在解方程221232x x x x
+=--时，如果设22y x x =-，那么原方程可化为关于y 的一元二次方程的一般形式是 ．
4
0=实数根的个数有____个．
5．二元二次方程22736543x xy y x y +-+-=中，二次项是 ，一次项是 ，常数项是____．
6．方程组()2210
2x y x y ⎧-=⎨+=⎩的解是 ．
7．如果方程组22y x y x b
⎧=⎨=+⎩有两个相等的实数解，那么b = ．
8．已知直角三角形两条直角边的差是2cm ，其面积是242
cm ，则两条直角边的长为
.
【答案】1．1±；
；2．3x =；3．2310y y --=；4．2；5．227,3,6;5,4;3x xy y x y --- 6
．12341234111100x x x x y y y y ⎧==⎧⎧==⎪⎨⎨⎨==-==⎪
⎪⎩⎩⎩⎩7．12b = 8．6cm 和8cm. 二、选择题
9．解方程4111
x x -=-时，需将方程两边都乘以同一个整式（各分母的最简公分母），约去分母，所乘的这个整式为 ( )
A ．1x -
B ．()1x x -
C ．x
D ．1x +
10．党的十六大提出全面建设小康社会，加快推进社会主义现代化建设，力争国民生产总值到2020年比
2000年翻两番，在本世纪的头二十年（2001 - 2020年）要实现这一目标，以十年为单位计算，设每个十年国民生产总值的增长率都是x ，那么x 满足的方程为 ( )
A ．()212x +=
B ．()214x +=
C ．122x +=
D ．()()1214x x +++=
11．下列方程有实数解的是 ( )
54= 0= C.2240x x -+= D.2236111
x x x +=+-- 12．把1y x =-代人方程2
230x xy +-=所得的结果是 ( ) A.2
220x xy ++= B.230x x --= C.2330x x --= D.()()2
21130x x x -+--= 13．二元二次方程组22441050x y xy xy ⎧+--=⎨=⎩
的解有 ( ) A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组
14．一列列车自2004年全国铁路第5次大提速后，速度提高了26千米／时，现在该列车
从甲站到乙站所用的时间比原来减少了1小时，已知甲、乙两站的路程是312千米，若设列车提速前
的速度是x 千米，则根据题意所列方程正确的是 ( )
A ．312312126x x -=-
B ．312312126x x
-=+ C ．
312312126x x -=+ D ．312312126x x -=- 【答案】9.B 10.B 11.B 12.C 13.D 14.C
三、解答题
15．解分式方程：222241422x x x x x x
-+=-+-． 【答案】123,2x x ==(舍去).
16．解无理方程：1210x x --+=．
【答案】120,4x x ==-(舍去)
17解方程组：2220920x y x y y -=⎧⎨+--=⎩
. 【答案】122
1245,215x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=-⎪⎩
. 18．社区艺术节需用红纸花3000朵，某班集体同学自愿承担这批红纸花的制作任务，但在实际制作时，有10名同学因排练节目没有参加，这样参加劳动的同学平均每人制花的数量，比原定全班同学平均每人要完成的数量多15朵．这个班级共有多少名同学？
【答案】设有x 名同学，123000300015,50,4010x x x x
-===--（舍去） 19．如图所示，△ABC 中， ∠B= 90°，点P 从A 点开始沿AB 边向点B 以1 cm/s 的速度移动，点Q 从B 点开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动．
(1)如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，经几秒钟，使△PBQ 的面积等于82
cm ？ (2)如果P 、Q 分别从A 、B ，同时出发．（经过几秒钟PQ 的长为42cm ）
【答案】设y 秒后PQ 长为42，()()()2221226242,,25
y y y y -+=== 20．已知：方程组21020x y x y a -+=⎧⎨-++=⎩①
②，有两个实数解．
(1)求a 的取值范围；
(2)若方程有两个相等的实数解，求方程的解．
【答案】（1）①代入②得，210x x a -++=，30,4a ∆≥≤-（2）12121122,3322x x y y ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩
⎩. 【课堂总结】
【课后作业】
一、基础复习巩固
一、填空题
1
x =的解为 .
2．两个数的和为5，两个数的积为6，则这两个数是 ．
3．方程2221122x x x x x x
-=+-+的最简公分母是 ． 4．方程组115125334
x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩的解为 。

5．二元二次方程组2222940441
x y x xy y ⎧-=⎨-+=⎩可化为四个二元一次方程组，它们是 .
6．用换元法解22114x x x x +++=，可设1y x x
=+，则原方程可化为关于y 的方程是 .
7．方程32
2150x x x --=的解为 。

8．某市为治理污水，需要铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加25%，结果提前20天完成这一任务，原计划每天铺设多长管道？设原计划每天铺设x 米管道，根据题意得_____________． 【答案】1．2x =；2．12122,3,3.2x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩；3．()()211x x x +-；4．46x y =⎧⎨=⎩；5．320320320320,,,21212121
x y x y x y x y x y x y x y x y +=+=-=-=⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨-=-=--=-=-⎩⎩⎩⎩；6．260y y +-=；7．1230,5,3x x x ===- 8．()3000300020125x x
-=+%. 二、选择题
9．在方程①22410x x --=，
②2130x --=，
③20x =，④2
56022x x x x ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭中，为整式方程的是 ( )
A ．①③
B ．③④ c ．①② D ．②③
10．分式方程22312011
x x x x -++=--的根是 ( ) A ．3-或1 B ．1
3-或1 C ．3- D ．13
- 11
x =-的解是 ( )
A ．126,1x x ==-
B ．6x =-
C ．1x =-
D ．122,3x x ==
12
．方程组68==⎪⎩
的解是 ( )
A ．24x y =⎧⎨=⎩
B ．42
x y =⎧⎨=⎩
C
．2
x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ D ．1212416;164x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ 13．某学校用420元钱到商场去购买“84”消毒液，经过还价，每瓶便宜0.5元，结果比用原价多买了20瓶，求原价每瓶多少元？若设原价每瓶x 元，则可列出方程为( )
A ．420420200.5x x -=-
B ．420420200.5x x
-=- C ．4204200.520x x -=- D ．4204200.520x x
-=- 14．若方程组22412y mx y x y =+⎧⎨++=⎩①②
没有实数解，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．1m >
B ．1m <-
C ．m <l 且m ≠0
D ．1m >-且m ≠0
【答案】9.C 10.D 11.C 12.D 13.B 14.B
三、解答题
15．解分式方程：()32214221
x x x x +-+=+-． 【答案】123,7x x ==-.
16．用换元法解下列分式方程：()()222282311112x x x x x x
+-+=-+． 【答案】1231
1,3,52
x x x =-=-=-. 17
1=-．
【答案】122,6x x ==
18．已知22223424410x xy y x xy y --+++-=，求36x y +的值． 【答案】221432223214221134033,,,,1111
441066x x x x x xy y y y x xy y y y ⎧⎧==-⎪⎪==-⎧--=⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎨=-=++-=⎩⎩⎩⎪⎪==-⎪⎪⎩⎩
,∴36x y +的值为3,3-. 19．美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容．某市城区近几年来，通过．拆迁旧房，植草，栽树，修建公园等措施，使城j 区绿地面积不断增加．（如图所示）
(1)根据图中所提供的信息，回答下列问题：
2001年底的绿地面积为____公顷，比2000年底增加了____ 公顷；
在1999年，2000年，2001年这三年中，绿地面积增加最多的是____年；
(2)为满足城市发展的需要，计划到2003年底使城区绿地总面积达到72.6公
顷，试求2002年和2003年这两年绿地面积的年平均增长率．
【答案】(1)60；4；2000（2）10％
20．甲、乙两辆汽车同时从A 地出发，经过C 地去B 地，已知C 地离B 地180千米，出
发时甲车每小时比乙车多行5千米，因此，乙车经过C 地比甲车晚半小时，为赶上
甲车，乙车从C 地起将车速每小时增加10千米，结果两车同时到达B 地，求甲、乙
两车出发时的速度.
【答案】设甲出发时速度为x 千米/时，乙为y 千米/时，
121254045,,18018013540102x y x x y y x y -=⎧==-⎧⎧⎪⎨⎨⎨-===-⎩⎩⎪+⎩
（舍去）.
二、综合能力提高
1.方程9120mx m x +--+=有根2x =，求m 的可能的值.
【答案】将2x =10=
解得0m =或4-.。