新教材高中数学第2章等式与不等式2.1.1等式的性质与方程的解集课件人教B版必修第一册

4．若x＝－2是关于x的一元二次方程x2－
5 2
ax＋a2＝0的一个根，
则a的值为( )
A．1或4
B．－1或－4
C．－1或4
D．1或－4
B
[∵x＝－2是关于x的一元二次方程x2－
5 2
ax＋a2＝0的
一个
根， ∴4＋5a＋a2＝0，∴(a＋1)(a＋4)＝0, 解得a＝－1或a＝－4.]
1．利用等式性质进行化简要注意是否恒等变形，化简要彻底， 要注意符号的变换．
B．∵3a＝2b，∴3a－1＝2b－1，正确，不合题意；
C．∵3a＝2b，∴9a＝6b，故此选项错误，符合题意；
D．∵3a＝2b，∴－a2＝－b3，正确，不合题意．故选C.]
2．(m＋n)－2(m－n)的计算结果是( )
A．3n＋2m
B．3n＋m
C．3n－m
D．3n＋2m
C [原式＝m＋n－2m＋2n＝－m＋3n，故选C.]
2．十字相乘法分解因式的步骤：移项→化积→转化→求解． 3．方程的解集要写成集合的形式．
当堂达标 固双基
1．若3a＝2b，下列各式进行的变形中，不正确的是( )
A．3a＋1＝2b＋1
B．3a－1＝2b－1
C．9a＝4b
D．－a2＝－b3
C [A.∵3a＝2b，∴3a＋1＝2b＋1，正确，不合题意；
3．将 y2－5y＋4 因式分解的结果是( )
A．(y＋1)(y＋4)
B．(y＋1)(y－4)
C．(y－1)(y＋4)
D．(y－1)(y－4)
D [因式分解，可得 y2－5y＋4＝(y－1)(y－4)，故选 D.]
方程的解集
【例4】 求下列方程的解集． (1)x(x＋2)＝2x＋4； (2)16(x－5)2－9(x＋4)2＝0.
恒等式的化简
【例2】 化简： (1)(3a－2)－3(a－5)； (2)－3x2y＋2x2y＋3xy2－2xy2； (3)2m＋(m＋n)－2(m＋n)； (4)(4a2b－5ab2)＋[－2(3a2b－4ab2)]．
[解] (1)(3a－2)－3(a－5)＝3a－2－3a＋15＝13. (2)－3x2y＋2x2y＋3xy2－2xy2＝－x2y＋xy2. (3)2m＋(m＋n)－2(m＋n)＝2m＋m＋n－2m－2n＝m－n. (4)(4a2b－5ab2)＋[－2(3a2b－4ab2)]＝4a2b－5ab2＋(－6a2b＋ 8ab2)＝4a2b－5ab2－6a2b＋8ab2＝－2a2b＋3ab2.
【例3】 十字相乘法分解因式： (1)x2－x－56；(2)x2－10x＋16.
[解] (1)因为 所以：原式＝(x＋7)(x－8)．
(2)因为 所以：原式＝(x－2)(x－8)．
常数项为正，分解的两个数同号；常数项为负，分解的两个数异 号. 二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括 号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.
2．恒等式 (1)一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等 式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等．恒等式是进行代 数变形的依据之一． (2)一个经常会用到的恒等式：对任意的 x，a，b，都有(x＋a)(x ＋b)＝x2＋_(_a_＋__b_)_x_＋_a_b_.
(3)用“十字相乘法”分解因式：①直接利用公式 x2＋(a＋b)x＋ ab＝(x＋a)(x＋b)进行分解；
A．0 个
B．，不能合并；(2)5y2－2y2＝3y2；(3)7a＋a ＝8a.所以 4 个算式都错误．故选 A.]
3．已知 A＝x3＋6x－9，B＝－x3－2x2＋4x－6，则 2A－3B 等于
() A．－x3＋6x2
B．5x3＋6x2
C．x3－6x
②利用公式 acx2＋(ad＋bc)x＋bd＝(ax＋b)(cx＋d)进行分解． 3．方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的未知数的值．求 方程解的过程叫做解方程．把一个方程所有解组成的集合称为这个方 程的_解__集___．
1．下列运用等式性质进行的变形，正确的是( ) A．如果 a＝b，那么 a＋c＝b－c B．如果 a2＝3a，那么 a＝3 C．如果 a＝b，那么ac＝bc D．如果ac＝bc，那么 a＝b
自主预习 探新知
1．等式的性质 性质：(1)：等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或代数式)， 等式仍成立． 用字母表示为：如果 a＝b，则对任意的 c，都有 a±c＝ b±c . 性质(2)：等式的两边同时乘以(或除以)同一个数(或代数式)(除数 或代数式不为 0)，等式仍成立． 用字母表示为：如果 a＝b，则对任意的 c，都有 a×c＝ b×c ， a÷c＝ b÷c (c≠0)．
第二章 等式与不等式
2.1 等式 2.1.1 等式的性质与方程的解集
学习目标
核心素养
1.理解且会运用等式的性质．(重 1.借助等式的性质，培养逻辑推理
点) 的素养．
2．理解恒等式的概念，会进行恒 2．通过求方程的解集，提升数据
等变形．(难点) 分析、数学运算的核心素养.
3．会求方程的解集．(重点)
[解] (1)原式＝(1－1)a2＋(－3－3)ab＋(5－7)＝－6ab－2. (2)原式＝5m＋5n－12m＋8n＋6m－9n＝(5－12＋6)m＋(5＋8－ 9)n＝－m＋4n. (3)原式＝－15x＋3y－(2x－4y－6x－10y)＝－15x＋3y－(－4x－ 14y)＝－15x＋3y＋4x＋14y＝(－15＋4)x＋(3＋14)y＝－11x＋17y.
合作探究 提素养
等式性质的应用
【例1】 已知x＝y, 则下列各式：①x－3＝y－3；②4x＝6y；
③－2x＝－2y；④
x y
＝1；⑤
x－2 3
＝
y－2 3
；⑥
x a
＝
y a
.其中正确的有
()
A．①②③
B．④⑤⑥
C．①③⑤
D．②④⑥
C [①x－3＝y－3；③－2x＝－2y；⑤x－3 2＝y－3 2正确，故选 C.]
D [A.当 a＝b 时，a＋c＝b＋c，故 A 错误；B.当 a＝0 时，此时 a≠3，故 B 错误；C.当 c＝0 时，此时ac与bc无意义，故 C 错误；故选 D.]
2．下列算式：(1)3a＋2b＝5ab；(2)5y2－2y2＝3；(3)7a＋a＝7a2；
(4)4x2y－2xy2＝2xy 中正确的有( )
[解] (1)原方程可变形为x(x＋2)＝2(x＋2)，即 (x－2)(x＋2)＝ 0，
从而x＋2＝0或x－2＝0，所以x＝－2或x＝2，方程的解集为{－ 2,2}．
(2)利用平方差，将原方程变为[4(x－5)＋3(x＋4)][4(x－5)－3(x ＋4)]＝0，
整理可得(7x－8)(x－32)＝0，所以7x－8＝0或x－32＝0，所以x ＝87或x＝32，
D．－5x3＋6x2
B [依题意，可得 2A－3B＝2(x3＋6x－9)－3(－x3－2x2＋4x－6) ＝5x3＋6x2，故选 B.]
4．x2－4 的因式分解的结果是( )
A．(x－2)2
B．(x－2)(x＋2)
C．(x＋2)2
D．(x－4)(x＋4)
B [x2－4＝(x＋2)(x－2)．故选 B.]
3．下列方程的解正确的是( ) A．x－3＝1的解集是{－2} B.12x－2x＝6的解集是{－4} C．3x－4＝52(x－3)的解集是{3} D．－13x＝2的解集是－32
B [方程x－3＝1的解是x＝4，12x－2x＝6的解是x＝－4,3x－4＝ 52(x－3)的解是x＝－7，－13x＝2的解是x＝－6，故选B.]
4．方程2x－1＝0的解集是________．
1
2
[由2x－1＝0，解得x＝12，方程的解集是12.]
故原方程的解集为87，32.
用“十字相乘法”求一元二次方程的解集的一般步骤 1移项，将一元二次方程的右边化为0； 2化积，利用提取公因式法、公式法等将一 元二次方程的左 边分解为两个一次因式的积； 3转化，两个因式分别为0，转化为两个一 元一次方程 4求解，解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解； 5将其解写成集合的形式.
在等式变形中运用等式的性质时要注意，必须保证等式两边同 乘以或除以的同一个数是不为零的数，此外，还要注意等式本身隐 含的条件.
1．设x，y，c是实数，下列正确的是( ) A．若x＝y，则x＋c＝y－c B．若x＝y，则xc＝yc C．若x＝y，则xc＝yc D．若2xc＝3yc，则2x＝3y
B [A.两边加不同的数，故A不符合题意； B．两边都乘以c，故B符合题意； C．c＝0时，两边都除以c无意义，故C不符合题意； D．两边乘6c，得到3x＝2y，故D不符合题意．故选B.]
去括号时，首先要弄清楚括号前究竟是“＋”号，还是“－” 号，其次要注意法则中的“都”字，都改变符号或都不改变符号， 一定要一视同仁，尤其是括号前面是“－”号时，容易出现只改变 括号内首项符号，而其余各项均不变号的错误.
2．计算： (1)a2－3ab＋5－a2－3ab－7; (2)5(m＋n)－4(3m－2n)＋3(2m－3n)； (3)3(－5x＋y)－[(2x－4y)－2(3x＋5y)]．