2022-2023学年全国高中高一下数学人教A版(2019)月考试卷(含解析)

2022-2023学年全国高一下数学月考试卷
考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟
学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;
卷I （选择题）
一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）
1. 已知复数，则的共轭复数在复平面内对应的点位于( )A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2. 在新冠疫情的持续影响下，全国各地电影院等密闭式文娱场所停业近半年，电影行业面临巨大损失．年年上半年的票房走势如下图所示，则下列说法正确的是A.自年以来，每年上半年的票房收入逐年增加
B.自年以来，每年上半年的票房收入增速为负的有年
C.年上半年的票房收入增速最大
D.年上半年的票房收入增速最小
3. 设、、是三个不同平面，是一条直线，下列各组条件中可以推出的有（ ）①，；②，；③，；④，．
A.①③
B.①④
C.②③
z =|3−4i|2−i
z z ¯¯¯2011∼2020( )
20112011520182020αβγl α//βl ⊥αl ⊥βl //αl //βα//γβ//γα⊥γβ⊥γ
D.②④
4. 盒子内分别有个红球，个白球，个黑球，从中任取个，则互斥而不对立的两个事件是（ ）
A.至少有一个白球，至多有一个白球
B.至少有一个白球，至少有一个红球
C.至少有一个白球，没有白球
D.至少有一个白球，红黑球各一个
5. 在 中，角,,所对的边分别为,,, 的外接圆半径为，且
，则 的值为 A.B.C.D.
6. 水平放置的，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的，其中＝＝，＝，则面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
7. 已知菱形的边长为, ，是的中点， ，则 3212△ABC A B C a b c △ABC 2+=6,c sin B +b sin C =b 2c 24c sin A sin B (b +c)2()
13+43–√2
15+33–√2
18+43–√3
24+53–√3
△ABC △A B C ′′′O A ′′O B ′′1O C ′′△ABC ABCD 4∠ABC =60∘
E BC =−2D
F −→−AF −→−⋅=AE −→−BF −→−()
A.B.C.D.
8. 如图，在矩形中，＝，
，将沿对角线翻折成，则三棱锥外接球的表面积为（ ）A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）
9. 著名的欧拉公式为：，其中，为自然对数的底数，它使用了几个基本的数学常数描述了实数集和复数集的联系．其广义一般式是，该复数在复平面内对应的向量坐标为，则下列说法正确的是（ ）
A.B.若复数满足，则C.若复数与复数在复平面内表示的向量相互垂直，则D.复数与复数在复平面内表示的向量相互垂直
10. 有一组样本数据，…，由这组数据得到新样本数据 ，其中
，为非零常数，则（ ）24
−7
−10
−12
ABCD AB 2△BAC AC △AC B 1−ACD B 14π
12π
16π
48π
+1=0e iπ=−1i 2e =cos θ+i sin θe iθ(0≤θ<2π)(cos θ,sin θ)ln(+i)=i 123–√2π3
z z =+i 123–√2
=z 2021z ¯¯¯e iαe iβα−β=
π2
e iαie iα,x 1x 2,x n ,y 1y 2⋯,y n =+c (i =1,2,⋯,n)y 1x i c
A.两组样本数据的样本平均数相同
B.两组样本数据的样本中位数相同
C.两组样本数据的样本标准差相同
D.两组样本数据的样本极差相同
11. 如图所示，在正方体中，是的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是
( )
A.，，三点共线
B.，，，四点共面
C.，，，四点共面
D.，，，四点共面
12. 在直角三角形中，，，为线段的中点，如图，将沿翻折，得到三棱锥（点为点翻折到的位置），在翻折过程中，下列说法正确的是(
)
A.的外接圆半径为
B.存在某一位置，使得
C.存在某一位置，使得
D.若，则此时三棱锥的外接球的体积为ABCD −A 1B 1C 1D 1O DB C A 1BD C 1M C 1M O C 1M O C C 1O A M D 1D O M ABC ∠B =π2AC =2BC =4D AC △ABD BD P −BCD P A △PBD 2
PD ⊥BD
PB ⊥CD
PD ⊥DC P −BCD π323
卷II （非选择题）
三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）
13. 某单位有职工人，其中青年职工人，中年职工人，老年职工人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为人，则样本容量为________.
14. 已知向量，，则在方向上的投影等于________．
15. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，是边上的高线，且，则的最小值为________.
16. 如图，等腰直角三角形（为直角顶点）所在的平面与半圆弧所在的平面垂直，为上异于，的动点，且在上射影为点，＝，则当三棱锥的体积最大时，二面角
的正切值为________．
四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）
17. 如图所示，已知三棱锥中，底面是等边三角形，且，点
是
的中点．（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，求二面角的余弦值． 18. 如图，在菱形中， ，．75035025015021=(2,3)a →=(−2,1)b →a →b →△ABC A B C a b c ∠ABC =120∘BD AC BD =3–√a +c ABC C P A B AB H AB 2P −ACH P −BC −A S −ABC △ABC SA =SB =AC =2E SC AB ⊥SC SC =6–
√A −SB −C ABCD =BE −→−12
BC −→−=2CF −→−FD −→−x +y
−→−−→−−→−
若，求的值；
若，，求；
若菱形的边长为，求的取值范围． 19. 随着电子商务的发展，人们的购物习惯也在改变，几乎所有的需求都可以通过网络购物来解决，
同时顾客的评价也成为电子商铺的“生命线”．某电商平台从其旗下的所有电商中随机抽取了个电子商铺，对电商的顾客评价，包括商品符合度、物流服务、服务态度、快递包装等方面进行调查，并把调查结果转化为顾客的评价指数，得到了如下的频率分布表：
评价指数
频数画出这个电子商铺顾客评价指数的频率分布直方图；
求该电商平台旗下的所有电子商铺的顾客评价指数的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）.（精确到）
附：． 20. 已知函数的图像关于直线对称，且图象上相邻两个最高点的距离为.
求的解析式；
若，求的值. 21. 如图，在长方体中，，点，分别是线段，的中点．
求证：平面平面；
(1)=x +y EF −→−AB −→−AD −→−3x +2y (2)||=6AB −→−∠BAD =60∘⋅AC −→−EF −→−(3)ABCD 6⋅AE −→−EF −→−100x x [0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100)
1010204020
(1)100(2)0.1≈12.04145−−−√f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,−≤φ<)3–√π2π2x =π3π(1)f(x)(2)f ()=(<α<)α23–√4π62π3cos(α+)3π2ABCD −A 1B 1C 1D 1AB =2BC =2C =2C 1M N C 1D 1DM (1)N ⊥A 1D 1MD B 1(2)M
A
求直线与平面所成角的正弦值．
22. 某地为响应习总书记关于生态文明建设的指示精神，大力开展“青山绿水”工程，造福于民.为此，当地政府决定将一扇形（如图）荒地改造成市民休闲中心，其中扇形内接矩形区域为市民健身活动场所，其余区域（阴影部分）改造为景观绿地（种植各种花草）.已知该扇形的半径为米，圆心角，点在上，点，在上，点在弧上，设．
求，（用含的式子表达）；
若矩形是正方形，求的值；
为方便市民观赏绿地景观，从点处向，修建两条观赏通道和（宽度不计），使，，其中依而建，为让市民有更多时间观赏，希望最长，试问：
此时点应在何处？说明你的理由．
(2)M A 1MD B 1OAB 200∠AOB =60∘Q OA M N OB P AB ∠POB =θ(1)PN ON θ(2)MNPQ tan θ(3)P OA OB PS PT PS ⊥OA PT ⊥OB PT PN PS +PT P
参考答案与试题解析
2022-2023学年全国高一下数学月考试卷
一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）
1.
【答案】
D
【考点】
共轭复数
复数的模
复数代数形式的乘除运算
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：，
∴，
它在复平面内对应的点位于第四象限．
故选．
2.
【答案】
D
【考点】
频率分布直方图
频率分布折线图、密度曲线
【解析】
【解答】
∵z ==|3−4i|
2−i +(−432)2−−
−−−−−−−√2−i ===2+i
52−i 5(2+i)
(2−i)(2+i)=2−i z ¯¯¯(2,−1)D A
解：由图易知自年以来，每年上半年的票房收入相比前一年有增有减，故错误；自年以来，每年上半年的票房收入增速为负的有年，故错误；
年上半年的票房收入增速最大，故错误；
年上半年的票房收入增速最小，故正确．
故选．
3.
【答案】
A
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
空间中直线与直线之间的位置关系
空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
4.
【答案】
D
【考点】
互斥事件与对立事件
【解析】
写出从个红球，个白球，个黑球中任取个球的取法情况，然后逐一核对四个选项即可得到答案．
【解答】
解：从个红球，个白球，个黑球中任取个球的取法有：
个红球，个白球，红黑，红白，黑白共类情况，
所以至少有一个白球，至多有一个白球不互斥；
至少有一个白球，至少有一个红球不互斥；
至少有一个白球，没有白球互斥且对立；
至少有一个白球，红球黑球各一个包括红白，黑白两类情况，为互斥而不对立事件，故选．
5.
【答案】
2011A 20113B 2017C 2020D D 321232122211111151111D
C
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ ,由正弦定理可得 .因为 ,所以.
又 的外接圆半径为，所以 ，
即，而 ,所以 ，于是为锐角，
所以 ，
可得 即.
由.故选.6.
【答案】
C
【考点】
平面图形的直观图
斜二测画法画直观图
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
7.
【答案】c sin B +b sin C =4c sin A sin B sin B sin C +sin B sin C =4sin A sin B sin C
sin B sin C ≠0sin A =12△ABC 2=4a
sin A a =4×=212+=6b 2c 2cos A ==>0+−b 2c 2a 22bc 1bc
A cos A =3–√2=,1bc 3–√2bc =23
–
√3=++2bc =6+(b +c)2b 2c 2=43–√318+43–√3C
D
【考点】
向量在几何中的应用
平面向量数量积的运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由已知得，，，所以，.因为在菱形中，，
所以 .
又因为菱形的边长为，
所以，所以.
故选.8.
【答案】
C
【考点】
球的表面积和体积
球内接多面体
=AF −→−13
AD −→−=BE −→−12
BC −→−=AD −→−BC −→−=+AE −→−AB −→−12
AD −→−=−=−BF −→−AF −→−AB −→−13AD −→−AB −→−ABCD ∠ABC =60∘∠BAD =120∘ABCD 4⋅=||⋅||cos AB −→−AD −→−AB −→−AD −→−120∘
=4×4×(−)=−812
⋅=(+)⋅(−)AE −→−BF −→−AB −→−12AD −→−13
AD −→−AB −→−=−|−⋅+|AB −→−|216AB −→−AD −→−16
AD −→−|2=−16−
×(−8)+×16=−121616D
棱锥的结构特征
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）
9.
【答案】
A,B,D
【考点】
欧拉公式
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
考点：复数新概念、对数运算、平面向量的数量积运算、两角差的余弦公式
【解答】
解：∵，∴，∵，∴，∵对应的向量坐标为，对应的向量坐标为，
∴，即，又，，∴或．∵，复数，
两者对应向量坐标为，，∴两向量垂直．
故选．
10.
【答案】
C,D
【考点】
+i =cos +i sin =123–√2π3π3e i π3ln(+i)=ln =i 123–√2e i π3π3
+i =cos +i sin =123–√2π3π3e i π3==cos +i sin =−i z 2021e i 2021π32021π32021π3123–√2e iα(cos α,sin α)e iβ(cos β,sin β)cos αcos β+sin βsin α=0cos(α−β)=00≤αβ<2π|α−β|=π23π2=cos α+i sin αe iαi =−sin α+i cos αe iα(cos α,sin α)(−sin α,cos α)ABD
极差、方差与标准差
众数、中位数、平均数、百分位数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题可知，，因为，所以，所以错；若.的中位数为，因为，所以,…的中位数为，所以错；，…的标准差为,，所以对；设样本数据，中最大为，最小为，因为因为，所以样本数据，…中最大为，最小为，极差为，所以对．故选．
11.
【答案】
A,B,C
【考点】
平面的基本性质及推论
棱柱的结构特征
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：连接，，如下图，
=x
¯¯¯++⋯+x 1x 2x n n ==+c y ¯¯¯++⋯+y 1y 2y n n ++⋯+x 1x 2x n n =+c x ¯¯¯c ≠0≠x ¯¯¯y
¯¯¯A ,x 1x 2⋯,x n x k =+c y i x i ,y 1y 2,y n =+c ≠y k x k x k B ,y 1y 2,y n =S y 1n ++⋯+(−)y 1y ¯¯¯2(−)y 2y ¯¯¯2(−)y n y ¯¯¯2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=1n ++⋯+[(+c)−(+c)]x 1x ¯¯¯2[(+c)−(x +c)]x 22[(+c)−(+c)]x n x ¯¯¯2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√==1n ++⋯+(−)x 1x ¯¯¯2(−)x 2x ¯¯¯2(−)x n x ¯¯¯2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√S x C ,x 1x 2⋯,x n x n x 1=+c y i x i ,y 1y 2,y n y n y 1−=(+c)−(+c)=−y n y 1x n x 1x n x 1D CD A 1C 1AC AC ∩BD =O
则，
平面，
∴三点，，在平面与平面的交线上，
即，，三点共线.
∴，，均正确，不正确.
故选．
12.
【答案】
A,D
【考点】
正弦定理
空间中直线与直线之间的位置关系
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：在翻折过程中，，
，，
易知，由正弦定理得（
为的外接圆半径），即，故正确；在翻折过程中，，故错误；
若，取中点，连接，，
由于为正三角形，
则，
又，
故平面，
则，
又为中点，，
则为正三角形，
易知，
则，与已知矛盾，故错误；
若，
则在三棱锥中，，
由知，，
取的中点，连接，
，AC ∩BD =O C∩A 1BD =M C 1C 1M O BD C 1ACC 1A 1C 1M O A B C D ABC △PBD ≅△ABD PD =DC =BC =2PB =23–√∠PDB =120∘2r ==4
PB
sin ∠PDB r △PBD r =2A ∠PDB =120∘B PB ⊥CD CD M BM PM △BCD BM ⊥CD BM ∩PB =B CD ⊥PBM PM ⊥CD M CD PD =CD =2△PCD BM =PM =3–√BM +PM =2=PB 3–√C PD ⊥DC P −BCD PC =22
–√P =B +P B 2C 2C 2∠ACB =π2
PB E DE CE E =PB =1
则，且，，所以，
所以，
所以平面．
设外接球的半径为，根据几何体可知，外接球的球心在直线上，则，即，
解得，
所以三棱锥的外接球的体积为，故正确．故选．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）
13.
【答案】
【考点】
分层抽样方法
【解析】
根据分层抽样的定义和方法，先求出每个个体被抽到的概率，再根据用样本容量除以个体总数得到的值就等于每个个体被抽到的概率，由此求得样本容量．
【解答】
解：根据分层抽样的定义和方法，每个个体被抽到的概率等于
，设样本容量等于，则有
，解得.故答案为：．14.
【答案】
【考点】
向量的投影
【解析】
根据投影的定义，应用公式，求解．【解答】
DE ⊥PB DE =1CE =
PB =123–√D +C =C E 2E 2D 2DE ⊥CE DE ⊥PBC R O DE O +B =O E 2E 2B 2+=(R −1)2()3–√2R 2R =2P −BCD π=
π43R 3323
D AD 45
=21350350
n =n 750350n =4545−5–√5
||cos <a →a →>=b →a ⋅b |b |
解：根据投影的定义可得：
在方向上的投影为，．故答案为：15.
【答案】
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
余弦定理
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题可得，,则，∵，∴，
，
，
，
，故其最小值为.
故答案为：.
16.
【答案】【考点】
二面角的平面角及求法
【解析】
令＝
，，用表示三棱锥的体积，利用导数可得当时三棱锥的体积最大，过作于，可得为二面角的平面角，解三角形即可得二面角的正切值．a →b →||cos <a →a →>==−b →a ⋅b |b |
5–√5−5–√543
–√ac sin B =
bBD 1212
2b =ac cos B ==−+−a 2c 2b 22ac 12=++ac ≥2+ac =3ac
b 2a 2
c 2a 2c 2−−−−√∴≥6b b 2∴b ≥6∴ac ≥12∴a +c ≥2≥2=4ac −−√12−−√3–√43–√43–√∠PAB θθP −ACH P −ACH H HG ⊥BC G ∠PGH P −BC −A PHG P −BC −A
【解答】
等腰直角三角形中，＝，
∵为的中点，∴，
令＝
，
，则＝，＝，三棱锥的体积＝
＝•＝，令
＝•
＝
，
，＝＝
＝，∵
，∴，∴＝
，即当时），此时三棱锥的体积最大，
过作于，可得为二面角的平面角，
又
＝，
＝，＝
，二面角的正切值为
＝．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）
17.
【答案】
（Ⅰ）证明：连结，因为，
底面是等边三角形，点是的中点，
所以，，
又因为，所以平面，
又因为平面，所以．
（Ⅱ）解：解法一：因为，取的中点，
连结，
由（Ⅰ）可知，，而，
所以，以为坐标原点，
分别以所在直线为轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，
所以，取平面的一个法向量，
设平面的法向量为，因为，所以即令，则，所以．由题易知，二面角的平面角为锐角，ABC AB 2O AB CO ⊥AB ∠PAB θAP 2cos θAH 4θcos 2P −ACH V 1⋅2sin θcos θf(θ)sin θf'(θ)cos 4θ+1>0cos 4θP −ACH H HG ⊥BC G ∠PGH P −BC −A PH AH HG P −BC −A EA ，EB SA =SB =AC △ABC E SC EA ⊥SC EB ⊥SC EA ∩EB =E SC ⊥ABE AB ⊂ABE SC ⊥AB SA =SB =AC =2AB F FS ，FC FS =FC =3–√SC =6–√FS ⊥FC F FB ，FC ，FS x ，y ，z A(−1,0,0)，B(1,0,0)，C(0,,0)，S(0,0,)3–√3–√ABS =(0,1,0)m →
CBS =(x,y,z)n →=(1,−,0)，=(0,−,)CB −→−3–√CS −→3–√3–√ ⋅=0，CB −→−n →⋅=0，CS −→n →{x −y =0，3–√−y +z =0，3–√3–√y =1=(,1,1)n →3–√cos ， ===m →n →⋅m →n →||||m →n →15
–√5–√5A −SB −C –
√
则二面角的余弦值为．解法二：由（Ⅰ）以及题意，可得平面，
即点在平面内的投影为点，记二面角为，
所以．【考点】
空间点、线、面的位置
【解析】
本题考查空间中线线的位置关系的证明、空间角的求法、空间向量．
【解答】
（Ⅰ）证明：连结，因为，
底面是等边三角形，点是的中点，
所以，，
又因为，所以平面，
又因为平面，所以．
（Ⅱ）解：解法一：因为，取的中点，
连结，
由（Ⅰ）可知，，而，
所以，以为坐标原点，
分别以所在直线为轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，
所以，取平面的一个法向量，
设平面的法向量为，因为，所以即令，则，A −SB −C 5–√5CF ⊥SAB C SAB F A −SB −C θcos θ===S △FSB S △SBC 3–√215
−−√2
5–√5EA ，EB SA =SB =AC △ABC E SC EA ⊥SC EB ⊥SC EA ∩EB =E SC ⊥ABE AB ⊂ABE SC ⊥AB SA =SB =AC =2AB F FS ，FC FS =FC =3–√SC =6–√FS ⊥FC F FB ，FC ，FS x ，y ，z A(−1,0,0)，B(1,0,0)，C(0,,0)，S(0,0,)3–√3–√ABS =(0,1,0)m →
CBS =(x,y,z)n →=(1,−,0)，=(0,−,)CB −→−3–√CS −→3–√3–√ ⋅=0，CB −→−n →⋅=0，CS −→n →{x −y =0，3–√−y +z =0，3–√3–√y =1=(,1,1)n →3–√ ， ===
→→
所以．由题易知，二面角的平面角为锐角，
则二面角的余弦值为．解法二：由（Ⅰ）以及题意，可得平面，
即点在平面内的投影为点，记二面角为，
所以．18.
【答案】
解：，， ，，，故．，，∵四边形为菱形，，，即．
cos ， ===m →n →⋅m →n →||||m →n →15
–√5–√5A −SB −C A −SB −C 5–√5CF ⊥SAB C SAB F A −SB −C θcos θ===S △FSB S △SBC 3–√215
−−√2
5–√5(1)∵=BE −→−12BC −→−=2CF −→−FD −→−∴=+EF −→−EC −→−CF −→−=−12BC −→−23DC −→−=−12AD −→−23AB −→−∴x =−23y =123x +2y =3×(−)+2×=−12312(2)∵=+AC −→−AB −→−AD −→−∴⋅=(+)⋅(−)AC −→−EF −→−AB −→−AD −→−12AD −→−23AB −→−=−−⋅12AD −→−223AB −→−216AB −→−AD −→−ABCD ∴||=||=6AD −→−AB −→−∴⋅=−|−|cos ∠BAD AC −→−EF −→−16AB −→−|216AB −→−|2=−×36−×36×=−9161612⋅=−9AC −→−EF −→−=+−→−−→−1−→−−
−→−1−→−2−→−
，，，，∴，的取值范围为．
【考点】
向量加减混合运算及其几何意义
平面向量数量积
【解析】
由向量线性运算即可求得、值；先化 ，再结合中关系即可求解由于， ，即可得 ，根据余弦值范围即可求得结果．
【解答】
解：，， ，，，故．，，∵四边形为菱形，，(3)∵=+AE −→−AB −→−12AD −→−=−EF −→−12AD −→−23AB −→−∴⋅=(+)(−)AE −→−EF −→−AB −→−12AD −→−12AD −→−23AB −→−=⋅−+16AB −→−AD −→−23AB −→−214AD −→−2=||⋅||cos , −+16AB −→−AD −→−AB −→−AD −→−23AB −→−214AD −→−2=6cos , −15AB −→−AD −→−∵−1<cos , <1AB −→−AD −→−−21<6cos , −15<−9AB −→−AD −→−∴⋅AE −→−EF −→−(−21,−9)(1)x y (2)=+AC −→−AB −→−AD −→−(1)⋅AC −→−EF −→−(3)=+AE −→−AB −→−12AD −→−=−EF −→−12AD −→−23AB −→−⋅=6cos , −15AE −→−EF −→−AB −→−AD −→−(1)∵=BE −→−12BC −→−=2CF −→−FD −→−∴=+EF −→−EC −→−CF −→−=−12BC −→−23DC −→−=−12AD −→−23AB −→−∴x =−23y =123x +2y =3×(−)+2×=−12312(2)∵=+AC −→−AB −→−AD −→−∴⋅=(+)⋅(−)AC −→−EF −→−AB −→−AD −→−12AD −→−23AB −→−=−−⋅12AD −→−223AB −→−216AB −→−AD −→−ABCD ∴||=||=6AD −→−AB −→−∴⋅=−|−|cos ∠BAD AC −→−EF −→−16AB −→−|216
AB −→−|2−×36−×36×=−9111
，
即．
，，
，
，
∴，
的取值范围为．
19.
【答案】
解：
作出频率分布直方图如图所示：
平均数为：，
方差为：，
所以标准差．
【考点】
频率分布直方图
众数、中位数、平均数、百分位数
极差、方差与标准差
【解析】=−×36−×36×=−9161612
⋅
=
−9AC −→−EF −→−
(3)∵=+AE −→−AB −→−12AD −→−=−EF −→−12AD −→−23
AB −→−
∴⋅=(+)(−)
AE −→−EF −→−AB −→−12AD −→−12AD −→−23AB −→−=⋅−+16AB −→
−AD −→−23AB −→−2
14AD −→−2
=||⋅||cos , −+16AB −→−AD −→−AB −→−AD −→−23AB −→−214
AD
−→−2
=6cos ,
−15AB −→−AD
−→−∵−1<cos ,
<1AB −→−AD −→−−21<6cos , −15<
−9AB −→−AD −→−∴⋅AE −→−EF −→−(−21,−9)(1)(2)=(10×10+30×10+x ¯¯¯1100
50×20+70×40+90×20)
=60=[×10+s 21100(10−60)2×10+×20
(30−60)2(50−60)2+(70−60×40+
(90−60×20]=580)2)2s ==2≈24.1580−−−√145−−−√
无
无
【解答】
解：
作出频率分布直方图如图所示：
平均数为：，
方差为：，
所以标准差．
20.
【答案】
解：因为的图象上相邻两个最高点的距离为，
所以的最小正周期，
从而，
又因为的图象关于直线对称，
所以，，
又因为，
所以，，
因此所求解析式为.
由知，
(1)(2)=(10×10+30×10+x ¯¯¯110050×20+70×40+90×20)
=60=[×10+s 21100(10−60)2×10+×20
(30−60)2(50−60)2+(70−60×40+
(90−60×20]=580)2)2s ==2≈24.1580−−−√145−−−√(1)f(x)πf(x)T =πω==22πT f(x)x =π32×+φ=kπ+π3π2k ∈Z −≤φ<π2π2k =0φ=−=−π22π3π6f(x)=sin(2x −)3–√π6(2)(1)f(x)=sin(2x −)3–√π6()=sin(2×−)=–√
所以，即，由得，所以，所以.【考点】
两角和与差的正弦公式
诱导公式
同角三角函数间的基本关系
函数解析式的求解及常用方法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为的图象上相邻两个最高点的距离为，
所以的最小正周期，
f ()=sin(2×−)=α23–√α2π63–√4
sin(α−
)=π614<α<π62π30<α−<π6π2
cos(α−)π6
=1−(α−)sin 2π6
−−−−−−−−−−−−−−√=1−(14
)2−−−−−−−√=15−−√4
cos(α+)3π2
=sin α
=sin[(α−)+]π6π6
=sin(α−)cos +cos(α−)sin π6π6π6π6
=×+×143–√215−−√412
=+3–√15−−√8
(1)f(x)πf(x)T =π==2
2π
从而，又因为的图象关于直线对称，所以，，又因为，所以，，因此所求解析式为.由知，所以，即，由得，所以，所以.21.【答案】
证明：依题意，，因为点是线段的中点，故，而平面，
平面，故，
因为，故平面，因为平面，
故平面平面．
解：以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，
ω=
=22πT f(x)x =π32×+φ=kπ+π3π2
k ∈Z −≤φ<π2π2k =0φ=−=−π22π3π6f(x)=sin(2x −)3–√π6(2)(1)f(x)=sin(2x −)3–√π6f ()=sin(2×−)=α23–√α2π63–√4sin(α−)=π614<α<π62π30<α−<π6π2cos(α−)π6=1−(α−)sin 2π6−−−−−−−−−−−−−−√=1−(14)2−−−−−−−√=15−−√4cos(α+)3π2=sin α=sin[(α−)+]π6π6=sin(α−)cos +cos(α−)sin π6π6π6π6=×+×143–√215−−√412=+3–√15−−√8(1)M =D =1D 1D 1N DM DM ⊥N D 1⊥A 1D 1DCC 1D 1DM ⊂DCC 1D 1⊥DM A 1D 1∩N =A 1D 1D 1D 1DM ⊥N A 1D 1DM ⊂MD B 1N ⊥A 1D 1MD B 1(2)D 1D 1A 1D 1C 1D D 1x y z D (0,0,1)(1,2,0)B M (0,1,0)(1,0,0)
A
建立空间直角坐标系，则，，，，，，设是平面的一个法向量，所以令，则，，，而，
设直线与平面所成角为，
则【考点】
平面与平面垂直的判定
直线与平面所成的角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
证明：依题意，，因为点是线段的中点，故，而平面，
平面，故，
因为，故平面，因为平面，
故平面平面．
解：以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，设是平面的一个法向量，所以令，则，，，而，
设直线与平面所成角为，
D (0,0,1)(1,2,0)B 1M (0,1,0)(1,0,0)A 1=(0,1,−1)DM −→−=(1,1,0)MB 1−→−−n =(,,)x 0y 0z 0MD B 1 ⋅=0,DM −→−n →⋅=0,
MB 1−→−−n →{−=0,y 0
z 0+=0.x 0y 0=1z 0=−1x 0=1y 0=(−1,1,1)n →=(−1,1,0)M A 1−→−−M A 1DM B 1θsin θ==.|⋅|n →M A 1−→−−||||
n →M A 1−→−−6–√3(1)M =D =1D 1D 1N DM DM ⊥N D 1⊥A 1D 1DCC 1D 1DM ⊂DCC 1D 1⊥DM A 1D 1∩N =A 1D 1D 1D 1DM ⊥N A 1D 1DM ⊂MD B 1N ⊥A 1D 1MD B 1(2)D 1D 1A 1D 1C 1D D 1x y z D (0,0,1)(1,2,0)B 1M (0,1,0)(1,0,0)A 1=(0,1,−1)DM −→−=(1,1,0)MB 1−→−−n =(,,)x 0y 0z 0MD B 1 ⋅=0,DM −→−n →⋅=0,
MB 1−→−−n →{−=0,y 0
z 0+=0.x 0y 0=1z 0=−1x 0=1y 0=(−1,1,1)n →=(−1,1,0)M A 1−→−−M A 1DM B 1θθ==.
⋅|−→−−
则22.
【答案】
解：在中， ，，，∴ ，.
在中，，
，∴.∵矩形是正方形，
∴，
∴，∴，∴． ∵，
∴，
∴ ，，
∴当，即时，
最大，此时是的中点．
【考点】
两角和与差的正弦公式
三角函数的最值
在实际问题中建立三角函数模型
【解析】
（1）由已知可得＝，＝，（2）由（1）得，＝＝，可求，解得的值，由＝，可求＝，即可解得的值．（3）由于＝，利用三角函数恒等变换的应用可求＝，．利用正弦函数的图象和性质可求＝时，最大，此时是的中点．sin θ==.|⋅|n →M A 1−→−−||||n →M A 1−→−−6–√3(1)Rt △PON OP =200sin θ=PN OP cos θ=ON OP PN =200sin θON =200cos θ(2)Rt △OQM QM =PN =200sin θOM ==QM tan 60∘200sin θ3–√=200sin θ3–√3MN =ON −OM =200cos θ−200sin θ3–√3MNPQ MN =PN 200cos θ−200sin θ3–√3=200sin θ(200+)sin θ2003–√3=200cos θtan θ=11+3√
3
==33+3–√3−3–√2(3)∠POB =θ∠POQ =−θ60∘PS +PT =200sin(−θ)+200sin θ
60∘=200(cos θ−sin θ+sin θ)3–√212=200(sin θ+cos θ)123–√2=200sin(θ+)60∘<θ<0∘60∘θ+=60∘90∘θ=30∘PS +PT P AB ˆPN 200sin θON 200cos θQM PN 200sin θOM ==QM tan 60200sin θ3–√3MN MN PN (200+)sin θ2003–√3200cos θtan θ∠POQ −θ60∘PS +PT 200sin(θ+)60∘<θ<0∘60∘θ30∘PS +PT P AB
^
【解答】
解：在中， ，，，∴ ，.
在中，，
，∴.∵矩形是正方形，
∴，
∴，∴，∴． ∵，
∴，
∴ ，，
∴当，即时，最大，此时是的中点． (1)Rt △PON OP =200sin θ=PN OP cos θ=ON OP PN =200sin θON =200cos θ(2)Rt △OQM QM =PN =200sin θOM ==QM tan 60∘200sin θ3–√=200sin θ3–√3MN =ON −OM =200cos θ−200sin θ3–√3MNPQ MN =PN 200cos θ−200sin θ3–√3=200sin θ(200+)sin θ2003–√3=200cos θtan θ=11+3√3==33+3–√3−3–√2(3)∠POB =θ∠POQ =−θ60∘PS +PT =200sin(−θ)+200sin θ
60∘=200(cos θ−sin θ+sin θ)3–√212=200(sin θ+cos θ)123–√2=200sin(θ+)60∘<θ<0∘60∘θ+=60∘90∘θ=30∘PS +PT P AB ˆ。