有限元法

f
＝
j
jq
d
bj
2
jh
d
N
N
kij
e j i de kiej
i 1
i 1
N
N
f
＝
j
e
j qd e
f
e j
i 1
i 1
N
N
b
＝
j
e
j hd e
b
e j
i 1
i 1
kiej e j i de
f
e j
e
j qd e
有限元法首先要对场域单元化（剖分），并编号。求解变为求节点的位函数值 各单元内系数矩阵对整体系数矩阵的贡献形式相同（尝试函数在局部坐标下 形式相同，待定系数就是节点位函数值）（只与单元坐标有关）（便于计算 机重复计算） 最后封装整体系数矩阵，并消去参考节点的行、列，求解矩阵方程即可。
3. 二维有限元法
i
t
(1
t le
)
1 le
i1
t
t ( le
)
1 le
2. 一维有限元法
i
t
(1
t le
)
1 le
i1
t
t ( le
)
1 le
局部系数矩阵元素的计算
k e i,i
e i i de
le ( 1 )2 dt 1
0 le
le
k e i ,i 1
e i1 i de
＝
j
e
j hd e
b
e j
i 1
i 1
2. 一维有限元法
k
e ij
e j i de
f
e j
e
j qd e
{ K e C f e b e}
bej
e
j hd e
➢ 总体系数矩阵化为了局部系数矩阵的求和
把两个要求解的量联系 起来，有限元中令待定 系数就是节点电位，当 然尝试函数要重新确定
2. 一维有限元法
本例，场域分割成4个单元，5个节点， 求场域内电势分布，转化为求5个节点的 电位即可。 场域内其它点（各单元内）的电位，由5 个节点电位来插值表示。(一阶插值、高 阶插值)
对一 维场域来说，单元就是一个线段； 对二维场域，有限元单元形状可为二角 形、矩形等，单元形状对有限元的简化 有影响，通常为三角形
2. 一维有限元法
单元化后，整体场域积分转化为局部 单元求和
每个单元可独立处理
KC f b
kij k ji
j
i
d
f
＝
j
jq
d
bj
2
jh
d
kij j i d
N
N
e j i de kiej
i 1
i 1
N
N
f
＝
j
e
j qd e
f
e j
i 1
i 1
N
N
b
任意单元内节点尝试函数的选取：
任意三角形单元由节点i，j，k构成，每个节点的尝试函数（三角形平面）选择的规律一样：
如i节点：在i点处为1，在j，k节点处为0，从而构成单元e内的尝试函数 i
3. 二维有限元法
节点尝试函数的表达式：
平面方程：
Z
e i
a bx cy
e i
ie x
e i
y
平面过三个点：
1
f
e i
le
2 1
2
局部单元系数矩阵相加就可构成整个问题的
bie 0
整体系数矩阵（称为封装）
2. 一维有限元法
本例中局部系数矩阵
ke i ,i 1
1 le
1 1
1
1
f
e i
0.5 le 0.5
k1 1,2
1 0.2
1 1
1
1
5 5
5
5
f 1 1,2
0
(ei )
le
Xi2 t
任意单元内尝试函数的形式相同，单元内才不为0，构成的局部系数矩阵对整体矩阵有贡献
在考查的单元之外，尝试函数为0，即i, j不属于同一单元时，构成的局部系数矩阵为0，只 有当i, j＝i+1属于同一单元时，构成的局部系数矩阵才不为0，才对整体矩阵有贡献。 这样每个单元的计算分开、独立了，且每个单元的计算有是相同的、重复的，便于计 算机求解。
仍然以一个静电场例子，讲二维有限元：
间轴传输线，两个同芯长方形导体之间充满线性介质， 两导体间加有直流电压10v，导体间贮有电荷，传输线的 长度远远大于其截面，可认为电场在传输线各个截面上 的分布都相同，只需求解电场在某个截面的分布。
3. 二维有限元法
场域剖分
原则上讲，二维有限元可以取为各种多边形， 如三角形、四边形等等。与其它多边形相比， 三角形具有以下两个优点：
(1)描述二维三角形的多项式有3项，该数 目与三角形的顶点数以及节点上未知量的个 数恰好相同，因而使得多项式形函数的利用 率最高 。
(2)三角形形状简单，能十分便利地表示复 杂的几何结构。
把两个要求解的量联系 起来，有限元中令待定 系数就是节点电位，当 然尝试函数要重新确定
K f b
3. 二维有限元法
i1 i1
i 1
i i
X i1
X i1
Xi
(ei )
X i1
Xi2
1 i
Xi
(ei )
X i1
1
i1
Xi2
X i1
Xi
(ei )
X i1
Xi2
2. 一维有限元法
某单元内尝试函数的表达（局部坐标）
1
1
i
(t)
1
t le
i1(t )
t le
X i1
i i i1 i1
i i1
Xi
(ei )
X i1
➢ 这个场域的求解变为求解剖分后节点上的电位
{Ke f e be}
2. 一维有限元法
重新确定尝试函数的思想 ➢ 尝试函数本质上是在场域内对真解的近似。 ➢ 以前的尝试函数是针对整个场域来选取的（随意性大，有技巧经验因素） ➢ 现在整个场域被剖分为N个单元，每个单元内的真解由该单元尝试函数线性
组合来近似，（即尝试函数也局部化，） ➢ 当单元足够多（剖分足够细）时每单元内的尝试函数可以非常简单（线段） ➢ 尝试函数：一维一阶有限元尝试函数为直线段；二维一阶为平面 (形函数) ➢ 任意单元内的形函数只与该单元节点坐标有关，与其它单元无关
2. 一维有限元法
某单元内尝试函数确定
i
i i i1 i1
场域单元化 （剖分） 场域(0，1)分割成四个“单元”，e1、 e2、e3、e4。 单元大小与精度和计算量有关。 处理复杂场域和激励源带来极大方便。
作为一种数值计算方法，有限元法并非用来寻求问题的解析解。实际上，很多工程问题目 前都无法找到解析解。有限元的作用就在于求解分布场的势函数在每个节点上的近似值， 而势函数在单元的其它位置的值可用插值来表示：如果采用线性捅值的方法来表示分布势 函数，则称为一阶有限元法，如果采用高阶插值法表示分布势函数，则称为高阶有限元法， 通常一阶插值即可。
1. 有限元法
上一讲，利用加权余数法和变分法将偏微分方程转化为代数方程组求解
KC f b
kij k ji
j
i
d
f
＝
j
jq
d
bj
2
jh
d
通过尝试函数的 选取，近似解满 足1类边界条件，
该矩阵方程包括系数矩阵、激励源矩阵和边界矩阵，而计算这些矩阵的元素 时，常常用到分部积分法。如果为了计算精度而选取很多个尝试函数，那么 计算这些为数众多的分部积分既十分复杂又很费时间，并且很难用计算机进 行数值计算。
整个问题的代数方程组：
K f b
5 5 5 10 5
1 0.1
2
0.2
5
7.5 2.5
2.5 7.5
5
43
0.3 0.3
5 5 5 0.1
称为有限元刚度矩阵，但 不能直接求解，需要消去
1行、1列。
2. 一维有限元法
由边界条件对整个问题的代数方程组消元：
由问题的边界条件，第5 个节点电位为0.5V，已知，故消去该节点的方程：5 行5列。必有这一步，实际上原K矩阵行列式的值为0，本质上是找参考电位
2. 一维有限元法
局部系数矩阵的计算
k
e ij
kkieie,1i,i
ke i ,i 1
ke i 1,i 1
f
e i
f
e i
f
e i 1
bie
bbieie1
kiej e j i de
f
e j
e
j qd e
b
e j
e
j hd e
i
(t)
1
t le
i
1
(
t
)
t le
5
5
f 4 4,5
0.5 0.20.5
0.1 0.1
2. 一维有限元法
整体矩阵的封装 各单元系数矩阵按照节点编号次序，在整体矩阵的相应行列填充并相加即可
k11,2
5 5
5
5
f11,2
0.1 0.1
k22,3
5 5
5
5
f
2 2,3
0.1 0.1
k33,4
2.5 2.5
0.5 0.20.5
0.1 0.1
k2 2,3
1 0.2
1 1
1
1
5 5
5
5
f 2 2,3
0.5 0.20.5
0.1 0.1
k3 3,4
1 0.4
1 1
1 2.5
1
2.5
f 3 3,4
0.400..55
0.2 0.2
2.5
2.5
k4 4,5
1 0.2
1 1
1
1
5 5
单元e内位函数的值有节点尝试函数和该节点的位函数值的线性组合 近似（线性插值）：
e
i
e i
j
e j
k
e k
N
N
e
i
e i
j
e j
k
e k
e1
e1
3. 二维有限元法
该3问.二题的维偏有微限分方元程法由加权余量法转化
为代数方程组后每个单元的元素值
K f b
kij k ji j i d
➢这一整体矩阵又常常是稀疏短阵，可以更进一步简化和加快求解过程。由于 计算机非常适合于重复性的计算和处理过程，所以整体矩阵的形成过程很容易 使用计算机来实现，
2. 一维有限元法
以满足帕松方程的有源静电场为例：
2
-1
x 1
0 .5
1
0
n x0
2
2
2. 一维有限元法
由对称性，将上述问题化为一维问题，用有限元方法求解
因此，我们需要寻找一个改进的方法来简化计算，并设法利用计算机进行处 理，有限元法就是其中的一种。
1. 有限元法
基本思想：
➢ 在有限元方法中，场域被分割成许多很小的子区域，通常称为“单元”或 “有限元”。
➢对所有子区域进行独立的处理和运算，便对一个整体问题进行局部化处理。
➢通过选取恰当的尝试函数，使每个单元的计算都变得非常简单，经过对每个 单元重复而简单的计算，再将其结果总和起来，便可以得到用整体矩阵表达的 整个区域的解，
2.5
2.5
f33,4
0.2 0.2
k44,5
5 5
5
5
f
4 4,5
0.1 0.1
5 5
5 5 5 5
k 5 5 2.5 2.5
2.5 2.5 5 5
5 5
0.1 0.1 0.1
f 0.1 0.2
0.2 0.1 0.1
2. 一维有限元法
l(xi , yi ,1)；j(x j , y j ,0)；k(xk , yk ,0)
代入平面方程确定平面参数：（用矩阵形式作规范化求解）
1
ie
ie xi
e i
yi
i
0
e i
ie x j
e i
y
j
j
0
e i
ie xk
e i
yk
k
1 xi 1 x j 1 xk
i
yi yj
iiee
1 0
yk
e i
有限元计算与真解比较：
2
-1
x 1
0 .5
1
n
x0
0
2
真解：
1 x2
2
1 1
2
0.98
43
0.92 0.68
5 0.5
节点处与真解相等，节点间、 单元内有误差，显然剖分越
密，误差越小
2. 一维有限元法
有限元法小结： 有限元法是针对加权余数法和变分法将偏微分方程转变为代数方程后的后续 方法，它将代数方程系数矩阵的构成规范化，以便于计算机处理
5 5
1 0.1
5 10 5
2
0.2
5
7.5 2.5
2.5
7.5
43
0.3 0.3
1 0.5
2
0.48
43
0.42 0.18
由于参考电位为0.5V，所 以1－4号节点计算值+0.5
1 1
2
0.98
43
0.92 0.68
5 0.5 部系数矩阵的计算
任意单元e的局部系数矩阵，只与该单元的 长度（坐标）有关，与其它单元无关，该矩 阵的i,i+1的行列上有值，其它位置为0。
ke i ,i 1
11 le 1
1
1
其它所有单元的系数矩阵结构形式完全相同，
只是不同单元的长度le不同而已。 这样极便于计算机作重复计算。
0
3. 二维有限元法
求节点尝试函数（平面方程）表达式：
S为三角形单元面积，为使其为正，i j k要 逆时针编号。平面方程系数有严格的规律， 且只与节点坐标有关
e i
ie
ie x
e i
y
1 2S
[(x j
yk
xk
yj
)
(yj
yk
)x
( xk
xj
) y]
3. 二维有限元法
单元e的其它节点j k上的尝试函数（平面方程）也可类似确定，形式 完全相同
le ( 1 )( 1 )dt 1
0 le le
le
k e i 1,i 1
e i1 i1 de
le ( 1 )2 dt 1
0 le
le
fie
e iqde
le 1(1 t )dt le
0
le
2
q是问题的激励
f e i 1
e i1qde
le 1( t )dt le
0 le