北京师范大学附属中学2019年普通高考第一次模拟考试试题文科数学(精品解析)

汕头市2019届普通高考第一次模拟考试试题
文科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合2{|log 1},{0,12,34}A x x B =>=，
，，则A B =（ ）
A ．{0,12}，
B ．{123}，，
C ．{2,34}，
D ．{3}，4
答案：D
考点：集合的运算，对数函数。

解析：22{|log 1log 2}{|2}A x x x x =>=>＝，所以，A B ={3}，4
2．已知,i R a ∈是虚数单位，复数2i
1i
a z +=+，若2z =，则a = （ ） A ．0 B ．2
C ．2-
D ．1
答案：A
考点：复数的概念与运算。

解析：2i (2)(1)221i 222
a a i i a a
z i ++-+-=
==++，因为2z =， 所以，22
22(
)()222
a a +-+=，即2288a +=，解得：a =0 3．设,x y 满足约束条件1y x
x y y ≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
1-，则2z x y =+的最大值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
答案：B
考点：线性规划。

解析：不等式组表示的平面区域如下图，
2z x y =+经过点C （2，－1）时，取得最大值为：3
4．现有甲、 乙、 丙、 丁 4 名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动， 则乙、 丙两人
恰好参加同一项活动的概率为
A ．
12
B ．
13
C ．
16
D ．
112
答案：B
考点：古典概型。

解析：：甲、乙、丙、丁4 名学生平均分成两个小组共有3 种情形：{（甲、乙），（丙、丁）}，{（甲、 丙），（乙、丁）}，{（甲、丁），（乙、丙）}.乙、丙两人恰好在一起只有1 种情形{（甲、丁），（乙、丙）}.
5．已知圆O :x 2
+ y 2
= 4 ( O 为坐标原点)经过椭圆C :22
221(0)x y a b a b
+=>>的短轴端点和两个焦点， 则
椭圆C 的标准方程为
A ．22
142
x y += B ．22
184x y += C ．
22
1164x y += D ．
22
13216
x y += 答案：B
考点：椭圆的性质。

解析：如下图，可知：b ＝c ＝r ＝2，故a 2 ＝b 2 +c 2 ＝4+4＝8．
6．已知向量,a b 满足()a a b +＝5，且||2,||1a b ==，则向量a 与b 的夹角为（ ） A ．
6π B ．4π C ．3
π D ．
23
π
答案：C
考点：平面向量的数量积。

解析：
θ＝
3π，所以，夹角为3
π 7、已知{a n }是等差数列，{b n }是正项等比数列， 且 b 1 =1，b 3 = b 2 + 2，b 4 = a 3 + a 5 ，
b 5 = a 4 + 2a 6， 则 a 2018 + b 9 =
A 、2026
B 、2027
C 、2274
D 、2530
答案：C
考点：等差数列、等比数列的通项公式。

解析：依题意，有：2314
1226313q q q a d q a d
⎧=+⎪=+⎨⎪=+⎩，解得：2q =，所以，1182616313a d
a d =+⎧⎨=+⎩，
解得：111
d a =⎧⎨=⎩，所以，1
2,n n n b a n -==，a 2018 + b 9 =2018+28＝2274
8、将函数()sin 24f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象向右平移
3
π
个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则()g x 在3,88ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最大值为（ ） A ．
1
2
B ．
22
C ．
32
D ．1
答案：C
考点：正弦函数图象的平移，正弦函数图象及其性质。

解析：5()sin 2sin 233412g x f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫⎛
⎫=-
=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，因为3,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以 522,1233x πππ⎡⎤-
∈-⎢⎥⎣⎦，当52123x ππ-=，即38
x π
=
时，max 3()2g x =． 9．在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 是四边形ABCD 的中心，关于直线1A O ，下列说法正确的是（ ） A ．11//A O D C B ．1//A O 平面11B CD
C ．1A O BC ⊥
D ．1A O ⊥平面11AB D
答案：B
考点：线线平行、垂直，线面平行与垂直的判定。

解析：选项A ，连接1A B ，则11//A B D C ，因为1A B 与1A O 相交，所以A 错； 选项B ，设11
111AC B D O =，连接1CO ，则11CO AO ，所以四边形11
AO CO 是平行四边形， 所以11//A O CO ，又因为1
AO ⊄平面11B CD ，1CO ⊂平面11B CD ，所以1//A O 平面11B CD ，B 正确； 选项C ，取AB 中点E ，连接1,A E OE ，则//OE BC ，在1A EO △中，190A EO ∠=︒，所以1A O 与OE 不
垂直，所以1A O 与BC 不垂直，C 错；
选项D ，连接1A C ，易证得，1A C ⊥平面11AB D ，所以1A O 与平面11AB D 不垂直，D 错．
A
B
C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
O
A
B
C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
O
E
A
B
C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
O
O 1
A
B
C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
O
10．若函数()(cos )x
f x e x a =-在区间,22ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(2,)-+∞ B ．(1,)+∞ C ．[1,)+∞ D ． [2,)+∞ 答案：D
考点：函数的导数及其应用。

解析：由题意，,22x ππ⎛⎫
∀∈-
⎪⎝⎭
，()(sin cos )0x f x e x x a '=-+-≤恒成立，即 cos sin 2cos 4a x x x π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭≥恒成立，当,22x ππ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
时，3,
444x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭
， 2cos ,1,2cos (1,2]424x x ππ⎛⎤⎛⎫⎛
⎫∴+∈-+∈- ⎥ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝
⎭⎝⎦，所以实数a 的取值范围是[2,)+∞ 11．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面,30,ABC ABC APC ∠=︒△的面积为2，则三棱锥P ABC -的外接球体积的最小值为（ ） A ．4π B ．
43
π
C ．64π
D ．
323
π
答案：D
考点：三棱锥与球的结构特征，球的体积计算。

解析：因为PA ⊥平面ABC ，所以是圆柱模型，设,AC m PA h ==，则1
2,42
APC S hm hm =
=∴=△，设ABC △外接圆半径为r ，P ABC -的外接球半径为R ，则
2sin 30m
r =︒
，r m =，
所以2
2242h R r rh ⎛⎫
=+= ⎪⎝⎭
≥，即R 的最小值为2，所以外接球的体积的最小值为323π．
12．已知函数 f (x ) 是定义在 (－∞，0) ∪(0，+∞) 上的偶函数， 当 x > 0 时，
，则函数g(x) =2 f (x) -1的零点个数为
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
答案：B
考点：函数的奇偶性，函数的零点，分段函数的图象，数形结合的数学思想。

解析：：∵函数f (x)是定义在(－∞，0) ∪(0，+∞) 上的偶函数，
当x >0 时，，
函数g(x) =2 f (x) -1的零点就是函数f (x)的图象与直线
1
2
y=的交点的横坐标，作出函数f (x)在
的图象，
如图，由对称性可知函数f (x)图象与直线
1
2
y=有4 个交点.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．
13.已知函数f (x)=(bx -1)e x +a ( a，b∈R ).若曲线y =f (x)在点(0，f (0))处的切线方程为y =x，则
a +
b =___________.
答案：3
考点：函数的导数及其应用。

解析：函数f (x)的定义域为R ，，因为曲线y =f (x)在
点(0，f (0))处的切线方程为y＝x，所以
14.有一种工艺品是由正三棱柱挖去一个圆锥所成， 已知正三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 的所有棱长都是 2， 圆锥的顶点为 ∆ABC 的中心， 底面为 ∆A 1B 1C 1的内切圆， 则该工艺品的体积为___________. 答案：2239
π－
考点：三棱柱、圆锥的几何结构特征，几何体的体积。

解析：边长为2 的正三角形内切圆半径为
15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知 a 1 =1，a 2 = 2， 且 a n +2＝3S n -S n +1 + 3，(n ∈ N *)， 则S 10
＝_________.
答案：363
考点：数列前n 项和与数列第n 项之间的关系，数列的递推。

解析：
16．设双曲线22
196
x y -=的左、右焦点分别为 F 1、F 2， 过 F 1 的直线l 交双曲线左支于 A 、 B 两点， 则| AF 2 | + | BF 2 |的最小值等于 ___________
答案：16
考点：双曲线的定义及性质。

解析：由双曲线的定义，可知：｜AF 2｜－｜AF 1｜＝2a ，｜BF 2｜－｜BF 1｜＝2a ，
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生
都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）
在 ∆ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，3b sin A = a (2 - cos B ) . (1)求角 B 的大小；
(2) D 为边 AB 上一点， 且满足CD = 2，AC = 4 ，锐角三角形 ∆ACD 的面积为15， 求BC 的长。

18．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥菱形ABCD 所在的平面，60,ABC E ∠=︒是BC 中点，M 是PD 的中点．
（1）求证：平面AEM ⊥平面PAD ；
（2）若F 是PC 的中点，当AB AP =＝2，求三棱锥P －AMF 的体积。

19．（本小题满分12分）
我市南澳县是广东唯一的海岛县，海区面积广阔，发展太平洋牡蛎养殖业具有得天独厚 的优势，所产的“南澳牡蛎”是中国国家地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋 牛奶精品”的美誉. 2019 年某南澳牡蛎养殖基地考虑增加人工投入，根据该基地的养殖规模与 以往的养殖情况，现有人工投入增量x （人）与年收益增量y （万元）的数据如下：
该基地为了预测人工投入增量为16人时的年收益增量，建立了y 与x 的两个回归模型：
模型①：由最小二乘公式可求得y 与x 的线性回归方程：ˆ 4.111.8y
x =+； 模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线：y b x a =+的附近，对人工投入增量x 做变换，令t x =
，则y b t a =⋅+，且有
7
7
21
1
2.5,38.9,()()81.0,()
3.8i i i i i t y t t y y t t ====--=-=∑∑．
（1）根据所给的统计量，求模型②中y 关于x 的回归方程（精确到0.1）； (2)分别利用这两个回归模型，预测人工投入增量为16 人时的年收益增量；
(3)根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数R 2，并说明(2)中哪个模型得到的预 测值精度更高、更可靠？
回归模型 模型①
模型②
回归方程
ˆ 4.111.8y
x =+ y b x a =+
7
2
1
ˆ()i
i
i y y
=-∑ 182.4
79.2
附：样本(,)(1,2,,)i i t y i n ⋯＝
的最小二乘估计公式为：1
2
1
()()
ˆˆˆ,()n
i
i i n
i
i t
t y y b a
y bt t
t ==--==--∑∑， 另，刻画回归效果的相关指数2
2
1
2
1
ˆ()1()
n
i
i
i n
i
i y y
R y y ==-=-
-∑∑
20．（本小题满分12分）
已知抛物线 C 的标准方程为 y 2
= 2 px ( p > 0)， M 为抛物线 C 上一动点， A (a ,0)(a ≠ 0) ，
直线 MA 与抛物线 C 的另一个交点为 N ． 当 A 为抛物线 C 的焦点且直线 MA 与其对称轴垂直时， ∆MON 的面积为 18。

(1)求抛物线 C 的标准方程； (2)记t ＝
11
||||
AM AN +， 若 t 值与 M 点位置无关， 则称此时的点 A 为“稳定点”．请问： 是否存在“稳定点”， 若存在， 请求出所有的“稳定点” ， 若不存在， 请说明理由． 21．（本小题满分12分）
已知2
1()ln 2x f x x ae x =
+-． （1）设1
2
x =是()f x 的极值点，求实数a 的值，并求()f x 的单调区间；
（2）当a ＞0时，求证：1()2
f x >
．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分． 22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分） 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y a α
α
=⎧⎨
=+⎩（α为参数，0a >）．以坐标原点为极点，x 轴
正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为sin 224πρθ⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭
． （1）设P 是曲线C 上的一个动点，若点P 到直线l 的距离的最大值为222+，求a 的值； （2）若曲线C 上任意一点(,)x y 都满足2y x +≥，求a 的取值范围． 23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分） 已知函数()22
()f x x k x k =++-∈R ．
（1）若4k =，求不等式2
()24f x x x --≥的解集；
（2）设4k <-，当[1,2]x ∈-时都有2
()24f x x x -+≥，求k 的取值范围．。